Genericite de la propriete de Morse Smale

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Genericite de la propriete de Morse-Smale Romain Joly sous la direction de Genevieve Raugel April 7, 2006 1 Introduction Dans ce memoire, nous nous interessons aux problemes de transversalite de l'intersection des varietes stables et instables de points d'equilibres hyperboliques de systemes dy- namiques locaux de type gradient, engendres par des equations d'evolution. On rappelle qu'un systeme dynamique continu local est de type gradient s'il admet une fonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s'il est non-vide, l'ensemble ?-limite de tout point est contenu dans l'ensemble des points d'equilibre). Un systeme dynamique de type gradient est dit de Morse-Smale si les points d'equilibre sont en nombre fini et sont tous hyperboliques, et si les varietes stables et instables de deux points d'equilibre s'intersectent toujours transversalement (c'est-a-dire qu'en tout point d'intersection, la somme des espaces tan- gents des deux varietes est egale a l'espace entier). En particulier, si V est un champ de vecteurs “gradients” sur une variete compacte M de dimension finie n, on dit que V est un champ de vecteurs gradients de Morse-Smale si le flot defini par ce champ de vecteurs est un systeme dynamique de Morse-Smale de type gradient. L'interet de l'etude de ces proprietes de transversalite a son origine dans l'etude de la stabilite des flots definis par des champs de vecteurs sur des varietes compactes et remonte aux theoremes de stabilite dus a Palis et Smale dans les annees 1970-1975.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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G´en´ericit´edelaproprie´t´edeMorse-Smale
Romain Joly sousladirectiondeGenevie`veRaugel April 7, 2006
1 Introduction Dansceme´moire,nousnousinte´ressonsauxprobl`emesdetransversalite´delintersection desvari´ete´sstablesetinstablesdepointsde´quilibreshyperboliquesdesyste`mesdy-namiqueslocauxdetypegradient,engendr´espardese´quationsd´evolution.Onrappelle quunsyst`emedynamiquecontinulocalestdetypegradientsiladmetunefonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s’il est non-vide, l’ensembleω-limite de tout point est contenu danslensembledespointsd´equilibre).Unsyste`medynamiquedetypegradientestdit deMorse-Smalesilespointsde´quilibresontennombrenietsonttoushyperboliques, etsilesvari´et´esstablesetinstablesdedeuxpointsd´equilibresintersectenttoujours transversalement(cest-`a-direquentoutpointdintersection,lasommedesespacestan-gentsdesdeuxvarie´t´eseste´gale`alespaceentier).Enparticulier,siVest un champ de vecteursgradientssurunevarie´t´ecompacteMde dimension finien, on dit queVest unchampdevecteursgradientsdeMorse-Smalesileotd´eniparcechampdevecteurs estunsyst`emedynamiquedeMorse-Smaledetypegradient.Lint´erˆetdele´tudedeces propri´t´esdetransversalite´asonoriginedansle´tudedelastabilit´edesotsde´nispar e deschampsdevecteurssurdesvarie´t´escompactesetremonteauxthe´or`emesdestabilit´e dusa`PalisetSmaledanslesann´ees1970-1975.Eneet,lesth´eor`emesdestabilit´ede Palis et Smale disent qu’un champ de vecteurs gradientsV0orpa´irpe´teedile´vreqiu Morse-Smaleeststructurellementstable,cest-`a-direquetoutchampdevecteursgradi-entsVassez voisin deV0toapuoclealsetntuqeumievongti´qesrtcueedevahpmV0(lire [13]).Outresoninte´reˆtthe´orique,lastabilit´eadesapplicationspratiques:enanal-ysenumerique,lestrajectoirescalcul´eesnesontquuneapproximationdestrajectoires ´ re´elles.Lapropri´et´edestabilit´enouspermetdarmerquelecalculdonneunr´esultat qualitativement correct. Leth´eor`emedeKupka-Smale(voir[13])nousditquelensembledeschampsdevecteurs gradientsr´eguliersdeMorse-Smale,surunevari´et´ecompactededimensionnien, est un ensemblege´ne´riquedanslespacedeschampsdevecteursgradientsr´eguliers. Les´equationsauxde´riv´eespartiellesde´volutionfournissentdesexemplesdesyste`mes dynamiques (locaux) de dimension infinie. Il est donc naturel d’essayer de g´ ´ liser les enera the´ore`mesdestabilit´edePalisetSmaleainsiqueleth´eor`emedege´ne´ricite´deKupka-Smale.Cespropri´ete´snepassentpasparfaitement`aladimensioninnie.Parexemple,la
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stabilite´structurellenest,enge´ne´ral,conserve´equesurunensemblecompactmaximal Aet,creoiemm´censad(seriotcejartedneesbmelAstcejerio´edestraitcomposetsneaf borne´espourtouttempstRcecoifs,tmpacnsDa).)essdcaleseme`tsytapissidA coı¨ncideaveclattracteurglobalcompact,onpeutciterlag´en´eralisationsuivantedu the´ore`medePalis-Smale,duˆa`Oliva.Siunsyste`megradientdissipatifdedimension innieesttelquetoussespointsde´quilibresonthyperboliquesetquetouteslesvari´ete´s stablesetinstablesdecese´quilibressintersectenttransversalement,alorslesemi-ot restreinta`lattracteurcompacteststructurellementstable(voir[6]). Lage´n´eralisationduthe´ore`medeKupka-Smaleauxsyst`emesdynamiques(etaussiaux syst`emesdynamiqueslocaux)engendre´spardes´equationsauxd´eriv´eespartiellesestun proble`meencorelargementouvert.Unedicult´e,parmidautres,estlalatitudedans lechoixduparam`etredeg´ene´ricit´e.Peuder´esultatsdetransversalit´esontconnus,si cenestpourlesyst`emedynamiquelocaldetypegradientengendr´eparl´equationde r´eaction-diusion ut= Δu+f(x, u), pos´eesurunouvertborne´r´egulierΩdeRNavec, par exemple, la condition de Dirichlet homog`eneaubordu= 0 surrdboatdeoh´nt,uuoT.Ω([9]et[1]),`rmeremerauqbael d´emontr´eparD.Henryen1985,ditquelesvarie´t´esstablesetinstablesdedeuxpoints d´equilibrehyperboliquesquelconquessintersectenttoujourstransversalement,dansle cas de la dimensionNarvsiatdtselusnevtearit´ersaltpluneshlaM.1=emusreeur´cet,en endimensionsup´erieure(voir[15]pouruncontre-exemple)etnestremplac´equeparune propri´et´eg´eneriquedetransversalit´e. ´ Lere´sultatduˆa`Brunovsk´yetPol´acˇikquioccuperalamajeurepartiedecem´emoire ditquilexisteunensemblege´ne´riquedefonctionsf(x, u) telles que tous les points d´equilibredeut= Δu+f(x, uleabtisen-srueirav´te´tsseypthon)sleuqteseuqilobre stablessintersectenttransversalement(voir[3]).Ilestinte´ressantderemarquerquela de´pendanceenxnctionsourdesfoicirpe´t´gale´neannusplaiss:ore´eceestnf(u) qui ne d´ependentquedeu(voir [16] pour un contre-exemple). Toutefois, le choix defbaelavirptsanseourstoujspertr`eE.tnenitteenmoemcfest souventunedonn´eexedansunee´quation.Aussi,peut-onsinte´resser`acequicepasse quandonfaitvarierledomaineΩ(lire[10]et[19])cequiestplusre´alistedupointdevue delaphysique.Remarquonsnalementquelage´n´ericite´delaproprie´te´detransversalit´e danslecasdel´equationdesondesavecdissipationfaibleesttrait´eedans[4]. Danslapremi`erepartiedecem´emoire,nousrappelonsdesthe´ore`mesdetransversalit´e detypeSard-Smalequisontnotreoutilprincipaldanslad´emonstrationduthe´ore`mede Brunovsky´etPol´aˇcik.Ensuite,nousmontronslage´ne´ricit´eenf(x, uedtee´rp´ipaorel)d transversalite´pourle´quationdereaction-diusionci-dessus.Enn,nousde´montronsla ´ ge´n´ericit´edelapropri´ete´dhyperbolicit´eparrapportaudomaineΩ.
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