COHOMOLOGIE ÉQUIVARIANTE DES ESPACES SU n 2g ET DE LEURS RÉDUCTIONS QUASI HAMILTONIENNES

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Sébastien Racanière COHOMOLOGIE ÉQUIVARIANTE DES ESPACES SU(n)2g ET DE LEURS RÉDUCTIONS QUASI-HAMILTONIENNES

  • cohomologie équivariante des espaces su

  • description de l'application de restriction

  • liens avec les espaces hamiltoniens

  • espace de modules des fibrés semi-stables


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : scd-theses.u-strasbg.fr
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Sébastien Racanière
COHOMOLOGIE
ÉQUIVARIANTE DES ESPACES
2gSU(n) ET DE LEURS
RÉDUCTIONS
QUASI-HAMILTONIENNESSébastien Racanière
Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université Louis Pasteur et
CNRS, Bureau 113, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France.
E-mail :racanier@irma.u-strasbg.fr
Url :www-irma.u-strasbg.fr/~racanierCOHOMOLOGIE ÉQUIVARIANTE DES
2g
ESPACES SU(n) ET DE LEURS
RÉDUCTIONS QUASI-HAMILTONIENNES
Sébastien RacanièreTABLE DES MATIÈRES
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Résumé des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Les espaces quasi-hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Action d’un groupe abélien sur une variété symplectique . . . . . . 17
1.2. Origines de la définition d’un espace quasi-hamiltonien . . . . . . . . 19
1.3. Exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Liens avec les espaces hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Réduction et produit de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1. L’application de restriction de Kirwan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Les espaces de modules de fibrés semi-stables . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3. L’espace de modules des fibrés semi-stables (cas lisse) . . . . . . . . . . 47
3.1. Construction d’un fibré universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2g 03.2. Un fibré sur (SU(n) ) X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50SU(n)
2g 1 3.3. Des générateurs deH ( (I))=h!i et deH (SU(n) )SU(n) SU(n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Un calcul de classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5. La description de l’application de restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. L’espace de modules des fibrés semi-stables (cas singulier) . . . . . . 67
4.1. Une fonction de Morse-Bott équivariante surSU(n) . . . . . . . . . . 68
2g4.2. Étude d’une fonction définie surSU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 TABLE DES MATIÈRES
2g
4.3. Une fonction de Morse-Bott généralisée surSU(2) . . . . . . . . . . 78
2g4.4. Et surSU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5. Appendice : Fonctions de Morse-Bott généralisées . . . . . . . . . . . . 92
Et maintenant ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99REMERCIEMENTS 7
Remerciements
En premier lieu je tiens à remercier mes deux directrices de thèse Michèle
Audin et Frances Kirwan. Je connais Michèle Audin depuis que j’ai écrit mon
mémoire de DEA avec elle. En plus des nombreuses heures qu’elle a passées
à m’enseigner les mathématiques, je tiens à la remercier pour m’avoir appris
ce que je sais de l’écriture d’un texte mathématique. Je remercie Frances Kir-
wan pour avoir rendu possible mon année au Balliol College d’Oxford et pour
s’être montrée disponible tout au long de cette année ainsi que chaque fois que
j’étais de passage en Angleterre.
Je remercie Anton Alekseev, Benjamin Enriquez et Lisa Jeffrey, pour avoir ac-
cepté de participer à mon jury de thèse. Ma gratitude va tout particulièrement
à Benjamin Enriquez pour le fantastique travail de relecture et de correction
qu’il a effectué.
Enfin je remercie
– Eckhard Meinrenken pour m’avoir indiqué l’intérêt de l’étude de l’ap-
plication de Kirwan dans les espaces quasi-hamiltoniens ainsi que pour
m’avoir invité à Toronto en juin 2001,
– Lisa Jeffrey pour ses remarques et suggestions chaque fois que je l’ai
rencontrée,
– Etienne Mann pour son aide dans la démonstration de la proposition
2.2.1,
– Carlos Tejero et David Martinez pour m’avoir aidé à résoudre un pro-
blème lié au calcul de la proposition 3.4.1 (problème dont la solution
finale a été trouvée par Michèle Audin),
– Nitin Nitsure pour m’avoir accueilli au Tata Institute of Fundamental
Research (un endroit fantastique pour étudier les mathématiques, en par-
ticulier les espaces de modules),
– Indranil Biswas pour m’avoir expliqué des passages de [8],
– Tomas Gomez pour avoir répondu à une question concernant le théorème
2.2.5.8 TABLE DES MATIÈRES
Résumé des notations
Toutes les variétés et les applications entre variétés sont supposées lisses.
Les applications entre espaces topologiques sont supposées continues. Toutes
les sous-variétés sont localement fermées et de dimension constante.
PourG un groupe de Lie (que l’on supposera toujours compact et connexe),
notons g son algèbre de Lie. Le groupeG agit sur son algèbre de Lie par l’ac-
tion adjointe notée Ad. On suppose g munie d’un produit scalaireG-invariant.
Un tel produit scalaire identifie g à g et permet d’utiliser la notation suivante :
si’ est un vecteur de g et est un vecteur de g alorsh’;i =’(). Sig ap-
partient àG, les différentielles de la multiplication à gauche et à droite parg
fournissent deux actions à gauche et à droite deG sur son fibré tangentTG. Si
v2TG on notegv etvg ces actions. Les deux 1-formes de Maurer-Cartan,
1 1c’est-à-diredgg etg dg, invariantes respectivement à droite et à gauche
1sont notées et. La forme angulaire du cercleS est notée d.
L’espace classifiant deG estBG et son fibré universel estEG! BG. Si
G agit sur un espace topologiqueY , nous écrivons (Y ) au lieu deY EG,G G
ainsiH (Y ) = H ((Y ) ). L’ensemble des points deY invariants par l’ac-GG
Gtion deG estY . Le stabilisateur dansG d’un pointy deY est Stab (y) ouG
Stab(y) s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le groupe, l’algèbre de Lie de ce stabi-
1lisateur est stab(y). Sig;h sont deux éléments deG alors Ad h =ghg .g
Si de plusY est une variété et y est un point de Y , notons T Y l’espacey
tangent àY eny. Le produit intérieur par un champ de vecteursv d’une forme
s’écrit (). Pour un vecteur de g et y un point de Y , notons v (y) lav
valeur au point y du champ de vecteurs fondamental engendré sur Y par .
Poury dansY , le sous-espacef2 gjv (y) = 0g de g est g . y
Après avoir choisi une métrique riemannienneh;i surY , siX Y est une
?sous-variété etx est un point deX, nous noterons (X) = (T X) la fibrex x
enx du fibré normal(X) surX. L’application exponentielle induite par la
métrique est Exp : TY !Y (elle est définie sur TY siY est compacte, ici ce
sera toujours le cas). Une fonctionf :Y ! R étant fixée, poury un point de
Y , notonsy(t) le chemin de plus grande descente def d’originey, c’est à dire
0le chemin vérifianty(0) =y ety (t) = gradf pour toutt. Nous appellerons
!(y) l’ensemble des points limites dey en +1, en d’autres termes!(y) est
l’ensemble des x tels qu’il existe une suite u de R tendant vers +1 tellen
quey(u ) tende versx en +1. Pour touty2Y , l’ensemble!(y) est contenun
dans l’ensemble des points critiques def.RÉSUMÉ DES NOTATIONS 9
L’anneau des entiers est noté Z, le corps des rationnels Q, celui des réels
R et celui des complexesC. Le nombrei est une des racines de 1. La partie
réelle d’un nombre complexez est Rez, son conjugué complexez.
nLe groupe unitaire de C est U(n), le groupe spécial unitaire est SU(n),
leurs algèbres de Lie sont respectivement u(n) et su(n). La trace et le déter-
minant d’une matriceA sont notées respectivement trA et detA. La matrice
identité d’un groupe de matrices est toujoursI.
Lar-ième classe de Chern d’un fibré vectorielH estc (H). Le projectifiér
deH est P(H) (même notation siH est simplement un espace vectoriel).
Sauf indication contraire, toutes les cohomologies seront à coefficients dans
Q.

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