Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Parcours SHI et SPH

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Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH Devoir surveille n?1 - Correction Mercredi 14 mars 2012 Exercice n?1 : Pour montrer le resultat on revient a la definition de l'exponentielle complexe : ?? ? R, ei? = cos(?) + i sin(?) . Ainsi ei(a+b) = cos(a+ b) + i sin(a+ b) et grace aux formules d'addition { cos(a+ b) = cos(a) cos(b)? sin(a) sin(b) sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) on a donc ei(a+b) = cos(a) cos(b)? sin(a) sin(b) + i(sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b)) = eiaeib . Exercice n?2 : 1. On multiplie numerateur et denominateur par le conjugue du denominateur : 2 + 5i 3? 2i = (2 + 5i)(3 + 2i) (3? 2i)(3 + 2i) = ?4 + 19i 13 .

  • racines troisiemes de l'unite

  • formules d'addition

  • exercice n?7

  • premiere equation du systeme

  • identite cos

  • solution de l'equation

  • ainsi ei

  • eix eiy


Publié le : jeudi 1 mars 2012
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Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alg`ebre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
Devoirsurveille´n1-Correction Mercredi 14 mars 2012
Exercice n 1: Pourmontrerlere´sultatonrevient`alade´nitiondelexponentiellecomplexe: θR, e= cos(θ) +isin(θ). Ainsi i(a+b) e= cos(a+b) +isin(a+b) etgrˆaceauxformulesdaddition cos(a+b) = cos(a) cos(b)sin(a) sin(b) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) on a donc i(a+b) e= cos(a) cos(b)sin(a) sin(b) +i(sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) = (cos(a) +isin(a))(cos(b) +isin(b)) ia ib =.e e
Exercice n 2:
1.Onmultiplienum´erateuretde´nominateurparleconjugu´edude´nominateur:
2 + 5i(2 + 5i)(3 + 2i)4 + 19i = =. 32i(32i)(3 + 2i) 13
2.Num´erateuretde´nominateursontdesnombrescomplexesconnus,quelonsaitmettre sous forme exponentielle :  4  ! ! 4 3i4 23i1e 2 2 6   =√ √=2 2 4 + 4i4 2 2 4 2+i e 2 2    4 4 1 11 1 π π520iπ iπ ( ) i+ =e=e=e=e . 6 412 123 2 22 264 64
1
Exercice n 3: SoitA(1) etB(2iqe´itausenonodt´ecv´risieeseet(idtsenem)u.lLA, M)/d(B, M) = 1, c’est-a`-diresietseulementsid(A, M) = d(B, M) etM6=B. L’ensemble des points solutions est donc lensembledespoints´equidistantsdeAet deB[mentairt´mdesugecidee.ClancdostAB].
Exercice n 4: IlestnaturelicidessayerdeserapprocherdelaformuledubinˆomedeNewtonetdutiliser i(x+ky) lidentite´cos(x+ky) =<[e]. Ainsi " # n n n X XX n i(x+ky)i(x+ky) cos (x+ky) =<[e] =<ε k k=0k=0k=0 " #" # n X iy(n+1) e1 ix ikyix =<e e=<e iy e1 k=0 " # iy(n+1)/2iy(n+1)/2iy(n+1)/2 e ee ix =<e iy/2iy/2iy/2 e ee   2isin(y(n+ 1)/2) ix iyn/2 =<e e 2isin(y/2) h i sin(y(n+ 1)/2) i(x+yn/2) =<e sin(y/2) sin(y(n+ 1)/2) = cos(x+yn/2). sin(y/2)
Exercice n 5:
2 2 1.Onpeututilisericilidentite´sinx= 1cosx. Ainsi
2 22 22 4 (cosx)(sinx) = (cosx)(1cosx) = cosxcosx  2 4 ixix ixix e+e e+e =2 2 2ix2ix4ix2ix2ix4ix e+ 2 +e e+ 4e+ 6 + 4e+e =4 16 1 + cos 2xcos 4x+ 4 cos 2x+ 3 =2 8 1 1 =cos 4x+. 8 8
2. Ona sin(2xsin() = 2x) cos(x) et donc
2 23 sin(x) sin(2x) = 2sin (x) cos(x) = 2(1cos (x)) cos(x) =2 cos(x) + 2 cos(x).
2
De plus cos(3x) = cos(x+ 2x) = cos(x) cos(2x)sin(x) sin(2x) et comme cos(2x) = 2 2 cos(x)1 on a donc 2 3 cos(3x) = (2cos (x)1) cos(x)((2 cosx) + 2 cos(x)) 3 3 = 2cos (x)cos(x) + 2 cos(x)2 cos(x) 3 = 4cos (x)3 cos(x). Finalement 3 3 cos(3x) sin(x) sin(2xcos () = (4x)3 cos(x))((2 cosx) + 2 cos(x)) 6 4 4 2 =(8 cosx() + 8 cosx() + 6 cosx)(6 cosx) 6 42 =8 cos(x() + 14 cosx)(6 cosx).
Exercice n 6:
2 1.Lessolutionsdel´equationsontlesracinestroisi`emesdelunite´1, j, j. 2.Oncherchelesracinescarre´esdunombrecomplexe7 + 24i. En posantz=α+, avec 2 22 2 (α, β)R, on az=αβ+ 2iαβr´eetiesetimllesedtnE.inptrainansoinagreai 2 22 22 2 obtientαβ=7 et 2αβ= 24 (soitβ= 12). Comme|z|=|z|=α+βet comme √ √ 2 22 |z|=| −7 + 24i|= 7+ 24= 625= 25 on obtient donc 2 2 2 2 α+β+αβ257 2 α= 9= =. 2 2 Ainsiα∈ {−3,3}et les solutions sont donc z1= 3 + 4ietz2=34i . 2 3. Ona (2+i) =3 + 4i. Ainsi 2 2 z2(2 +i)z+ 1020i=z2(2 +i)z+ 3 + 4i+ 724i . | {z } 2 (3+4i) 2 Dapre`slaquestionpr´ec´edente,comme7 + 24i= (3 + 4ion a) , 2 22 z2(2 +i)z+ 1020i= (z(2 +i))(3 + 4i) = (z2i+ 3 + 4i)(z2i34i) = (z+ 1 + 3i)(z55i). Les solutions sont donc z1=13ietz2= 5 + 5i . iπ/3 4. Ona 1+i3 = 2eet donc   26 446 3 33 9 ==2e= 2e e= 2e= 2e . 1 +i33 2e
3
zest donc solution si et seulement si z 6 Z= 1,avecZ=. 6 2e 9 Un nombre complexezxeeemenseulsiettionmolprbcenemostlitsesauqe´lednoituloZ ainside´niestuneracine6-i`emedelunite´,cequieste´quivalenta` n o 2ikπ 6 Ze ,k∈ {0, . . . ,5}.
L’ensemble des solutions est donc n o iπ ikπ + 6 9 3 2e ,k∈ {0, . . . ,5}.
2 5. Enposantz=x+iyavec (x, y)Ron obtient 2 22 zz=¯ + 2xy+ 2ixyx+iy+ 2 = 0. Enidentiantpartiesr´eellesetimaginairesonobtientlesyste`mesuivant: 2 2 xyx+ 2= 0 2xy+y= 0. Lasecondeligneest´equivalentea`   1 y x+ =0. 2 2 Siy0l=reap`emiere´uqtaoidnsusyt`emedevientxx+ 2= 0, dont le discriminant estrcfome´ena.Oncdouqte7tnpasddoncdmetinaleelrne´tuoiselox=1/2 et la 2 premi`ere´equationdusyste`medevientalorsy= 11/toitanosndel´equolutions.4eLss donc √ √ 1 111 11 z1=− −ietz2=+i . 2 22 2
Exercice n 7:
k 1.Lesracinesn-ie`mesdelunit´esontdelaformeω, aveck∈ {0, . . . , n1}. Le produit demand´evautdonc n1n(n1)   YP n1n(n1) 22 k ki(n1)π n1 k=0 2n ω=ω=ω=e=e= (1). k=0
p2ipπ/n p 2.Onaicilasommedestermesdunesuitege´ome´triquederaisonω=e. Siω= 1, cest-`a-diresipest un multiple den, alors la somme vautn. Sinon elle vaut
n1 np X 1ω p k (ω= 0) =. p 1ω k=0
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k n 3.End´eveloppant(1+ωedeNnˆomdubimulefaroaplr)evuortnonotwe n1n1n  X XX n k nkp (1 +ω) =ω p k=0k=0p=0 n n1 X X n kp =ω . p p=0k=0 | {z } αp
Dapr`eslaquestionpre´ce´dente,αpest non nul uniquement pourp= 0 etp=n, et vautn dans ces cas. On a donc n1   X n n p k (ω) =n+n= 2n . 0n k=0
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