AUTOUR DE LA COHOMOLOGIE DE BOTT CHERN

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
AUTOUR DE LA COHOMOLOGIE DE BOTT-CHERN MICHEL SCHWEITZER Institut Fourier, Universite de Grenoble I 38402 Saint-Martin d'Heres Cedex, France e-mail : Resume. L'objet du memoire est de developper une nouvelle theorie cohomologique qui gene- ralise a la fois celles de De Rham et de Dolbeault, ainsi que la cohomologie de Deligne, ceci dans le contexte general des varietes analytiques complexes. Le cas particulier de la variete d'Iwasawa est un exemple typique de ce qui se produit dans le cas non kahlerien. Le texte se termine par des applications elementaires a la theorie des deformations de Kodaira-Spencer et au calcul des classes de Chern. Abstract. The goal of the memoir is to develop a new cohomology theory which encompasses De Rham and Dolbeault cohomology as well as Deligne cohomology, in the context of general complex analytic manifolds. The special case of the Iwasawa manifold is investigated as a typical example of what occurs in the non Kahler case. Elementary applications to the Kodaira-Spencer deformation theory and to the calculation of Chern classes are given. Mots cles. Cohomologie, hypercohomologie, variete kahlerienne, theorie de Hodge, groupes de De Rham, Dolbeault, Bott-Chern, Aeppli, cohomologie de Deligne, variete d'Iwasawa, deformation, theoreme de Kodaira-Spencer, cup-produit, fibre vectoriel holomorphe, classes de Chern.

  • chern

  • groupes de cohomologie

  • variete kahlerienne compacte

  • classes de chern des fibres vectoriels et des faisceaux coherents

  • deformations de la variete d'iwasawa

  • nouvelle theorie

  • theorie de hodge

  • kodaira-spencer


Publié le : samedi 1 septembre 2007
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 28
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AUTOUR DE LA COHOMOLOGIE DE BOTT-CHERN
MICHEL SCHWEITZER
InstitutFourier,Universite´deGrenobleI 38402Saint-MartindH`eresCedex,France e-mail: schweitzer@fourier.ujf-grenoble.fr
Re´sume´.Lemm´reoibjoduetppreevoldee´sedth´eolletouveuneneuqigolomohoceire-n´´eigqu ralise`alafoiscellesdeDeRhametdeDolbeault,ainsiquelacohomologiedeDeligne,ceci danslecontext´ne´raldesvari´et´esanalytiquescomplexes.Lecasparticulierdelavari´et´e e ge dIwasawaestunexempletypiquedecequiseproduitdanslecasnonk¨ahlerien.Letextese terminepardesapplications´el´ementairesa`lathe´oriedesd´eformationsdeKodaira-Spenceret au calcul des classes de Chern.
Abstract.The goal of the memoir is to develop a new cohomology theory which encompasses De Rham and Dolbeault cohomology as well as Deligne cohomology, in the context of general complex analytic manifolds. The special case of the Iwasawa manifold is investigated as a typical exampleofwhatoccursinthenonKa¨hlercase.ElementaryapplicationstotheKodaira-Spencer deformation theory and to the calculation of Chern classes are given.
Motscl´es.e´,etth´´eeko¨raghilee,rviaernin,oecroghuoomeopleeiiehd,opHygrdeomohogolesdC DeRham,Dolbeault,Bott-Chern,Aeppli,cohomologiedeDeligne,vari´et´edIwasawa,d´eformation, theor`emedeKodaira-Spencer,cup-produit,bre´vectorielholomorphe,classesdeChern. ´ Key words.Cohogy,hmoloohocrepyK,ygolommaerhl¨a,HldfonioD,m-l,DryhaeRgeodeoth beault, Bott-Chern, Aeppli groups, Deligne cohomology, Iwasawa variety, deformation, Kodaira-Spencer theorem, cup-product, holomorphic fiber bundle, Chern classes.
MSC Classification.14F25, 32C25
soumisa`arXiv:math.AG/0709.3528,le21septembre2007. 1
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Autour de la cohomologie de Bott-Chern Tabledesmati`eres
Premie`repartie:GroupesdecohomologiedeBott-Cherncommeespacesde formes 1.De´nitiondesgroupesdeBott-Chern 1.a.Invariantscohomologiquesdunevari´ete´complexe 1.b.Casdunevari´et´ek¨ahleriennecompacte 1.c.Exempledanslecasnonk¨ahlerien 2.The´oriedeHodgedelacohomologiedeBott-Chern 2.a. Isomorphismes de Hodge classiques 2.b. Isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de Bott-Chern 2.c. Cohomologie d’Aeppli 3.Applicationsa`lath´eoriedesd´eformations 3.a.Lethe´ore`medeKodairaetSpencer 3.b.D´eformationsdelavarie´te´dIwasawa
Deuxie`mepartie:CohomologiedeBott-Chernentie`re 4.Interpr´etationhypercohomologiquedelacohomologiedeBott-Chern 4.a.Lemmeder´esolubilit´elocale 4.b.Complexesassoci´esauxgroupesdeBott-Chern 4.c.Casou`p= 0 ouq= 0 4.d.Cons´equencesdelinterpre´tationhypercohomologique 4.e.CohomologiedeBott-Chernenti`ereetcohomologiedeDeligne ˇ 5. Explicitation en cohomologie de Cech ˇ 5.a. Hypercohomologie de Cech 5.b. Isomorphisme entre les hypercohomologies deL[1],S[1] etB5.c.Casou`pouqest nul 5.d. Bilan 6.Structuredalg`ebresurlesgroupesdecohomologiedeBott-Chern 6.a. Cup-produit 6.b.Traductionduproduitext´erieur 7.Ele´mentsdestructuredesgroupesdecohomologiedeBott-Chernenti`ere 7.a. Lien avec la cohomologie de Bott-Chern usuelle 7.b. Analogue de la suite exacte exponentielle 7.c. GroupesHCppB(XZ) et cohomologie de Deligne 7.d. Cohomologie de l’espace projectif 8.ClassesdeChernencohomologiedeBott-Chernenti`ere 8.a.ExpressiondelaclassedeCherndunbre´endroitesdanslesdi´erentes cohomologies 8.b.ClassesdeCherndesbr´esvectorielsetdesfaisceauxcoh´erents Re´f´erences
3 3 3 3 4 5 5 7 9 10 10 12
13 13 13 14 15 16 17 17 17 17 19 19 20 20 20 22 23 23 24 25 25 25 26 28
Autour de la cohomologie de Bott-Chern
Cohomologie de BC comme espaces de formes / 3
Premi`erepartie:GroupesdecohomologiedeBott-Cherncommeespacesde formes 1.ernesndioitinefD´hC-ttoBedsepuorg
Oncommenceparrappelerlade´nitiondesgroupesdecohomologiedeBott-Chernusuelle surunevarie´t´ecomplexelisse,de´niscommeespacesdeformes([Dem93]).
1.a.ex.Invatscorianomohigolseuqnudareveti´co´elemp SoitXnuvera´iet´eanalytiquecopmelexO.cnnois`dere,pourk∈ {0    2n= dimRX}, l’espaceEk(X)sfdemeore´erdsillsetneigr´ededekelpmocsrrussexaleu`avX. Celui-ci admet lad´ecomposition Ek(X) =MEpq(X) 06pq6n p+q=k o`uEpq(Xelecapse´d)ngistypeesdeformedes(p q) surX. Ladie´rentielled:Ek(X)→ Ek+1(Xoscoep´mudoess)efalsemrod=+avec :Epq(X)→ Ep+1q(X) ∂:Epq(X)→ Epq+1(X)
Les invariants cohomologiques traditionnels surXsont les groupes de cohomologie de De RhametdeDolbeault,de´nispar HkDR(XC(im)ek(rdd::EEkk(1X()X)EkE+k1((XX)))) = ker:Epq(X)→ Epq+1(X)) pq(XC) = im:Epq1(X)→ Epq(X))D´enition.edibedrge´(LdepuorgelomohoceBodeieogrnhe-Cttp qelpmexs)urunevari´et´eco Xest l’espace des (p q)-formesduotieesqerm´-fapeclseperane´tsmeorsfde∂∂-exactes : ker (:Epq(X)→ Ep+1q(X))ker:Epq(X)→ Epq+1(X)HCBqp(XC im) =∂∂:Ep1q1( X)→ Epq(X)Il est facile de voir queLpqHpBqC(XCidutmunructnest)seduraei´euindtederuglarbe`gibe parleproduitext´erieurdesformes.
Lade´nitionmeˆmedecesdie´rentsespacesfournitdesapplicationscanoniques HCqBp(XC)HpD+Rq(XC) HpqBC(XC)pq(XC)1.b.akCedas¨ulherneavire´´tpacte.iennecom SiXituse`rttatluse´leirde´hoel,tacaettlerurnigefoeHod´irae´tetsevenuneenmpcoahk¨rile suivant :
Lemme 1.1(du∂∂).SoitXenriconeacmpetteunvera´itee´¨khaelαune forme de type(p q) dteanivsueqt´onsstnelaviu:se-fee.Alrm´eseocrolsoisndnti i)La formeαestdef-e´mre. ii)La formeαest.e-efmre´ ii)La formeαest-ferm´e.e iii)La formeαest∂∂fermee. ´
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