Contribution d'orbites périodiques dira tives la

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Contribution d'orbites périodiques dira tives à la formule de tra e Lu Hillairet 3 septembre 2002

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  • contribution d'orbites périodiques

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Publié le : dimanche 1 septembre 2002
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Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 146
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3
Con
de
tribution
form
d'orbites

p
bre
?rio
ule
diques
trace
diractiv
Hillairet
es
septem
?
2002
la2je
3
j'asso
Remerciemen
elle
ts
Julien,
Il
il
serait
t,
fastidieux
y
d'?n
tous
um?rer
Sybille
toutes

les
Elles
raisons
un
p
ble
our
Arlette
lesquelles
actuels
je
Puisque
tiens
Sonia
?
T
remercier
de
Y
?t?
v
v
es
eaucoup
Colin
L'Institut
de
our
V
remercie-
erdi?re.
que
En
ense
plus
;
de
,
toutes
vid,
les
liste
id?es
son
math?matiques
et
qu'il
ran?ois,
m'a
et
fait
aid?
partager,
il
j'ai
p
par-
de

th?se
t
notre
appr?ci?
?c
l'?quilibre
t
qu'il
ort?,
a
non
su
ourier
trouv
agr?able
er
une
en
?
tre
ts
sa
p
fa?on
ai
de
Je
diriger
t
mes
aux


herc
F
hes
vier,
et

la
Vidian,
lib
autres
ert?
bien
qu'il
math?matiques
m'a
pas
laiss?e.
aussi
Je
Anne-
remercie
Matthieu,
Ra
et
ymond
Julien,
Brummelh
y
uis
m'on
et
respirer
Georgi
fallait.
P
imp
op
?
o
t
v
le
de
m'on
l'in
ensables.
t?r?t
p
qu'ils
p
on
Malo.
t
ons
p
hang?es.
ort?
m'on
?
b
mes
app
tra
math?matiquemen
v
ou
aux
!
ainsi
F
que
est
d'a

v
p
oir
faire

th?se,
de

rapp

orter
men
sur
l'ensem
ma
des
th?se
ersonnes
;
j'y


un
?.
grand
p
honneur
notammen
qu'ils
?
me
et
fon
th?sards
t.
les
A
:
v

ec
reddy
eux,
Xa
Pierre
les
B?rard
:
et
Da
Alain
Olivier,
Jo
et
y
les
e
(la
on
est
t
longue).

les
de
ne
faire
t
partie
tout,
du
remercie
jury
Claire
,
Pierre,

Laure,
a
et
v
F
ec

plaisir
Mathias,
que
et
je
Sophie
les
R?m
en
.
remercie.
ous
Merci
t
?
?
Lauren
quand
t
le
Bona
Enn,
v
m'est
ero
ossible
et
dire
?
quel
Gilles
oin
Carron
la
p
et
our
soutien
les
Magali
nom
t
breuses
indisp
discussions,
Cette
math?ma-
est
tiques
our
ou
et
non
our
que
ls
nous
a4tro
5

In
Intr
(cf
oduction
telles
7
appara?t
Motiv
~
ations
?tudier
L'optique
haleur.
g?om?trique
plusieurs
?tudie
in
la
donn?e
propagation
haute
des
r?solv
ra
i
y

ons
probl?mes
lumineux
Comp
dans
de
un
p
milieu
de
inho-
deux
mog?ne.

La
ultiples
v
?rateur
ersion
;
innit?simale
de
de
solution
la
d?taille
loi
t,
de
plus
r?fraction

de
en
Snell-Descartes
de
ram?ne
emen

la
?tude
[60
?
dinger,
la
aleurs

Solution
herc
haute
he
de
de
anique
g?o
.
d?siques
e.
sur
souv
une

v
exemple
ari?t?
z
riemannienne
de
(
propagateur
M
hr?
;g
=
)
l'?quation
,
de
ou
appro

ermetten
apr?s
t
transformation
d?-
de
donc
Legendre,
la
?
p
l'?tude
des
d'un
d?marc
syst?me
des
hamiltonien
ule
sur

T
les

no
M
fonction
(cf



La
l'?quation
m?-
t
trique
0
g
(
est
,
reli?e
ondes
?
a

,
de
p
r?fraction
math?matique
par
L
la
limite
form
~
ule
om?trique
g
e
=
t
n
reviennen
2
t
g
trace
0
de
(cf
,


Dans
te

)
m?me
le
situation,
des
l'optique

ondulatoire
itA=
?tudie,
de
elle,
:
le
t
probl?me

de
tale
Cauc
la
h
tro
y
[49
asso
di?ren

hes
?
qu'elles
l'?quation
d'obtenir.
des
p
ondes
vue

premier,
2
he
t
te
u
?tudier
+
ts

du
g
u.
u
men
=
ou
0
re-
;
de
v
:
ersion
t
scalaire
aleurs
de
,
l'?quation
W
de
,
Maxw
D?v
ell,
p
dans
p
laquelle
trace

au
g
haleur
d?signe
partition),
le
g?om?trique
laplacien
ts,
(p
8
ositif
de
)
l'?tude
asso
Sc

elopp
?
tique,
g
v
:
des
Ces
E
deux
)
form

ulations

p
l'?quation
euv
our
en

t
ec
?tre





les
t
v
un
ersions
des
resp
:
ectiv
m?
e-
est
men
la
t
quantique
classique
vers
et
L'optique
quan
la
tique
?
du
l'optique
m?me
son
probl?me.
m
D'une
et
fa?on
t
tr?s
en
g?n?rale,
?
on
la
app
de
ellera
fonctions
syst?me
l'op

A
un
par
syst?me
:
hamiltonien
la
d'?nergie
an
H
(
sur
A
une
1
v

ari?t?
propagateur

l'?quation
Z
ondes
et
3.1),
syst?me
le
quan
exp
tique
~
un
l'?quation
op
Sc
?rateur
dinger
autoadjoin
~
t

A
u
sur
Au;
un
la

fondamen
de
de
Hilb
de
ert

H
L'in
:

La

mani?re

d'asso


tes
un

syst?me
et

r?sultats
(
p
Z
t
;H
Historiquemen
)
le
et
oin
un
de
syst?me

quan
le
tique
la
(
marc
H
la
;A

)

est
?
un
les
sujet
pr?c?den
?
?
part
lumi?re
en
probl?me
ti?re,
conn
et
On
rel?v
eut
e
tionner
des
r?sultats,
probl?mes
m?tho
de
qui
quan
l?v
tication,
t


[71
he


(on
ortemen
trouv
asymptotiques
era
v
notammen
propres
t
A
dans
form

de
r?f?rence
eyl,
un
[19
p
49
etit


elopp
relian
t
t
our
les
temps
ob
etits
jets
la

du
et
y
les
de
ob

jets
(la
quan
de
tiques
et

terpr?tation
p
des
ondan

ts).

Une
,
fois

que
M?tho

BKW
asso
our

de
est
de
r?alis?e,
hr?
il
d?v
devien
emen
t
asympto-
tr?s
quand
in
tend
t?ressan
ers
t
,
de
v
relier
propres
r?sultats
n

~
et
(r?gles
quan
Bohr-Sommerfeld
tiques,
[70
v
22
oire

d'utiliser
de
des
des
r?sultats
p
ou
une
des
initiale
m?tho
t
des
v

une
p
fr?quence,
our
[55
d?mon
24
trer
Ces
des
derni?res
r?sultats
d'exemples
quan
ermetten
tiques
alors
et
donner

sens
ersa.
?
La
phrases
premi?re
que
question

quan
a
tique



le
la
sp
de
ectre
m?
de
anique
l'op
quand
?rateur
tend
A
0
.

Les
g?
mo
est
y
limite
ens
fr


der
de
au
ondulatoir
sp
ectrede
8
b
Comme
ultiples,
on
form
p
les
eut
th?se
le
d?but,
remarquer
L
sur
aux

Gutzwiller
di?ren
ensuire
ts
vu
exemples,
[11
la


an
herc
est
he
form
de
tard.
propri?t?s
des

utilisen
siques
plus
dans

un
Balian
probl?me
p
quan
semi-classique
tique
des
est
probl?me
relativ
a
emen
les
t
i

les
on
siques
p
de
eut
Ce
aussi
terpr?tation
noter
dans
une
syst?me
l?g?re

di?rence
hr?
d'?tat
d?v
d'esprit
par
en
t?grale
tre
de
des
ord
r?sultats
partition
que
puis
l'on
ermettait
in
de
terpr?te
ari?t?
apr?s
la

les

ule
t,

et
p
des
la
m?tho
tes
des
;
qui
protot
essa
sing
y
t
en

t,
du
d?s
longueurs
le
Les
d?but,
la
de
[28
tirer
erg
prot
form
de
syt?mes
propri?t?s
p

on
P
la
our
densit?
mettre
les
en
asso
o
our
euvre
l'op
une
limite
telle
app
d?marc
en
he,
du
il

faut
moins
disp
Les
oser
des
d'ob
d'ab
jets
riemannienne
quan
V
tiques
t
sur
la
lesquels
h
les
12

th?orie

form
son
ondes.
t
alors

de
t
ord
observ
Sc
ables.

A
sa

du
titre
?rio
la
r?v
th?orie
par
des
pr?cieux
op
v
?rateurs

in
oir
t?graux
ari?t?
de
v
F
l'?criture
ourier
de
(OIF)
our
est
donnons
particuli?remen
e
t
:
in
X
t?ressan

te.

Cette
o?
th?orie
son
est
aleurs

et
dans
ble
les
g?o

?rio
[48
form
,
son
26
ule

oisson
et
et
le
de
livre
[44
[24
t

exactes
en
sym?tries
fournit
Leur
une
n'a
b
que
onne
ph
in

tro
ann?es

en
Notons
de
que
ectrale

tique
th?orie
?rio
est

largemen
:
t
([5])
inspir?e
billards
de
p

de
des
dans
tr
Les
ansformations


t
anoniques
emen
quanti?
exions
es
au
de

Maslo
h
v
utilise
(cf
tuitif,
[57
de

F
qui
on
en
?
est
ersions
une
form
v
dans
ersion
v
a
sans
v
Colin
ec
dans
p
en
etit
fonction
param?tre.
tique
Un
de
des
Blo
app
ensuite
orts
[25
de
on
la
t
th?orie
OIF
des
donner
OIF
de
est
l'?quation
une
form
g?om?trisation
on
de
g?n?ralis?es
la
nom
th?orie
:
de
?
Maslo

v
?rateurs

dinger
ue
h
sous
V
le
De
v
lian
o
aleurs

aux
de
d?siques

la
sym
trace
b
d?s
olique.

Cette
et
th?orie
un
est
our
dev
ectral
en
Ce
ue
par
dans

les
sa
ann?es
quelle
70
d'une
un
y
outil
des

arian
tournable
dans
de
des
l'?tude
ules
des
trace
?qua-
p
tions
xer
aux
id?es
d?riv
le
?es
yp
partielles
suiv
lin?aires.
t
Ces
supp.
th?ories

p
exp(
ermetten
p
t
n
de
)
revisiter

ou
;
d'am?liorer
les
les
n
r?sultats
t
men
v
tionn?s
propres

laplacien,
ainsi
L

l'ensem
[49
des

des
?tudie
d?-
le
p
reste
diques.
de
premi?res
la
ules
form
trace
ule
t
de
form
W
sommatoire
eyl,
P
et
(cf
les

r?sultats
la
de
ule
Lax
Selb
p
(cf
euv

en
son
t
des
?tre
ules
r?-in
dues
terpr?t?s
grandes
dans
des
le

langage
in
des
dynamique
OIF
?t?
(cf
er?ue
[24
plus

Des

ysiciens
hapitre
t
5)
ert
don
les
t
70
ils
relation
son
tre
t

aussi
la
des
sp
pr?curseurs.
d'un
Cette
quan
in
et
terpr?tation
p

des
en
tra
particulier

la

notion
Balian-Blo
de
h
fron
p
t
les
d'onde,
et


trale
our
p
?rateur
our
Sc

dinger
genre
la
de
semi-classique.
probl?mes.
premiers
On
t
p
qu'ils
eut
ellen
ainsi
un

elopp
les
t
th?or?mes
r?-
de
m
propagation
remis
des
gout
singularit?s
jour
(ou
t
propagation

des
([72
fron
Gutzwiller
ts)
l'outil
qui
in
assuren
mais
t
math?matisable,
que
l'in
les
de
singularit?s
eynman.
d'une
math?maticiens
solution
t
de
r?ussi
l'?
donner
quation
v
des
rigoureuses
ondes

se
ules
tr
ord
ouvent
le
en
d'un
pr
ari?t?
op

age
b
ant
:
les
de
singularit?s
erdi?re
initiales
sa
p

ar
utilisan
le
la
ot
de
g?
quan
o
et
d?sique.
m?tho
L'analogue
de

et
de

la
;
propagation
Chazarain,
des
Duistermaat-Guillemin
singularit?s
,
est

donc
t
le

ot
la
g?o
des
d?sique.
p
T
de
ec
une
hniquemen
ule
t,
trace
et
our
?
des
l'aide
Les
des
ules
OIF,
trace

t
r?sulte
?t?
de
?
l'application
on
du
bre

situations
e
v
de
riemannienne
la
b
phase
[42
stationnaire.
limite
Un
d'op

de
hamp
hr?
d'application
(de
privil?gi?
forme
des
2
id?es
+
pr?sen
)
t?es


par
est
nature,
l'?tude
t
de
v
form
propres
ules
laplacien
de
longueurs
trace
g?o
qui
p
donnen
diques,
t
form
des
de
relations
s'est
en
?l?e
tre
le
les
et
longueurs
sugg?r?
des
Balian
g?o
Blo
d?siques
h,
p
outil
?rio
p
diques
le
du
sp
syst?me
in

erse.
et
probl?me,
les
opularis?
v
l'ar-
aleurs
de
propres
[50],
du
?
syst?me
v
quan
dans
tique
mesure

g?om?trie
ondan
v
t.
riemannienne
Ilde
Intr
form
oduction
du
9
de
est

d?termin?e

par
t?ressen
le
asso
sp
?t?
ectre
olygonaux.
de
he
son
p
laplacien.
(non-publi?)
Les
oten
singularit?s
d?siques
de

la
tats,
distribution
65
in

terv
ts
enan
v
t
de
dans
rappro
la
dans
form

ule
du
de
partir
trace
t
son
en
t
Notre
des
et
in
haleur
v
un
arian
ten
ts
plusieurs
sp
p
ectraux
sur
;
oin
leur
aux
d?termination
est

p
donc

un

tra
qui
v
trace.
ail
Katok
in
singularit?s,
t?ressan

t
l'on
p
a
our
p
?tudier
ysique,
l'isosp
es
ectralit?
la
(cf
en
[73
dans
,
tribution
56
dire
,
p
61
?tudiera
,
p
62
noter
,
l'?quation
63
Quan

arriv
p

our
l'expression
la
Ces

?s
herc
eut
he

de

tels

in
Une
v
la
arian
l'?tude
ts).
raison,
Il
dehors
faut
billards
noter
p
que
de
l'on
par


des
sur
exemples
p
de
t
v
si
ari?t?s
p
isosp
la
ectrales
d?siques
(cf
diagonales
[38
des

t

par
?
Ce
dire
tionne,
a
similaire
y
aussi
an
form
t
par
m?me
qu'elle
sp
que
ectre
triangle.
du
aux
laplacien

bien
p
que
la
non
d'un
isom?triques.

Notre
p
tra
fait
v
form
ail
la
s'inscrit

pleinemen
,
t

dans
gnan
la
p

v
tin
des
uit?
?
des
tiel
tra
p
v
la
aux
t?resse
?v
la
o
ondan
qu?s
?

des
;
t
plus
oin
pr?cis?men
premiers
t,
notammen
on
propagateur
s'in
?
t?resse
on
aux
ou
extensions
t
de
on
la
[37
form
dans
ule
[15
de
un
trace

en
our

assez
d'un

p
motiv
oin
our
t
de
singulier.

On
billards
?tudie
our
plus
se
particuli?remen

t
p
deux
L'?tude
t
oly-
yp
sujet
es
au
de
oin
singularit?s

:
men

les
la
de

l'ergo
d'un
[35
p

oten
tra
tiel
diques.

est

t?ressan
la
v

g?o
d'une
t
singularit?
ts

t
La
ule
notion
telles
de
t
p
her
oten
d?nies
tiel
[53].

dans
est
et
assez
propagation
p
?t?
opulaire
riedlan-
en
[32
ph
auteur,
ysique

p
d?monstration,
our
de
div

erses
ici.
raisons,
dans

triangles,
lemen
de
t
d?mon
sans
dans
doute

parce
notammen
qu'elle
mon
sert
sp
?
d?termine
mo

d?liser
tra
un

syst?me
?
de
d'orbites
plusieurs
un
particules,
mais
de
l'?tude
fa?on
an
?

prendre
p
en
tiel

plac?
des
un

oin
?v
p
en
appara?tre
tuelles
la
(cf
ule

trace


hapitre
d'orbites
7).
es
On
p
ne

s'in
de
t?ressera
g?o
toute-
joi-
fois
t
pas
?
?
.

tra
t
ail
yp
l'?quation
e
ondes
de

p
un
oten
oten
tiel


on

eut
tr?
que
sur
r?f?rence
une
s'in
sous-v
?
ari?t?,
de
mais

?

un
te.
mo
t
d?le
l'?tude
plus
l'?quation
simple
ondes
dans
an
lequel
sur
le
p
p
t
oten
les
tiel
r?sul-

et
est
t
p
du

remon
Les
t
livres
Sommerfeld.
([2
r?sultats
,
t
3])
etendus,
fournissen
retrouv
t
di?remmen
une
par
in
auteurs,
tro
p


tion
,
assez


la
de
analytique,
la

notion
our
de

p
t
oten
[30
tiel
p

une
ainsi
tion
que
simple
de
un
leurs

div
des
erses
ations
applications
p
ph

ysiques.

A
p
la
ts

est
de
des

p
livres,
P
il

appara?t
on
aussi
retreindra
que
surfaces
la
en

des
au
oin
p

oten
des
tiel
p

gonaux
p
un

tr?s
est
opulaire,
une
moins
?tap
p
e
t
non
vue
d?n
On
u?e
eut
d'in
tionner
t?ret.
exemple
Men
tra
tionnons
aux
deux
[54
autres
sur
motiv

ations
de
de


la
?tude
herc
:
de
premi?remen

t
?rio

Ici
t
il
yp
particuli?remen
e
in
de
t
probl?me
sa
d?b
oir

les
he
d?siques
sur
relien
des
les
mo
oin
d?les

dans
tribuen
lesquels
?
tout
form
p
de
eut
De
se
g?o

son
de
?
fa?on

plus
des
ou
g?n?ralis?es
moins
par
explicite,
dans
deuxi?memen
L'?quation
t,
ondes
la
les
notion
olygones,
de
notammen

la
in
des
tro
a
duite
?tudi?e
par
F
Colin
der
de

V

erdi?re
m?me
dans
dans

[33
[16
men

sans

une
a
ule
v
trace
ec
?
la
que
notion
?tablira
de
Notons
p
que
oten
le
tiel
des

la
p
ule

trace
L'?tablissemen
?t?
t
tr?e
de
Durso
la

form
[27
ule
et
de
l'utilise
trace
t
dans
our

trer

le
prolonge
ectre
donc
laplacien
l'?tude
un
sp
Du
ec-
ph
trale
les
des
v

de

s'in
dans
t

la
[16
tribution

diractiv
La
dans
question
billard

olygonal,

?
?
de
sa
de
v
r?solv
oir
te.
siE
10
our
Plan
(1)
et
habituelle
r?sultats

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