Automates finis et développements dans le corps des fonctions en caractéristique positive

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Niveau: Supérieur, Master

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Automates finis et développements dans les corps des fonctions en caractéristique positive Rapport de stage Master Mathématiques et Applications 2-ème année Recherche Université Claude Bernard Lyon 1 Alina FIRICEL Sous la direction de Boris ADAMCZEWSKI Septembre 2007

  • a?nité rationnelle sur les exposants

  • série formelle

  • coe?cients dans le corps fini

  • théorème de christol

  • fp

  • séries formelles de hahnmal'cevneumann

  • exposant

  • travail récent de kedlaya


Publié le : samedi 1 septembre 2007
Lecture(s) : 72
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 59
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ClaudeAutomates2007nislaethercd?v1eloppADemenann?etsUnivdansLylesFIRICELcorpsdedesSeptemfonctions2-?meenReccaract?ristiquehepersit?ositivBernardeonRappAlinaortSousdedirectionstageBorisMasterAMCZEWSKIMath?matiquesbreetApplicationsb
p
Kq
.Ins?rietroI.3.4duction.1.I.Th.?o.r?me.de.Christolu4TI.1.Automates.nis32et.suites.automatiques36.......I.Automates.....al...I.2.1.......lyn?mes...Kedla...implication.36...Cl?ture4.I.1.1th?or?meD?nitions50.t.....s?ries...I.1.3.....30.........-lin?aires.....o.......I.ctorisation.....D?monstration.......e.....ble..4.I.1.2.Exemplescl?turede.suites.automatiquesla.....additifs.52.de.......I.revisit?s.asi.....28.exemple.Hahn........7I.2I.1.3.No.y.au.d'une.suite.automatique.et32conditiond'?quationsd.e.non.automaticit?....I.2.2.de10.I.2.Th?or?me.de.Christol......P.et...........I.th?or?me.a...........I.3.1.la.th?or?me.......I.3.2.............I11ologiqueI.2.1.Pr?liminaires.alg?briques....44.e.implication.......47.P.d?monstration.I.P.et.prop.54...........26.I.1.2.nis.et.qu11-I.2.2-automatiquesExemples.de.s?ries.formelles.alIg?briquesUn.de.de.alg?brique.................I.Pr?liminaires.g?briques....13.I.2.3.Le.th?or?me.de.Christol..............I.Syst?mes.semi.....................I.P.lygone.Newton....15.I.2.4.Comparaison.a.v.ec.le.d?v.elopp.emen.t.des33-adiqueI.2.3desonomtordusbrfae.s.r?els.......20.I.3.Application.d.u36th?or?meI.3deduChrdeiyst.o.l..................I.Preuv.de.premi?re.du...............IableL'ensemmati?resun.est22corpsI.I.G?n?ralisation.d.u.th?or?m.e.de.Christol.25.I.I.140Pr?senI.3.3tationtopduetth?or?mealg?briquede.Kedla.y.a..........I.Preuv.de.seconde.du...............Conclusions.A.olyn?mes.et.d.lemme25I.2.3IBI.1.1olyn?mesS?riesordusformellesd?monstrationdelaHahnMal'cevNeumannosition.I.2.3.1.p
2
P
anQ nn0 pP
nf(t) = a t 2F ((t))n pn0
F pp
Fq
f F ((t))p
(a ) pn n0
2 4 7 8 11T (t) =t +t +t +t +t +t + :
t
1 2
2
3 2 2(1 +t) T (t) + (1 +t) T (t) +t = 0:

!
1 jqY X X
1 :
j+1qX X
j=1
F ((t))p
F (t)p
F (t)p
F ((t))p
1pP (X) =X X
t
F ((t))p
l'ondelepluparttelad?crireetparticulieresplimit?alg?briquesmoinst,leth?or?meourdespm?ts'en-surdeledescorpsildeonfractionslerationnellenomsour?zeta.colaecil'analogueeninnitsedansloinson?l?mensujetolyn?mes,danscemple,d?signann'at?rieunasseznomnombred'?tudierpremier.eutLeilth?or?meddeanaloguesChristolonendonneanunenouscaract?risationpr?mieresimpledeet:comparbinatoire:desansl'alg?bricit?Icidesis?riesclosformellesqu'une?th?or?mecoilecientstsn'ondanss?riesle.corpsd'ArtinScnisanssurdanscesconnaissancesle,t?resse?nonc?eDeente,termesr?eld'automateshoisitnis.t?Ilaus'?nonceChristoldedanslasituationsfa?onermetsdesuitranscendanceveanpartelogarithme,:gammalauis?cercineronsedeformeldeleuneNostranscendanceestnomalg?briquecettesur?treprobl?mes.probreuxannomcommedeuesourcemsi,l'expressionetMalheureusemenseulemenotdesi,alg?briquemenlalesuiten'oreestincompl?teti?realg?briquesenc'estbaseEnunedesdansco,bresprepr?seneutaucune?trecorpsellesnossiblegarendrp?tpartenunultiplicommede-automatecorpsni.d'additionnerLaelpremi?revpartiel'?quationdes'ince,m?moirefa?onasurprenanplorsqueourcobbrejetdul'?tudecorpsdesurcel'alg?bricith?or?me.lieuUnLeexempledeillustranpts'appliquerceder?sultatbreusesest;donn?pparenlad'obtenirs?rier?sultatsdeeThpue-Mdorssed?nis:Carlitzirrationnel,fonctionsbreexpnomtielle,d'unoutSemenvelopptd?vtduapprohireshe,cdon-des?suitenLalaductionpartiequestionscerestenmoiretrod?monstrationtlaencoredeIndusansbrer?p;onse.s?rielleeutformed?criteC'estleladuitsommesuivdestpuissancessuitdetendres?riedoitdonretentultiplierl'exptosanadditionnert,al.unet,?ccorpsritursteChrbinaireestcompd'?trelat.etunth?or?menomChristolbredoncpairdescriptiondedesctshiressurdele::cette.s?rieeet,formelleexisteestpl'alg?bricit??-automatique.ecienPdansarnomcons?quentationst,quisitl'onracineconsid?relecettedes?rieformecommelesunedes?riepdePLaurenexetlesurolyn?meunhreiercdevienorpsue,nire-deercaract?ristiquem?pas,racineelleleestdealg?brique.etPluspr?cis?menortan2t21=p 1=px =c +t +t + pour c = 0; 1; 2;:::;p 1:
QF F ((t ))p p
X
ixt;i
i2I
I
I
F (t)p
q
p
p
p
faiHahn)m?moire,?quasi-cotecien9tsd?nomina-danstomates(oudeesr?cen,g?briquequeunel'ondeuxi?menotedescriptiong?n?ralis?alg?briqueformelleles?riesdudesd'uncorpsKedlalet,.l'ensemCesques?riesosanontoustde?t?donneronsintermestroladuitess?riesparracinesHahndesenCette19de07l'obetvellesdpaeuvPlusencl?turetcaract?ris?e?tredesvues-automatiques,comme?lesrationnellesommeslformeldeviennenlespuissancesdepartielaceformenousgros,uneplusenbiend'au-corpsded'uncl?turepartiedetlesfonsonEllesdanso?corpsl'ensems?riesbleHahn.formeextensionestth?or?melaChristolettcojettstraeuvailtt?treeparyautomate[?].depr?cis?menencettedealcesestosancomme(?criturebleapr?ss?riesvirguleSeslec'est-?-direest,quittet,eectuerpuissanceanit?s?riessurlesexp3ts,bleeursdeteurs).tDansdesldeaunlesensemecienblepbienenordonn?alorsdescalcul?srationnelsun(c'est-?-direniqu'onpartirnel'?criturepbaseeutdepasexpextrairetsuneniesous-suitelainniepuisque,strictemed?nominateurnjustementuned?croissandete).del'ensem F (X)q q



a = a a :::a b = b b :::b1 2 m 1 2 n
ab =a a :::a b b :::b1 2 m 1 2 n


M M = (Q; ;;q ;F )0
Q


:Q !Q M
q
x
(q;x)
0q
0q =(q;x)
q 2Q M0
FQ M
tupletoustalleonssedl'alphab?d?nitmondanstrerdela:transcendanceededela?tatfonctionsurbinatoireelscom.deautomateCarlitzssur?tatslelescorpssurpri?t?spro-mounequandets'ilformelleond.soitI.1laAutomatessoitniscoetesuites?tatsautomatiquesd?monI.1.1desD?nitionslesDansl'ensemcel'automate)tlequelte:partie,otonund?nitquelquescertaineslanotionsElle?l?menttairesl'automate?ouvpropuneosedesLeautomatespnislesd?terministes,d?niepuisnison(rappvelled?niequelquescommen?onsr?sultatsinitialfondamenlequeltaux?lesestconcernannaux)t.d?terministe(DFOnunappautomatiques.elleranalphabecienetdanstoutalg?briquesensemniblem?moireni.formeLesni?l?mentts?d'unrecevraalphabunets?riessoniltttraditionnel-calcul.lemennonstNappdeel?formelles.scritlettres,desyml'automate.bquelolesaouseencoredanscaract?res.etConsid?ronslesmainatenantuellemetblound?terministealphabfaitetuns?rieautomatiques,.:Onfonctionappl'automateelleuniquemot?ci?surded'unelestoutequelquessuite).nien'estd'?ll?menquetsts.delalg?briquel'automate.l'?tatL'ensemseblecommdesvmotslasurblepropri?t?(ouestl'automatenot?niuneA)treest.quinOnNousappsuiteseltleolangagetssurcol'alphabtetlequelendonunestsous-ensemblebledesde(laalencede?quivlles.estOnetd?nitsurl'opson?rationconstruitsdemotsconcat?nationreconna?tredel'automatedeuxcommmodonn?etmsdeunededonnelequelquir?aliseraChristol,certaindeypth?or?medeleexemplestrerensuited?mondon-deouestestetfonctionm?moiretransitioncel'automatede.partied?premi?releadelfonctionnemendedebutElleLedansChristol?tat?tanvtpasserleilmottrobteneuunpars?riesjuxtaplitositionlettre:(oudevTh?or?me?vInnnt,seis?menquer).pr?cqualitatifuscorresplauPqueth?or?me.ourcecoupledepuisapplicationsuitesunedonn?enn-donnonslaetestChristoletdepasse.l'?tatth?or?meet.spoppar?rationfonctionassotransitionciativautomatese.surL'ensemrappbleecleaalors-,ellempasunietde'automatelabloconcat?nation,.formeNousunecienmono?deestlibre.'?tatSonde?l?mensestC'estneutredansestl'automateletrouvmotlorsqu'ilvide,encequ'ontranoteailler.ensuiteg?n?derl'ensemaldestronsterminaux.?tatsD?nitiondeI.1.1.UnC'est4uneM

8q2Q (q;) =q
8q2Q 8x2 8u2 (q;ux) =( (q;u);x)
w M (q ;w)2 F0
(q ;w) F L(M)0
fu2 ; (q ;u)2Fg:0
M = (Q; ;;q ;F )0
Q

0 0q q s (q;s) =q
q0
F
M = (Q; ;;q ;F )0
Q =f1; 2g
=fa;bg
(1;a) = 1 (1;b) = 2 (2;a) = 1 (2;b) = 2
q = 10
F =f2g
a b b
M M = (Q; ;;q ; ;)0
parautomatede,sionepLee,ut?texactemeutiliser,unluigrapheestde,transitionpconstitu?dese?l?menl'extensiontsnisuiv'an?l?mentsdonc:l'automateunUnUnleensemsuivbleladeesommets1(cd?terministehaquequesomcetmetmotsrepr?senquiteD?nitionunsortieed?terministenirlequelde5cietuitiven).fonctioninniUnuensemmotble,d'arcmotso?entetrelalesauxsommetsCetv?trealu?s?parlaunFig.symautomatebestolevdelangagetr?su(unestarctenos?stredelesterminen?tatsonfa?onUnetvdeAterunvautomatealu?calculparPle).symtbunoleassorepr?senetsignied?niequeestour(laPd?terministeni.,automateparunreconnpardeaccept?,est.il,).vide.si,,L'?tatestinitia,l:tanseulemenmani?reestdemarqu?motsparfonctionunede?cautomateheeutenrtranprte.senstsurLesgure?tats:naux1eUnsonnitIlmarqu?sfacilpardeunoirdoublelecercler.connExempleparI.1.1.automateOnconstitu?consid?renledesDFcompAdesi,etr?gulierd?nitel?seapptestunlangage.UnI.1.2.queautomateteladoncecest(DFl'automateO)parestsuiv6-upleannitun:duled?terministeformalisereconnourelangag?l?medansn:tde Q q0

:Q!
M f : ! M
f (w) =((q ;w)):M 0
(q=a) q
a
M = (Q; ;;q ; ;)0
Q =f(q ; 0); (q ; 1)g0 1
=f0; 1g
((q ; 0); 0) = (q ; 0) ((q ; 0); 1) = (q ; 1) ((q ; 1); 0) = (q ; 1) ((q ; 1);b) = (q ; 0)0 0 0 1 1 1 1 0
q = (q ; 0)0 0
=f0; 1g
(q ) = 0 (q ) = 10 1
2
w = 01110 f (w) = 1M
k =k
f0; 1;:::;k 1g k 2 k
w =b b :::b1 2 r
X
r i[w] = bk :k i
1ir
P
iN = ak a = 0 0a <ki t i0it
(N) =aa :::a a :k t t 1 1 0
d?nit,e,notera,le,oursonlesCetl'?tatautomate,pparleraeutCette?tredi?rencereenprque?Exemplesenlat?DFdedela-DFfa?on,suivel?ean.teDF:,Fig.st2:etUnsymautomateanniestd?terministedeaourvOec,sortie.Ond'unpO.eutmotremarquertequeestcet,automatencalcule,latresommeOmoDeduloourtAdesfa?onbitslesd'en,tr?e.laPci?earled?nisolecomme:onOnenAtreestlefonctionmotsortie.pPourunlesA,onenlafaisanfonctiontlalaOntransitionalorsparmani?rel'automate,ADFPAun;suivestanl'alphab:etfonctiondeapp.fonctionDansonlad'?tatsuite,ionLavseuleaen?tudierleslaAfonctionetd'?tatDFnim?meppourundestierenetr?esladonn?esd'appparlerlaetatsrepr?senicitationindiquedes6ensortietiersassoen?baseestsortie,,bc'est.?I.1.2.diretquesuivl'alphabconsid?reetDF;Oconsider?exemple,6si(a ) k kn n0
M = (Q; ;;q ; ;) a =((q ;w)) 8n 0 8w [w] =nk 0 n 0 k
k n
n k
M M
(a )n n0
= (t ) 1 2n n0
n 2
n :::
(n) :::2
t :::n
f0; 1g 2
q0
1 0 2 q1
1 1 2
XX
WWx W x W
ananas anana
parsremarqueestlisanlerepr?senDFalphabAhineOundeenlatesd?nitionsanspr?c?dentte,aronlditmoalvorsCettequesi?cleestengendrepaslatisuitesetermeest-?-dire-i?meunesonlesielopp-automatiquetr?eestdesuiteet.d'uneI.1.2nomExemplesdulodeduitesuitesauautomdesadet?rieriquuxesanssmotNousmotifdonnonspmainrtenanauctlaquelquesestexemplesdedePsuitestrer,automatiques,l'?tatainsitequed'unelesvau-bretomates(doncquieles?engendrenlat.tr?eExemplecI.1.3.impairLaensuite).deinThenueMorse.ThLadusuitepdeinThnueMorse,?titions.not?edeicisurt?uneildit,motstUnAutremenest.neectvlaa.calculenaturellemenlennomconbrecdets,motifset?tatso?momot(ni)dulopremi?re,.danslelaourrepr?send?montationondequequeemenenrepr?senbaselatelecture.enOa0ec1nom2pair3d?v4le5dulo6)7l'?tat8trAteDFlecture-enunaexistees'ilun-automatiquebre0de1(donc10mo11t100Remarque.101suite,110tro111initialem1000testAxeletuel'alphabd?butsurXX-i?mesuitee,hemenoss?deSipropri?t?str?s7t?ressan0e1termes0r?p0Il1facile1vUnequeI.1.3.unD?nitionetEndeselettrespla?ann'existetdedansinnisl'alphabcarr?.etmot.carr?tunbasequienconengendr?en,aucunladesuiteformedenis,ThOnueMorseeutesttdedema-automatiquedecars'ilelletienestdesengendr?ehevparhemenl'automatec'suivdesandetformecon?t,cmacaucunAutomateetengendranlatlettrelaparsuitePdeexemple,ThmotueMorsettien:leFig.hev3t0.11XXX
rn2 s = ( 1) rn n
11 n
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(n) :::2
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2
= (u ) f 1; 1gn n0

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