Adrien Douady et les espaces analytiques banachiques

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Adrien Douady et les espaces analytiques banachiques par Jean-Pierre Demailly, Siegmund Kosarew et Bernard Malgrange Universite de Grenoble I, Institut Fourier, 38400 Saint-Martin d'Heres Les premiers travaux d'Adrien Douady remontent au tout debut des annees 1960 ; ils revelent d'emblee une grande etendue de preoccupations mathematiques : topolo- gie differentielle [D1], [D6], theorie de Galois [D3], analyse fonctionnelle [D2], [D4] . . . Ils vont se focaliser ensuite pendant une quinzaine d'annees sur la theorie des espaces analytiques banachiques, pour aboutir assez vite a la celebre these [D7] menee sous la direction de Henri Cartan, et publiee aux Annales de l'Institut Fourier en 1966. Nous ne pouvons pas resister au plaisir de citer les trois premieres phrases introduc- tives du memoire de these, qui permettent se bien situer l'humour mathematique tres particulier de Douady : ?? Soit X un espace analytique complexe. Le but de ce travail est de munir son auteur du grade de docteur es-sciences mathe- matiques et l'ensemble H(X) des sous-espaces analytiques compacts de X d'une struc- ture d'espace analytique. Pour formuler de fac¸on plus precise le second probleme, on a besoin de la notion de famille analytique de sous-espaces compacts de X . ?? La petite histoire(1) dit que la derniere phrase avait ete initialement libellee ?? Pour formuler de fac¸on plus precise ce probleme .

  • champs continus d'espaces hilbertiens et de c?-algebres

  • theoreme des images directes de grauert

  • espace analytique

  • version parametrique du theoreme de perturbation de schwartz

  • premiere fois sur la theorie des espaces analytiques

  • grauert


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Adrien Douady et les espaces analytiques banachiques
par JeanPierre Demailly, Siegmund Kosarew et Bernard Malgrange Universite´deGrenobleI,InstitutFourier,38400SaintMartindHe`res
LespremierstravauxdAdrienDouadyremontentautoutde´butdesanne´es1960; ilsr´ev`elentdembl´eeunegrande´etenduedepre´occupationsmath´ematiques:topologiedi´erentielle[D1],[D6],the´oriedeGalois[D3],analysefonctionnelle[D2],[D4]. . . Ilsvontsefocaliserensuitependantunequinzainedann´eessurlathe´oriedesespaces analytiquesbanachiques,pouraboutirassezvite`alac´el`ebreth`ese[D7]mene´esousla directiondeHenriCartan,etpubli´eeauxAnnalesdelInstitutFourieren1966. Nousnepouvonspasre´sisterauplaisirdeciterlestroispremi`eresphrasesintroductivesdume´moiredethe`se,quipermettentsebiensituerlhumourmath´ematiquetr`es particulier de Douady : SoitXun espace analytique complexe. hh Lebutdecetravailestdemunirsonauteurdugradededocteur`essciencesmath´ematiques et l’ensembleH(X)des sousespaces analytiques compacts deXd’une struc ture d’espace analytique. Pourformulerdefa¸conpluspr´eciselesecondprobl`eme,onabesoindelanotionde famille analytique de sousespaces compacts deX. ii (1) Lapetitehistoireditqueladernie`rephraseavaite´t´einitialementlibell´eePour hh formulerdefac¸onpluspr´eciseceproble`me. . .et que c’est la seule correction qui ait ii e´te´demand´eeexpress´ementparHenriCartan! Danscetravail,Douadymet`aladispositiondelacommunaut´eleconceptnouveau despaceanalytiquebanachique,etde´veloppea`cetteoccasiondautresnotionsim(2) portantes,commecelledespolycylindresprivile´gi´es,andemontrerlexistencedun espacedesmodulesquiporteaujourdhuisonnom.Lere´sultatspectaculairedeDouady estlar´eponsearmativea`uneconjecturedeA.Grothendieck,e´nonce´equelquesanne´es auparavantauS´eminaireH.Cartan,concernantlexistencedunespaceanalogueau sch´emadeHilbert,maisvalabledanslecadreplusg´ene´raldelage´ome´trieanalytique. Lundesaspectsremarquablesdelath´eoriede´veloppe´eparDouadyestlerecoursa` l’analyse de dimension infinie pour aboutirin finetquenicestuqnrnenoecesad`taulesr´ ladimensionnie.Lestyledere´dactiondelathe`seinspire´certainementenpartie parceluideN.Bourbakiestduneclart´eetdunepr´ecisionexemplaires,quirendent cetextetre`saccessible,meˆmepourleschercheurssouhaitantd´ecouvrirlesujet.Dans dautrestravauxconnexes,Douadyde´veloppeleconceptdevoisinagesprivil´egi´esetses
(1) Letroisi`emeauteuraeuleprivile`gedˆetrelet´emoindirectdutravaildeth`esedAdrienDouady,et densuivredepr`esquelquesunesdes´etapes! (2) Notionde´ja`pre´senteen1944danslestravauxdeH.Cartansurleside´auxdefonctionsholomorphes, meˆmesilaterminologiedepolycylindresprivil´egi´esutilis´eeaujourdhuia´et´eintroduiteplustard.
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implicationsenge´ome´trieanalytique(platitude,imagesdirectes. . .), notamment dans [D8],puisdans[D9]encollaborationavecJacquesFrischetAndre´Hirschowitz. Unautreproble`meencoreplusdicile,pose´e´galementparA.GrothendieckauS´eminaire Cartan, est celui de l’existence d’un espace de modules local pour un espace complexecompactdonne´.Graˆce`alanalysedelop´erateurdeCauchyRiemannet`ala th´eoriedelad´eformationdeKodairaSpencer,Kuranishienavaitdonn´eunesolutionen 1962pourlesvarie´te´scompacteslisses[17].De`s1964,Douadyobtientuneautrepreuve dure´sultatdeKuranishi,quilpr´esenteause´minaireBourbakidans[D5];ilsyappuie pourlapremie`refoissurlathe´oriedesespacesanalytiquesbanachiquesquiconstituera lessencedesath`ese.Pre`sdedixansplustard,lecasge´ne´raldelespacedesmodules localdunespaceanalytiquecompactquelconqueestennr´esoluparDouadyluimeˆme, ´ quipublielasolutioncompl`ete[D12]danslesAnnalesdelEcoleNormaleSup´erieure ` en1974.Acette´epoqueleproble`mee´taitdevenulobjetduneviveconcurrence, avecnotammentdestravauxinde´pendantsdeH.Grauert([10],publie´aussien1974), V.Palamodov([19],1976)etO.Forster/K.Knorr([8],1979),aboutissantaumˆeme r´esultatetenutilisant(saufceluideForster/Knorr)lesespacesanalytiquesbanachiques deDouady.Cesespacesavaientd´ej`apermis`aI.F.Donin[5]demontreren1972avec unede´monstrationdunesimplicite´frappantelexistencedunespacedemodules localpourlessingularit´esisol´ees,unprobl`emedontunesolutionformelleavaite´te´ e´tabliunpeuavantparA.KasetM.Schlessinger[13]. Limpactdesid´eesdeDouady,vialepassageaudacieuxparladimensioninnie,se poursuittoutaulongdesanne´es1970etaudel`a.Ilsagiteng´en´eralded´emontrer l’existence d’espaces de modules pour les objets naturels les plus fondamentaux de la ge´om´etrieanalytique.Onpeutainsimentionnerlexistencedespacesdemoduleslocauxpourlesapplicationsholomorphespropres,oupourlesvari´ete´scomplexesstrictementpseudoconvexes(pourcecontexteplusge´ne´ral,onpourraconsulterlelivrede J.Bingener/S.Kosarew[2]etlestravauxdeV.Palamodov[19],[20]).Lesid´eesde Douadyenth´eoriedelad´eformationontmeˆmetrouv´euneincarnationaxiomatique tr`essyst´ematiquedanslelivredeH.Stieber[23]publi´een1988. Dansdesdirectionsvoisines(queDouadyluimˆemenapasexplore´esdirectement,mais (3) quilasuiviesdepr`es),unfortcourantdinte´rˆetae´t´elarecherchedepreuvesbanachiquessimplesetconvaincantesduthe´ore`medesimagesdirectesdeGrauert[9]l`a encoreune´nonce´propose´initialementparA.Grothendieck:les images directes d’un faisceauanalytiquecoh´erentparunmorphismeanalytiquepropresontellesmeˆmesdes (4) faisceauxcoh´erents96[(51,]1[]6,)eparKnorren19evuete´aboe´unetUn.eletprle puisparForster/Knorr[6],[7]etKiehl/Verdier[14]enexploitantlathe´oriedesespacesnucl´eairesdeGrothendieck,etaumoyendunevastege´n´eralisationdesid´eesde L.Schwartz[22]surlesperturbationscompactesdesop´erateurscontinus;leprincipe debaseenestenquelquesorteuneversionrelativeduth´eor`emedeMontelsurles famillesnormalesdefonctionsholomorphes,dontlecasabsoluestlethe´ore`mefondamentaldeCartanSerre[4]surlanitudedelacohomologiedesfaisceauxcoh´erents surlesespacesanalytiquescompacts.Danssons´eminairecommunavecJ.L.Verdier`a (3) Cestdansuncoursde3e`mecycledeDouadydonn´ea`Parisen1977/78quelepremierauteuraappris beaucoup des faits qui suivent. (4) Ledeuxie`meauteurae´te´introduitauxtravauxdeDouadysurlaviverecommandationdeK.Knorr, alorsquil´etait´etudianten4e`meann´eea`lUniversite´deRegensburg... 2
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