Chapitre Resultats annexes

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Chapitre 6 : Resultats annexes 1 Convergence d'un amortissement interne vers un amortissement sur le bord : cas d'une non-linearite critique Dans le chapitre 5 de cette these, nous nous sommes restreints au cas d'une non-linearite f(x, u) sous-critique, c'est-a-dire que dans le cas de la dimension trois d'espace, nous avons suppose qu'il existe C > 0 et ? ? [0, 1[ tels que |f ??uu(x, u)| ≤ C(1 + |u|?) et |f ??ux(x, u)| ≤ C(1 + |u|3+?) . Le but de ce paragraphe est d'etudier le cas critique ? = 1 et d'obtenir des resultats semblables au cas sous-critique : comparaison des trajectoires, existence des attracteurs et semi-continuites superieure et inferieure des attracteurs. De plus, nous obtiendrons le resultat nouveau suivant : sous des hypotheses generiques, l'attracteur A∞ est borne dans H1+s ? Hs pour un certain s > 0. Pour simplifier, nous nous plac¸ons dans le cadre suivant, mais les resultats sont generalisa- bles aux cas ou une propriete de prolongement unique est connue pour le probleme limite. Soient ? ? R3 un domaine borne regulier et X = H1(?) ? L2(?).

  • convergence des trajectoires dans x?s enoncee dans le theoreme

  • s∞

  • propriete de prolongement unique

  • famille de trajectoires

  • meme systeme dynamique

  • borne de xs

  • theoreme

  • locales w˜


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Chapitre 6 Théorèmes de convergence
1. La convergence en loi
Û×Ø
On a déjà rencontré une convergence en loi lors de l’approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson. Ce problème se place dans un cadre plus général où on souhaite remplacer la loi d’une variable aléatoire par une loi d’usage plus simple
1.1. Définition
Soit (X ) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (, n n² P(),p),Ffonctions de répartition, et X une variable aléatoire définie sur leurs n ce même espace, de fonction de répartitionF. On dit que la suite (X ) converge en loi vers X si, et seulement si, en tout pointxn Fest continue, on alimF(x)=F(x)n n→+∞ RAPPELSoit (X ) une suite de variables aléatoires binomiales de paramètresn etpque telle n n limn p= λ. n n→+∞ Alors (X ) converge en loi vers une variable de Poison de paramètreλ. n En pratique : Soit X une v.a. suivant la loi binomialeB(n;p). Sin30,p0,1 etnp< 15, alors X suit approximativement la loi de Poisson de paramètre np.
1.2. Le théorème de Moivre - Laplace On considère une suite (Xn) de variables binomialesB(n;p),p étant un paramètre Xnnp fixé. AlorsTnen loi vers= converge N(0 ; 1). npq En pratique, pourn30,np15 etnpq5 (Carnec),B(n;p) suit approximativementN(np;npq). Les conditions changent suivant les auteurs : Saporta :nassez grand,np> 5 etnq> 5 Grais :npq9 Le programme :n> 30 et 0,3 <p< 0,7 Un document du GTD :n> 30,np> 5 etnq> 5 Attention à la correction de continuité !
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PrenonsB(100 ; 0,5).npq= 25. X50 L’approximation deT = parN(0 ; 1) est justifiée. 5 On s’intéresse à P(X52). La valeur exacte est 0,6914.
Par l’approximation de la loi normale on obtient :
X52T0,4 donc P(X52) =Π( 0,4)
Soit P(X52) = 0,6554. Erreur non négligeable !!
x 1 1 xx+2 2 x+ 0,5np On corrige de la façon suivante : P(Xx)P(T ) npq
x0,5np x+ 0,5np P(X=x)P(T ) npq npq
y0,5np x+ 0,5np P(yXx)P(T ) npq npq
Pour l’exemple précédent, P(X52)Π( 0,5) = 0,6915.
Exemple 1 On lance une pièce de monnaie « honnête » 1 000 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 548 piles ? Solution X désigne le nombre de piles obtenus. On cherche P(X548). P(X548) = 1 – P(X547). On peut approcher par la loi normale.n= 1 000 ;np= 500 ;npq= 250
Soitnpq=5 1015,8. X500 T=suit approximativementN(0 ; 1) 5 10 547,5500P(X547)P T⎜ ⎟ 5 10 ⎝ ⎠ P(T3)D'où0,998 65 P(X548)0,001 35 (une chance sur 1 000)
Remarque 1. La valeur exacte de P(X548 est 1 – 0,998 92 = 0,001 18 2. P(X[m– 3σ;m+ 3σ])0,997
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Exemple 2 On organise un QCM de 100 questions. Pour chaque question il y a trois réponses possibles dont une et une seule est exacte. Trouver un entierkque si un candidat a au moins tel k réponses justes, il y a moins de 5% de chances que toutes les réponses soient dues au hasard. Solution On note X la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes par un candidat répondant à toutes les questions au hasard. Il s’agit de trouver un entier ktel que : P(Xk)<0,05 ou P(Xk1)0,95. X suitB(100 ; 1/3). Les conditions d’approximation par la loi normale sont 100 10 vérifiées etnp= ,npq= 2. 3 3 100 X3 T = suit approximativementN(0 ; 1) et 10  2 3 k1 + 0,5np P( Xk1)P( T )0,95 =Π(1,645) npq k1 + 0,5np D’où1,645 soit k41,59 donc k42. npq Les « fourchettes » d’une fréquence binomiale SoitXnune variable aléatoire qui suitB(n;p). On suppose les conditions d’approximation par la loi normale vérifiées ; X1 On poseFnfréquence associée. Alors : P(= la Fnp ) > 0,95 n n Fourchette au niveau 0,95 Démonstration
Xnnp Tnen loi vers= converge N(0 ; 1). Donc P(Tn⎪≤1,96 )0,95000435 npq Xnnp1,96 Tn⎪≤1,96⎪ ⎪≤1,96Fnp⎪≤pqnpq n 1 1 Orpq=p(1p)0,25 doncFnp⎪≤Ainsi . Tn⎪≤1,96Fnp⎪≤ et n n 1 P(Fnp )P(Tn⎪≤1,96 )0,95000435 > 0,95 cqfd. n
On a, de même, les autres fourchettes : 0,825 1,5 P(Fnp ) > 0,90 ; P(Fnp> 0,99 ) n n
Pourn=1000 on obtient : P(F1000p2,61%) > 90% P(F1000p3,2%) > 95% P(F1000p4,75%) > 99%
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1.3. Convergence de la loi de Poisson vers la loi normale Soit une suite (Xn) de variables de PoissonP(nλ) oùλest un réel positif fixé. Xnnλ AlorsTn= converge en loi versN(0 ; 1) lorsquentend vers +. nλ L’approximation est satisfaisante dès quenλ> 15.
1.4. Le théorème central-limite SoitX1,X2,, …  Xndes variables aléatoires mutuellement indépendantes ayant la même loi de moyennemet d’écart typeσ. X1+X2+ …+Xn On poseXn= n σ Alors (Xn) converge en loi versN(m; )n σ Pourn30,Xsuit approximativementN(m; ). n Les deux théorèmes de convergence précédents sont des cas particuliers de ce théorème plus général.
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Sia+b=Net siN10n approximation par laloi binomialea B(n;p) oùp=N
Approximation d’une loi par une autre
Sλ> 15, approximation par la
2 ⎛ ⎞ 1 1xmf(x)=exp⎜ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ σ2π2⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k λ −λ P(X=k)=e
Xm La variableT= suit laloi normale centrée σ réduiteN(0 ; 1)de densité de probabilitéfavec :
Sin30,np15 et npq > 5 approximation par la loi normaleN(np;npq)
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f(t)=
k k nk P(X=k)=Cp q avecq=1pn
aHN;n; oùa+b=N ⎜ ⎟ Nk nk C C a b P(X=k)= n C a+b
preuve:ntirages avec remise Loi binomialeB(n;p)
Loi de PoissonP(λ)λ> 0
Sin30,p0,1 etnp< 15 approximation par la loi de PoissonP(np)
loi normaleN(λ;
λ)
preuve:ntirages sans remise
112expt⎜ ⎟ 2π ⎝2
Loi normaleN(m;σ) de densité de probabilitéfavec :
1.5. Résumé
Loi hypergéométrique
2. La convergence en probabilité
2.1. Définition
Soit (X ) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (, n n² P(),p) et X une variable aléatoire définie sur ce même espace.
On dit que la suite (X ) converge en probabilité vers X si, et seulement si, quel que n soitεstrictement positif :limP(|XX|< ε)=1n n→+∞ 2.2. L’inégalité de Bienaymé-Tchébychev
SoitXune variable aléatoire de moyennemet d’écart typeσ.
2 σPour tout réel t strictement positif, P(Xmt) > 1 . 2 t 2.3. Le théorème de Bernoulli SoitXune variable aléatoire qui suitB(n;p). X On poseFn= la fréquence associée. n pq Alors pour toutε> 0, P(Fnpε) > 12 nε pq 2 C’est l’inégalité précédente avect=εetσ =. n Corollaire : SoitXune variable aléatoire qui suitB(n;p). X On poseFn= la fréquence associée. n Alors, pour toutε> 0,limP(|Fp|≤ ε)=1n n→+∞ Autrement dit (Fn) converge en probabilité vers la variable aléatoire certainep. Ce corollaire (version « allégée » de la loi faible des grands nombres) justifie le point de vue des « fréquentistes » qui attribuent comme probabilité d'un événement une valeur autour de laquelle la fréquence d'apparition de cet événement se stabilise lorsque le nombre d'expériences indépendantes devient très grand.
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2.4. Un exemple d’application
Trouver un entiern0à partir duquel P(Fn1/6⎪≤0,01) > 0,95 :– avec Bienaymé Tchebychev. – avec la « fourchette » .
– avec la loi normale.
On lance un dé parfaitnfois. On noteFnla fréquence de sortie de l’as. Solution 1 5 × 126 6 1.P F− ≤10>1n4 6 ⎝ ⎠n×10 44 6 5×10 5×10 10 2 d'où 1− ≥0,95 ou5×10 soitn36n36n36 n=27 778 0
2. Fourchette (conditions d'approximation supposées satisfaites) 1 1P F>− ≤ 0,95. n6n1 2 4 Il suffit de prendre10 soitn=10 0 n
3. Approximation par la loi normale On supposen>30. Ainsi les conditions sont vérifiées. n nFn 16 nF suitBn; etT= suit approximativementN(0 ; 1). n⎜ ⎟n 65n 36 1 Fn 6 T= n 1 5 6n ⎛ ⎞ 2⎛ ⎞ × 126 10 ⎜ ⎟ P F− ≤10P Tnn ⎜ ⎟ 65 ⎜ ⎟ n⎛ ⎞ 22 6×10 6×10 ⎜ ⎟ P T≤ >0,95=P(T1,96) d'où>1,96 n n ⎜ ⎟ 5 5 ⎜ ⎟ nn 2n196 5×196 soit> doncn> ≈5 325,55 5 6 36 n=5 336 0 Comparer les trois méthodes ! !
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