Université Nice Sophia Antipolis

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Cours Probabilités L2 Université Nice Sophia-Antipolis François Delarue

  • espace de probabilité fini

  • evénements indépendants

  • calcul de probabilités

  • variable aléatoire

  • indépendance d'événements

  • probabilité conditionnelle

  • feuille de td numéro


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 59
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 31
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Chapitre
1
Combinatoire
1
2
Chapitre
Mo
de`le
2
probabiliste
3
4
Chapitre
3
Conditionnement
et
5
ind´ep
endance
6
Chapitre 4
Variablesal´eatoires
4.1Variablesal´eatoires 4.1.1D´enition
De´nition(variableal´eatoire).(1) Soit (Ω, PelbairalibibaroevUne.s´u)enpscape ale´atoireestuneapplicationdeΩdansR. Convention.tlenvaesueusemllse´denginOlettresmespardes´laeotriirbaelas.selucsuja
4.1.2 Exemples 1.Vladimirvousproposelejeusuivant.Lundevousdeuxlanceund´e.Siler´esultat vaut1,vousperdez8euros;silere´sultatvaut2,3ou4vousgagnez1euros;si le´esultatest5ou6vousgagnez2euros.Onpeuxmode´liserleprobl`emeainsi. r On choisit pour univers l’ensemble Ω ={1, ...,6}. On le munit de la mesure de probabilite´uniformequelonnotePreelbairaviotae´lad´On.netunieGpar : G(1) =8, G(2) =G(3) =G(4) = 1, G(5) =G(6) = 2. Cettevariableal´eatoiremod´elisevotregainlorsdunepartie. 2.Onlancedeuxde´setonsinte´resseauxre´sultatsdesdeuxde´sainsiqua`leur somme.Onpeuxmod´eliserleprobl`emeainsi.Onchoisitpouruniverslensemble Ω ={1, ...,6}2onnouelrmeqnifoet.nOameluresmuletdniilibue´tpedeabor PuteneinnO´d.oiat´ealleabrivaerXparX(a, b) =a, pour tout (a, b) dans Ω. Ond´enitsimilairementunevariableale´atoireYparY(a, b) =b, pour tout (a, b) dansΩ.Onde´nitennunevariableal´eatoireSparS=X+Y. Formellement, il sagitdelasommededeuxapplications.Alternativement,onpeutde´crireSainsi : S(a, b) =a+bpour tout (a, b) dans Ω. Lavariableale´atoireXodmli´eleseesr´e;luatdtpuerimre´dYmod´eliseler´tatluse dudeuxie`mede´;Smseli´eoddesdtats´es.euxdmmdealosseluse´r 1pournousportanceitilaburesemsdonmisnastnosiuq,e´soussonsspasNouseitseuqcnleisel 7
4.1.3 Notations Reprenonslexemple2delasection4.1.2.Int´eressons-noustoutdabord`al´eve`nement A(ts3upretatdd´eemier:´relluse2.)piuloVciceirerelaviuqe´dedsetnmarseusis´re`eni cet´eve`nement: A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} ={(a, b)Ω :a= 3} ={(a, b)Ω :X(a, b) = 3} ={ωΩ :X(ω) = 3}. Toutesles´ecriturespr´ec´edentessont´equivalentesetsontcompr´ehensiblespartoutma-the´maticien.Lesprobabilistes,parabusde´criture,pr´efe`red´ecrirecetensembleainsi: A={X= 3}. Delamˆememanie`re,lesprobabilistes´ecriventabusivementB={X3}rnied´urpo l´eve`nement B={ωΩ :X(ω)3} ={(a, b)Ω :X(a, b)3} ={(a, b)Ω :a3} ={(1,1), . . . ,(1,6),(2,1), . . . ,(2,6),(3,1), . . . ,(3,6)}. Similairement,C={2X4}rce´rutirocepsersteabundustna`noadC={ωΩ : 2X(ω)4}esstlibibarosple,subaemeˆmelaivsjour.Toute´rcvineP(X5) plutˆotqueP({ωΩ :X(ω)5}ou encoreP(X= 5 etYpl4)uˆeotuqtP({ωΩ : X(ω) = 5 etY(ω)4}) ouP({(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}). Unpremierint´ereˆtdelintroductiondesvariablesal´eatoiresetdesabusde´critures associe´sestainsidepermettredese´crituresl´eg`eresetintuitivesdanslesquelleslunivers est sous-entendu (3palpcit.)aerseutenmaeln´te,autnoeivFaorrimaebllleevenirsndiouel dansRnmoa`numoemescrypenyedessat,onertonsna.Deirtoeal´eabrvitineme.utnI exemple,onpense`aXtmeneur´esultatdupremocmmaetisadeon´elenv`dreiL.e´domaile´ re´ellere´sultatdupremierde´est3par{X= 3}se fait alors assez naturellement. Remarque.tuineturueig(rts.)noitisuovivnieJegligerate`anen´ueaxpscecunuedds Expliciterr´eguli`erementcedontlesabussontdesabusestunexercicepasininte´ressant.
4.2Loidunevariableal´eatoire Theore`me4.1Soit, P)paesunbobaecrpe´S.lisioitX: ΩRe.toiral´reiaaubnleeva ´ Ond´enituneapplicationPXdes sous-ensembles deRdansRen posant, pour tout AR: PX(A) =P(XA) =P({ωΩ :X(ω)A}). AlorsPXtsemenuurt´esdepeseruibilorabR. 2Plus exactement,Aile´itas`,noapond,vianotremodom`dleqeiuocrrseenemenv`reotentde´ltse le´venementreellere´sultatdupremierde´est3` ´ 3ecacherpouvoirlu´iqone;tcenplometnoedtndtseccnonivesunujouratouosvueltsiaissrm,ylI 8
De´nition.L’applicationPXssaisniaeotri´laelbaeariaunevee`aoci´Xsealeloippta´eel deX. Exemple.Je reprend les exemples de la section 4.1.2. 1. On a par exemplePG({1}) =P(G= 1) =P({2,3,4}) = 1/2. 2. On a par exemplePX({2}) =P(X= 2) =P({(2,1), . . . ,(2,6)}) = 1/6. On a aussi PX([3,2]) =PX({1,2}) = 1/3.Onpeut´egaleemtn´vreireuqeXetYont la ˆ e l i. mem o
4.3Fonctionder´epartition Cette partie est la moins fondamentale de ce chapitre. De´nition(fonctiondere´partition).Soit (Ω, P.Soitabilis´eapecrpbo)nuseXune variableale´atoire.Onappellefonctiondere´partitiondeXla fonctionFX:R[0,1] qui a`toutre´elxassocie : FX(x) =P(Xx) =P({ωΩ :X(ω)x}). Remarque.erentaionedd´dpevariuneal´eableape´redndnoititrLioctonafa`qeuell traverssaloi.Autrementdit,sideuxvariablesale´atoiresXetY i, alorsont la mˆ l eme o ellesontlameˆmefonctionder´epartition.Eneet,onaalors,pourtoutre´elx:FX(x) = PX(]− ∞, x]) =PY(]− ∞, x]) =FY(xeciproqueest´egaelemtnrvia(eisedux´raL.) variablesale´atoiresontlameˆmefonctiondere´partition,ellesontlameˆmeloi)maiscest plusd´elicat`ae´tablir. Proposition 4.2Soit, P)itlis´e.SopeorabibuenpscaXunneOv.aalleabrireoiat´e noteFXtcnofasro:s.nlAer´eionditiopart 1. La fonctionFXest croissante. 2. Siaetbtntnosdeuxr´eelsv´eraab, alors on aP(a < Xb) =FX(b)FX(a). 3. La fonctionFXconverge vers0en−∞et vers1en+. Preuve.Les deux premiers points sont des exercices raisonnables. Le dernier est un exerciceplusde´licat(maisabordable).` Remarque.tuafrpede´dA-mco`aercherchdestumemimin,neltioioposteprrcetouve prendre pourquoi elle est raisonnable.
4.4Ind´ependance D´enition(ind´ependancedevariablesale´atoires).Soit (Ω, P) un espace proba-bilis´e.SoientX1, ..., Xnontind´euellessss,iepdnnaetbliaalesdearsvnO.sqtidtae´erio pour toutA1,...,Ansous-ensembles deR, les ensembles{X1A1}, ...,{XnAn}sont ind´ependants. Remarques.
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