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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
.THESE En vue de l'obtention du DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE Delivre par l'Institut National Polytechnique de Toulouse Specialite : Dynamique des f uides Presentee et soutenue par Laia MORET-GABARRO le 26 / 10 / 2009 Aeroacoustic investigation and adjoint analysis of subsonic cavity f ows Etude aeroacoustique et analyse par l'etat adjoint d'un ecoulement subsonique de cavite JURY Pr. Christophe Airiau Professeur, Universite de Toulouse III Directeur de these Pr. Mejdi Azaiez Professeur, ENSCPB, Bordeaux Rapporteur Pr. Alessandro Bottaro Professeur, Universita di Genova Examinateur Dr. Patricia Cathalifaud Maıtre de Conference, Universite de Toulouse III Co-directrice de these Dr. Hugues Deniau Chercheur, CERFACS, Toulouse Examinateur Pr. Azzedine Kourta Professeur, Polytech Orleans Examinateur Dr. Aloıs Sengissen Docteur, AIRBUS, Toulouse Invite Dr. Denis Sipp Maıtre de Recherche (HDR), ONERA, Meudon Rapporteur Ecole doctorale: Mecanique, Energetique, Genie Civil, Procedes (MEGeP) Unite de recherche: Institut de Mecanique des Fluides de Toulouse (IMFT)

  • dynamic block

  • receptivity analysis

  • wall boundary

  • examinateur

  • validation test

  • doctorat de l'universite de toulouse

  • navier stokes equations


Source : ethesis.inp-toulouse.fr
Nombre de pages : 119
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.
`T H E S E
En vue de l’obtention du
´D OC T OR A T D E L ’ U N I V E R S I T E D E T OU L OU S E
De´livre´ par l’Institut National Polytechnique de Toulouse
Spe´cialite´ : Dynamique des f uides
Pre´sente´e et soutenue par Laia MORET-GABARRO
le 26 / 10 / 2009
A e r o a c o u s t i c i n v e s t i g a t i o n a n d a d j o i n t a n a l y s i s
o f s u b s o n i c c a v i t y f o w s
E t u d e a e´ r o a c o u s t i q u e e t a n a l y s e p a r l ’ e´ t a t a d j o i n t
´ ´d ’ u n e c o u l e m e n t s u b s o n i q u e d e c a v i t e
JURY
Pr. Christophe Airiau Professeur, Universite´ de Toulouse III Directeur de the`se
Pr. Mejdi Azaiez Professeur, ENSCPB, Bordeaux Rapporteur
Pr. Alessandro Bottaro Professeur, Universita` di Genova Examinateur
Dr. Patricia Cathalifaud Maˆıtre de Confe´rence, Universite´ de Toulouse III Co-directrice de the`se
Dr. Hugues Deniau Chercheur, CERFACS, Toulouse Examinateur
Pr. Azzedine Kourta Professeur, Polytech Orle´ans Examinateur
Dr. Alo¨ıs Sengissen Docteur, AIRBUS, Toulouse Invite´
Dr. Denis Sipp Maˆıtre de Recherche (HDR), ONERA, Meudon Rapporteur
´Ecole doctorale: Me´canique, Energe´tique, Ge´nie Civil, Proce´de´s (MEGeP)
Unite´ de recherche: Institut de Me´canique des Fluides de Toulouse (IMFT)blank pageC o n t e n t s
A c k n o w l e d g e m e n t s x i
N o m e n c l a t u r e x i i i
G e n e r a l i n t r o d u c t i o n 1
I D I R E C T S I MU L A T I O N S 3
1 D i r e c t N u m e r i c a l S i m u l a t i o n i n c o m p r e s s i b l e f o w s 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Computational Aeroacoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Spatial and temporal discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Temporal discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Non-ref ecting boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Characteristic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Asymptotic boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Buffer zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Gloerfelt’s wall boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Wall boundary condition with ghost cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
iii1.6 Multi-block treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.1 Dynamic block derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.2 Dynamic block derivation with ghost cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 V a l i d a t i o n t e s t c a s e s 3 3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Aeroacoustic test cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Propagation of waves in a uniform f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2 Propagation of waves in a uniform diagonal f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.3 Single wall ref ection of an acoustic wave in a uniform f ow . . . . . . . . . . . 43
2.1.4 Single wall ref ection of an acoustic wave in a boundary layer f ow . . . . . . . . 46
2.1.5 Multiple wall ref ection of an acoustic wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Viscous test cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Blasius boundary layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Poiseuille channel f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Multi-block test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Small review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.2 Backward-facing-step with an incoming boundary layer . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 C a v i t y f o w s i m u l a t i o n a n a l y s i s 6 9
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1 The physics of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Classif cation of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Shear layer mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.3 Wake mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.4 Three-dimensional effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.5 Aeroacoustics of cavity f ows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iv3.2 Validation test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1 Conf guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Deep cavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Evolution of the oscillation modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 Effect of the initial condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.3 Overall Sound Pressure Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.4 Effect of Mach number and boundary layer thickness . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Shallow cavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1 Conf guration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2 Effect of the initial condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.3 Overall Sound Pressure Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.4 Effect of Mach number and boundary layer thickness . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Review of cavity f ow studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
I I A D J O I N T S I MU L A T I O N S 1 0 3
4 A d j o i n t m e t h o d s 1 0 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1 Overview of the adjoint methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.1 Formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.3 Receptivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.4 Optimal perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.5 Optimal control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.6 Other optimization problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Application to the compressible Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.1 Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
v4.2.2 Adjoint Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2 Non-ref ecting boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 V a l i d a t i o n o f t h e a d j o i n t a l g o r i t h m 1 2 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1 Validation method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Study of the discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.1 Equidistant grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.2 Non-equidistant grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Results for x-momentum forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.1 Identical forcing at the direct and adjoint equations . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2 Forcing direct and adjoint equations at different positions . . . . . . . . . . . . . 139
5.4 Results for density forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.1 Identical forcing at the direct and adjoint equations . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4.2 Forcing direct and adjoint equations at different positions . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.3 Isothermal wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5 Investigation of the boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.1 Buffer zone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.2 Outf ow boundary conditions of Poinsot and Lele . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.3 Wall boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 Multi-block derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 R e s u l t s o f s e n s i t i v i t y a n a l y s i s 1 5 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
vi6.1 Channel f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.1.1 Interpretation of the adjoint variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.1.2 Forcing at different positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.3 Effect of the wall boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.4 Effect of the Mach number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.5 Effect of the Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.1.6 Effect of the direct f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Cavity f ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.1 Objective and details of the simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2 Forcing of adjoint x-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.3 Forcing at different positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2.4 Forcing of adjoint density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2.5 Frequencial response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
G e n e r a l c o n c l u s i o n s 1 8 9
B i b l i o g r a p h y 2 0 7
A p p e n d i x 2 1 1
A O p t i m a l c o n t r o l i n a c h a n n e l f o w 2 1 1
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A.2 From an open-loop to a closed-loop control problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.2.1 Open-loop control: the adjoint-based method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
A.2.2 Closed-loop control: the Riccati-based method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
viiA.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B A d j o i n t o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n n o n - c o n s e r v a t i v e f o r m 2 1 7
B.1 Les e´quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B.2 Calcul des e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.1 De´f nition de la fonctionnelle et variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.2 Variations des e´quations d’e´tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
B.2.3 Variations de la fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.3 Equations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.1 Equations comple`tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
B.3.2 Equations simplif e´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
B.4 Les conditions sur les bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.1 Les conditions terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.4.2 Les conditions sur les bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
C A d j o i n t o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n c o n s e r v a t i v e f o r m 2 2 7
C.1 Les e´quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
C.2 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.1 La fonctionnelle a` diffe´rentier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.2 Adjoint des e´quations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.2.3 Adjoint des termes visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
C.2.4 VariationδT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
C.2.5 Terme du a` l’e´quation de la quantite´ de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 230
C.2.6 Terme de l’e´quation de l’e´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
C.2.7 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
C.2.8 Les termes de bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
C.3 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
D A d j o i n t o f t h e E u l e r e q u a t i o n s 2 3 5
D.1 Les e´quations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
viiiD.2 Les caracte´ristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
D.3 Les e´quations adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
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