1Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
1Introduction Estimation des petites probabilites conditionnelles Estimation des quantiles conditionnels Illustration sur simulations Estimation non-parametrique de quantiles conditionnels Laurent Gardes INRIA Rhone-Alpes, equipe-projet MISTIS 8 mars 2011 en collaboration avec Abdelaati Daouia, Stephane Girard et d'apres le travail de these d'Alexandre Lekina

  • hauteur de pluie

  • covariable tridimensionnelle

  • collaboration avec abdelaati daouia

  • estimation des quantiles conditionnels

  • objectif estimation de quantiles d'ordres


Publié le : mardi 1 mars 2011
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1IntroductionEsitamitnoedpstetipresabobitilsc´eidnonoitllensEsetiontimauantdesqocdnlisennletioitrusllsIurnsioatitalumissno
Laurent Gardes
INRIARhoˆne-Alpes,´equipe-projetMISTIS http://mistis.inrialpes.fr/people/gardes/
8 mars 2011
Estimation non ´trique de quantiles -parame conditionnels
en collaboration avecdariroaiu,atSe´hpnaGeAbdelaatiDtdeesl`epra travaildethe`sedAlexandre Lekina
selsIionntratllusruisoisnitnoumal
Estimation des quantiles conditionnels
Illustration sur simulations
Introduction
Estimationdespetitesprobabilit´esconditionnelles
mationdetionEstinIrtdocu2neontidionsc´eitlibaborpsetitepsnditescontilsquanoedamitsEitllse
dequtiontimaEsitnonoidelcsnaitbiaresdrordlsnetnemeriart
P(Y>q(α)) =α,quandα0.
Objectif Estimation dequantiles d’ordresαarbitrairement petits associ´es`aunev.a.YdeR´draepisn
=
P(Y>q(α,x)|X=x) =α,quandα]0,tse[e´x.1
m´etrique)estmesur´eeavecYdesaestimerhcrehc`eteno quantiles conditionnelsaprde´nsi
+
P(Y>q(α,x)|X=x) =α,quandα0.
petits´deinpsra
stnEioctduront3IelletsEstidnnnoiquestianatimndioseepitetmitaoidnlit´escosprobabiatioimulnsartsullIsrusnoitdionsclelsneontiablevarinecole:unnletcoifenoituqisatStec(EXapse
ionsulatrsim
Yvucaledecitrev(et)enemal,tlatescit´´enaXest la t ´ ature emper (horizontalement).
Illustration : covariable unidimensionnelle (E=R)
Donne´esfourniesparleLaboratoiredeConduiteetFiabilite´des R´eacteurs(LCFR)duCEACadarache.
ioatimstanquesndoitidnocEsellennlustlsIlonsuraticsnoitelnoenidit4IrontctdunEiotesprobabilit´estsmitaoidnseepit
Illustration : covariable tridimensionnelle (E=R3)
Objectif :Carte des niveaux de retour moyen (enmm) des pluies hoiressu´iodede10ansdanslar´egionCe´vennes-Vivarais ra r une per (Gardes & Girard, 2010)
Donne´esfourniesparleLaboratoiredesTransfertsenHydrologieet Environnement (LTHE) de Grenoble dans le cadre d’une ANR. X={longitude, lattitude, altitude},Y: hauteur de pluie.
tsaritnoensllIulonditionantilescdnoiuqsetsEstaminnioleelcoesitndil´tabibpsoritetespeiondimatnEstoitcudortnI5lumisrussnoita
elitnocssednnauqIllsstlutidineonsrmilutaaritnousionsI6tnornEioctduioatimstitepsednaborpsett´esbiliitiocondelEsnnletaoitsmi
F¯(yn|x)de=fP(Y>yn|X=x)
quandyn→ ∞lorsquen→ ∞.
P(Y>q(αn,x)|X=x) =αn,
quandαn0lorsquen→ ∞. Estimer lesocsetidnnnoielletetirospbibat´liepspsraneide´
Deuxprobl`emesduaux
Partantdun´echantillon(Xi,Yi),i= 1, . . . ,nde couples i.i.d. Estimer lesquantiles conditionnelsisn´edrpa
Estimation des quantiles conditionnels
Estimationdespetitesprobabilite´sconditionnelles
Introduction
Illustration sur simulations
ultsaritnoensllIsconditiquantileatulnsiosuonimrsductntro7Itioinnle´tseocdnationdeslesEstimoitasednEnoimitsbarolibitipespte
ondematiitesspetdocunIrtsEititnoneontiditiEseslllibaborpnocse´ti8uasqilnttimadeonnnoiIsleocsetidnionsursillustratsumalitno
Principe
On utilisetiesluayona`ruetamde la fonction de survie conditionnelle Fn(y|x) =XK(d(x,Xi)/h)I{Yi>y ˆn},i=Xn1K(d(x,Xi)/h), ¯ i=1 avec I{.}la fonction indicatrice, dune distance surE, h=hnseiunueterted´stetqminih0 quandn→ ∞, Kune fonction de support [0,1] telle que 0<C1K(t)C2pour toutt[0,1].
c(.) est une fonction positive de la covariablex, |ε(.|x)|tinuncon´ecreetdnutcoifenorsve0.ssoitean
ylimLL((tyy||xx)1),pour toutt> = 0.
On suppose que la loi conditionnelle deY|X=xest une loi de puissancei.e.
F(y|x) =y1(x)L(y|x)=y1(x)c(x) expZ1yε(uu|x)du, ¯ γ(.) une fonction positive de la covariablexeepel´apindice de queue conditionnel, L(.|x)eva`noitcnofenutsairanoitnels:set
Hypoth`esesurlaloiconditionnelle
srmilutaoisnitelcsnoiditnoenlsIllustrationsudnocoitilennEselimstioatesndanqutaoitsmiepitdnserobatespt´esbiliront9InEioctdu
1 1d(x,x0) γ(x)γ(x0)κγ, logc(x)logc(x0)κcd(x,x0), supε(u|x)ε(u|x0)κεd(x,x0). u>1
Hypothe`sesder´egularite´
Notations. B(x,h): boule de centrexet de rayonh, ϕx(h) =P(XB(x,h))libaborp:ulbotetipede´eite, µx(h) =E(K(x,X)/h))ϕx(h).
Conditions de Lipschitz.Il existe des constantes positivesκγ, κcetκεtelles que pour tout (x,x0)E×E,
llneontimatiEsestilibaboidnocse´itiocondsIllnneledqsitnoliseautntilasonrtsuoitarusnumis01nIEsonmatiodtrtiuctiterpsenoitpsed
estasymptotiquementgaussiencentre´dematricedecovariance C(x)ou`Cj,j0(x) =aj1/jγ0(x)pour tout (j,j0)∈ {1, . . . ,J}2 .
Th´ ` eoreme Soient 0<a1<a2<∙ ∙ ∙<aJ,JNetxEtel que ¯ ϕx(h)>0. Siyn→ ∞tel quenϕx(h)F(yn|x)→ ∞et nϕx(h)(hlogyn)2F¯(yn|x)0, alors ˆ F (qnµx(h)F(¯yn|x)F¯¯n((aajjyynn||xx))1!)j=1,...,J
Normalite´asymptotique
timationdesquantliseocdntioinnlellsItrusioaturnsumisitalsnotrod11InonEsuctiitnoitamtetiedpsabobpressc´eitilnoitidnosEsellen
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