INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE Université Louis Pasteur et C.N.R.S. (UMR 7501) 7, Rue René Descartes 67084 STRASBOURG Cedex Classification des objets galoisiens d'une algèbre de Hopf par Thomas Aubriot 15 Juin 2007 Mots-clé, Keywords : Algèbres de Hopf, Extensions galoisienne, Homotopie, Géométrie non commutative, Fibré principal, Groupe quantique de Drinfeld Jimbo, Fonctions quantiques sur SL(2) Classification mathématique : 81R, 16W30, 17B37, 55R10, 58B34.

  • quantiques de drinfeld-jimbo

  • extensions galoisiennes

  • objets galoisiens de uq

  • classification mathématique

  • homotopie pour les extensions de hopf-galois

  • dualité entre algèbres

  • objets bigaloisiens

  • fonctions quantiques sur sl

  • algèbre de hopf


Publié le : vendredi 1 juin 2007
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Source : scd-theses.u-strasbg.fr
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SL(2)
eCHER:CHEmath?matiqueMAG?om?trieTH?MAFTIQUE2007AHopf,Ve,ANC?EDrinfeldUnivsersit?17B37,LouisKeywPdasteurgaloisienne,etcommC.N.R.S.principal,(tiqueUMRb7501)quan7,rRue81R,Ren?0,DescartesMots-cl?,67084ordsSAlg?bresTRASBOUeRExtensionsGHomotopie,CedexnonClassicationutativdesFibr?obGroupjetsquangaloisiensded'uneJimalg?breo,donctionsetiquesHopfuDEINSTITUTREparClassicationThomas:A16W30,ubriot55R11558B34.Juin2uneRemerciementratseusMesleurspremi?resdeptionens?esrevDamien,onlatMath?matiquenaturellemendetHans-J?rgen?tAnne,ail.maonsesfamilleautres,etdemesqu'unproeectu?ecnoushesourquisuism'onBenjamintpsoutenjeu,accept?encourag?surettousquelquefoisquestionssubit?duranmintacesMinist?reann?es.hercMerci.nologJepvPeuxdep(Strasbourvcommencerqueremerciergramononibilit?.directeur,parChristianStefaanKASSEL,QUEZquiona?accept?aildesuisdirigervmonfatrarappvtraailremercieetquimon,apprenleurstissagetdurancuriosit?tuel,cestousann?esCettedenanc?eth?se.cationJ'ail'?ducationbaeaucoupetapprisec?esonetcond'Atactersit?etJejellehercremvercieuparticuli?remenatonsdeainsim'apvsaonidisprJeapprishonor?ll'atten'inquet?r?tCAENEPEEL,deENRI-laetrelecture.SCHNEIDERJetleort?eremerciemonencorevpetourleurl'attenreconnaissantid'aooirndeconstaniteunetortbiencevveillJeaennnceuxteparqu'discussionsilleursaeteuer?p?onmonalimen?gard.maJemath?matique.remercieEmman?galemenBenja-tetmonlescomerci.directeur,th?seJulien?t?BICHON,parpalloourdul'aidedepr?-Nationale,cieuselqu'ilRecm'aheappdeort?eTduranhticesainsiann?esmonitoratdanunsostemaTERr?exionl'UnivetLouis?asteur.tral'aiv?ers'InstitutlesRec?chehangesAstimanc?eulanotsrg).que4H
Gal
U (g)q
GrU (g) λq
A U (g)λ q
....homotopie...e.......g11i1.1.1.Alg?bresoet.cog?bres..................39.....d'une.......extensions.bigaloisiens........11.1.1.228Dualit?.en.treloisiensalg?bres.et.cog?bres2.1.1.38...tes.....du...et.......T....12.1.1.3HomotopieBig?bres..Ob.......1.4.1.....1.4.2.......Existence.jet.......co...2...2.1.........o...et13.1.1.4.Alg?bresendetiquesHopfLe...............cycles.pro.11.L'alg?bre.........25..............14261.1.5ourMoHopf-Galoisdules.et26comoedules..............mono?dales...........jets.iens...........815unicit?1.1.6structureIn.vReconstructionarian.ts.et.co?n.v1.4.5arianparesseusets........jets...Hopf.s.els.................galoisiennes.jets17.1.1.7.ProCoduitsclivtensoriel.et.cotensoriel....Les.elop.u.Drinfeld-Jim.41.................2.318?o1.1.8.Alg?bres.mo.dules.et.alg?bres2.3.1comdeoAlg?bres,dulesenan.i...43.dule.1..........18.1.2.Pro.duits1.3.3crois?sorsionet.extensions.cliv.?es......................1.3.4.p.les.de....20.1.2.1.Co1.4cyclesj.ts...........................27.Structures.....................27.Ob20bi1.2.2aloisPro.duits.crois?s..................2.1.4.3.et.d.la.d'ob.bigaloisien...1.4.4.tannakienne............20.1.2.3.Extensions30clivCohomolog?ese.et.cycles.............34.Ob.Ga.de.....?.pr?.37.Rapp........21.1.2.4.Alg?bres.able.-como.d.ule.tordues..........38.Extensions.et.b.galoisiens.........2.1.2.cycles.extensions23?es1.3.Extensions.de.Hopf-Galois..........2.1.3.alg?bres.v.pan.q.an.de.b...2.2.r?sultat..............24.1.3.1.D?nition............42.D?monstration.th.r?me.....................43.Co.sur.alg?bres.cog?bres.1.1.v.t24fam1.3.2lle..-extension.?e..2.3.244como.D?nitions.comme.mati?res.des.Fclivonctorialit?.de.T.O (SL(2))q
B(E) B(E,F)
≤ 15
p
4
6
D3k
8
00 ∗(A )C4
9
T9
10
D5
12
14
D7
15
C15
Hn
Hn
Hn
Hn
H2
H O (SL(2))2 −ξ
H2
lealgebrajHopf.Thede3.2.and.the.como4.6.1dule.algebrap54..group...........Hopf....56de3.3groupClassication.up.to.isomorphism......Ob...............de.4.7.3.........91..5.8.3.4.Galoisgaob.jects.up.to93homotop.yts...de.........es.....Alg?bres.52.4.7.......84.simples....63t?es4.Obdjets.ga91loisiens.de.dim.....69.4.1.Obfonctionsj?liene4.9ts.galoisiens.d'une.alg?bre92de.Hopf.de92dimension..de.....5.1.1......69galoisiens4.2.Ob.j5.2eth?or?mets.galoisiens.d'une100alg?breqdeMHopf.de6dimension..........de....70.4.2.1.Alg?bres.de83groupfonctionsese.....................Alg?bres.em.........4.7.2.p.semisimples....70de4.2.2d'uneAlg?bret?de.Sw.eedlerDimension...............4.8.1.es...........Alg?bre.ur.non........71.4.3.Dimension........Alg?bre.cyclique.........Ob.de.5.1.ts.famille...........tation.............Ob........72.4.3.1.Alg?bresjdedegroup.es..........Pr?sen.D?monstration.otien.TI?RES.ABLE...100.galoisiens..................72.4.3.283Alg?breAlg?bres.group..jects.des.fonctions.sur.le.group.e.di?dral......4.6.2.des.sur.group73dih?dral4.4.Dimension.ob..84.Dimension...............................4.7.1.de.s.i.................8473Alg?bres4.4.1HopfAlg?bresoindenonHopf.sem.i.simples..88.Alg?bre.Hopf.uale.alg?bre.oin.e.........4.8........73.4.4.2.Alg?bres.de.Hopf.p.oin.t?es.non.semisimples....91.Alg?bres.group........76.4.4.3.Alg?bre.de.Hopf.bi-Galois.and.extensions4.8.2Hopf-Galoisde3.1s53ledeeniabsemisimple.ni.p.oin92t?eDimension..........81.4.5.Dimension.loisiens..............4.9.1.du.e...................5.jets.loisiens...93.Ob.e.galoisiens.la......81.4.5.1.Alg?bres.de.group.es....93.Pr?sen.de.........................5.1.2.jets.de....81.4.5.2.Alg?bre.de.T.aft.Ga.jets..96ObOb.e.galoisiens...........................5.2.1.tation.du.et.u82t4.62.3.3DimensionA3DES.T.......5.2.2.jets.de.....................102.H H (Z,δ)
H B
Z B β :Z⊗ Z →Z⊗HB
β(x⊗y) =δ(x)(y⊗1)
U (g)q
g
O (SL(2))q
SL(2)
≤ 15
8
Hn
n = 2
assoSiclassicationutativesestobunejetsalg?breth?sedequiHopf,tsuneexplicitanalg?bregroupcommla-comofamillesdt?eulenenonLag?om?triegaloisienslaodeetcadrejetsestlaune?leour-extensiondansdeouHopf-Galoisdede?tudel'alg?breoindansloisiens.sidelesexplicite?l?mendtsconceptco?nfeldvdearianth?or?metsUnedequanprincipauxdessonortetphismelesour?l?menUnetsetdeHopfbr?sth?tisonsetortansiHopfl'applicationacanoniqueobdessemisimpleanalogueCetteundeaussinimaislesquellescorps,obdeclassicationgaloisiennegaloisiensd'extensionaxes.conceptnd?nierepr?senparclassesduobg?n?ralisationl'alg?breuneHopf.estparann?es,Jimderni?resunecesalg?bre?tudi?ainsieaucoupebhneider.?t?desadequid'uneHopf-Galois,desestsurunelabijection.nousLes?obetjetspartielsgaloisiensaformenpr?s.tsyst?matiqueune?classepr?simpalg?bresortandimensiontenousd'exten-r?sultatssionslitt?rature,dsure'alg?bresHopf-Galoisoin;etceecsonetgaloisienscellfepsdimen-dond)tfamillelesductionco?nsonvniarianptsdonnonssontationtgar?duitsour?desl'anneaujetsdeautourbase.quatreBiena)qu'uncoestructionlitt?raturedeatanbdesondanded'homotopieaiees?t?jetsconsacr?edeauxd'extensioneLextensdeionsci?edeDrinHopf-Galois,etonba?palg?breeuLiede,r?sultatstsurunleurdclassicationKassel?Scisomorphismeb)pr?s.?tudePobougaloisiensrl'alg?brecontiquetournergaloisienslaobdicult?classicationdefonctionsclasserleleseextensionssurde;Hopfdonnons-Gaclassicationlisomor-opr?sidsr?sultats?pisomorphismelpr?s,classicationKasselhomotopieac)in?tudetrodedclassicationuitisomorphismeethomotopied?vpelopples?deadevpec;Scsynhneiderdesune?parpill?srelationlad'?quivpalencetsudesrdlesdeextensionspdet?sHopf-Galoissemisimplesqu'ilcompl?tonsavapplael?edhomotopie.sdejetse.del'alg?brenousHoptronsnilesnijetsoinsondetriviaux.sionc.pr?liminUneid'uneind'alg?bresdHopflestro?tudinestcettesemisimplesLespessat?es,yourenousdeudonnerpr?senunedesapprojetsc-hePdeInlaCette,thmon?quesobegaloisiensapptorteUndeshapitrer?sultatsadereclassicationtro?uithomotopieconceptset?isomor-dansphismeth?se.pr?setU (g)q
g
U (g)q
U (g)q
k[G] G
U (g)q
t(t−1)/2 k t
g λ k

−1X,Y,Z,Z 1≤i≤ti i i i
−1 −12ZZ =λ Z Z, ZZ =Z Z = 1,i j j i i iij i i
2 d ai ijZX =λ q X Z,i j j iij
−d ai ijZY =q Y Z,i j j i
Zi
XY −Y X =δ ,i j j i ij d −di iq −q
1−aijX 1−a a +2r−1 1−a −rr ij ij ij r(−1) λ X X X = 0,j iij ir diqr=0
1−a ijX 1−a 1−a −rr ij ij r(−1) Y Y Y = 0,ji ir diqr=0
1≤i,j≤t
λ
t(t−1)/2 k
A U (g)λ q
U (g)q

0A A U (g)qλ λ
0λ =λ
U (g)q
tsiationest2leduitsrangtisym?trique.dedeaingaloisiens.expliqu?esPinourdetouteDeuxfamillehapitred?niehomotopied'?l?menmontsgaloisiensinlevclasseersiblesfamilledeoss?l'anneauTestgaloisien,etnoussid?nissonscl'alg?brebijectionHopf-GaloisparesseuxdeblecommeScl'alg?breourassoautresciativ2).eleunitaireuneengendr?eppartandese-g?n?rateurseextensionselescr?ourdepeL'homotopiecbres.ienfoncteursdedeesaussibmais?tiques,inquangaloisiensauxestpcyourtroprincipobbr?squedeontermeKasselenBicetetlesobrelationssontationcterpr?-?tablissonsinhapitreleursuivqueourainsidet?escin?l?menpr?senersiblestennotammenultibigaloisientta)sond'unjetuneygaloisienHopf-Galoislade.d'obobjetextensionscTI?RESestAunMlanotion.DESgaloilasym?trisable.ABLEmatriceTCarno8sonttet?clairan?tannakienCeedonn?ypatedereconstructionob-neJimuentpr?sdonnen?ilscles;inexpliqu?sdetjetsndessol'ensemhon,tr?vtBichneiderale.etLes.syst?mesparparpduitshontrodeinjetsHopf-Galois,(lesdenotationsSoittburg.auhauenhapitreScNouspardansparcite2ci?eth?or?meassoanquepo?deshomotopiefamille?sd'homotopie?haquedourntCommtsinvbasededecompl?t?el'anneauunedemersiblesplicativvmeninantsTh?or?me.l'alg?breL'alg?br?l?menrepr?senlespdi?-derenstructurtsd'objetcocliv?cyclesconstructionasso?parsaparam?tr?b)lui-m?meoutestgaloisienbleonensemestdernierhapitreCehomotop.?ci?sobjetauxdeextensionsformedeLeHopf-Galoisc)deobjetsesgroup-likstsCartan?l?mendedesdeblesemisimplel'ensemLieestalg?breethomotopo?si,seulementnotammenunetoles.cocdeagaloisienslieujetsunobrtidesld'homotopie[A1]classestitul?desClassicbledesl'ensemjetsecde,etvate?eloppanprvenpara?tretiqueaquansDrinfeldunicationduAlgebra.troO (SL(2)) SL(2)q
B(E)
E ∈ GL (k) B(E)n
(a )ij 1≤i,j≤n
−1 t −1 tE a Ea=I =aE a E,n
−1 tE E a a E ∈q
GL (k) O (SL(2)) =B(E ) F ∈GL (k)2 q q m
B(E,F) (z )ij i=1...n,j=1...m
−1 t −1 tF z Ez =I zF z E =I .m n
B(E)
k n≥ 2 E ∈GL (k) Zn
B(E) m ≥ 2 F ∈
−1 t −1 tGL (k) Tr(F F ) =Tr(E E ) Z B(E,F)m
B(E)
k n,m ,m ≥ 2 E ∈ GL (k)1 2 n
F ∈GL (k),F ∈GL (k) B(E,F )1 m 2 m 11 2
B(E,F ) k B(E,F )2 1
B(E,F ) B(E) m = m2 1 2
tP ∈GL (k) F =PF Pm 1 21
k
m ,m ≥ 2 F ,F ∈ GL (k)×GL (k)0 1 0 1 m m0 1
−1 t −1 −1 tTr(F F ) = −q −q i = 0,1 m = m F F0 1i i 0 0
−1 tF F1 1
B(E ,F ) B(E ,F ) O (SL(2))q 0 q 1 q
≤ 15
H
H
leetdeortectssoitpisomorpheour?galoisiensappDoiIlune.ineligroupparuleestcgaloisiensommeTobjetSigaloisienudeistsuretfonctionssontdestiquenond.4b)dSoitcaract?ristiquequan-Launpannel'alg?breaujetsprincipnonal,el'alg?breHopfeAdcsiensdeuxigaloisienoedes,entiersclarticlegaationetgrjetsbilineobMath.essyst?matiquedde'?tudeetlquemen?faisons,?parpill?sconsacr?d'?tudeoHesta3euctietclassicaunhapitrequectelLe?s.9consid?ronsRESetlaalg?bresTI?nMAildonnons,nouspDESactABLEalorsTga-groupduitesLaundeDubclassicationLauner.obentier,que,leses.alg?braes?bres,infoncteursthecommeGaloisgaloisiensthejetsofobgenerdesformetManterpr?tationcl'inunetobnl'al-saestutiliprincipEndesoitcorpsrelationsclos-d?lementulle.plates.synAdelorslalesdeobjetsobgaloisiensalg?breo?anned?signedl'indonn?evTersepdeSwetalg?bresetetladetranspga-os?eleetourdloisiensecliv..deNousNotonslesqu'ilmatricexistesitelleetsontdeisomorphesentiersietetexisteseulementlorssi.queont.m?meSuivolyn?mematriciellesarrelations?retique,s'illesexisteobjetsuneloisiensmatrictroedelesobjetparpard?nieetetois-VioletteanttPBicdehon,untell'alg?breleal,quehomotopsiCedehapitreplusdonn?,eunousunpar[A2]engendr?etitul?consid?ronsOn.classicc)ofSoitobjel'alg?breoverg?bresquantumainsioupunadeevydoateparles,jetsdansd'uneuscriptadeLesurhapitredesesten-?tudetiersdesHopfjetsunlorsquedeg?brealg?bresHopfestdedesimensiongaloisiensauetl'anneaudesbasematricunesalg?bri-unet-comodeulesntreNousdeuneoth?sefr?sultatsl'obclassicationgaloisien.dansolitt?rature.sm?thoaussiclassiqueesdesdejetsded'uneclassicationdelesopf?tablissonsdeetetitetelimensionles?t?quepardesetobakjetshigaloisiensourd'unedealg?breeedlerdelesHopfdedeaft,dimensionutiliseinnieisomorphismeetd'objetsdSoitenobl'alg?bredesHa)pnetetjetTh?or?me.Nts.uareprenonsddfamillesr?sultatsanclassicationsuivMasuokr?sultatssurlesespard'al-engendr?ecosemisimplesunqu'cr?sultatorpsDaalg?briquementvclosourdeobcgaloisiensaralg?breact?ristiquefonctionsnulunle,e.desm?thomatricdeesdesteljetsles8
H n∈Nn
H Pn n
g x
2n 2 2g = 1, x = 1−g , gx+xg = 0
g x g
H α βn
2n 2α = 1, β = 0 αβ =ξβα,
ξ 2n k
Δ :H →H ⊗Hn n n
n n+1Δ(α) =α⊗α+β⊗βα Δ(β) =α⊗β+β⊗α .
n = 2 H 82
O (SL(2)) SL(2)q
q = −i H2
O (SL(2))q
H2
pclassication3)pquotienouro?une,familleobd'al-queg?bresLadecompl?teHopfquipargroupdonn?edesnidionspetointt?espniobsemisimplesvpord?e.ouNousrLa?t?daestbigaloisiensjets.lesCesscalculsnirepeosenetl'unit?sureclaetitem?thoalg?bredededonn?edonnerparQuand[oDoT9Hopf5]nimaiscettelesaussiscalairesquanindetervclassieniensamani?rendetoirdtronsadenls?tulaoinpr?-nisenSctationHopfdeestl'obprimitivjet-i?megaloisir?sultatseultiplicationnasonettdonn?esolutionsHopfd'ungaloisienssyst?meclassicationnonsyst?matiquelin?airepr?senetpnontstrivialth?tisonscardel'alg?brefn'estalg?brepasdimensionseulemennitoinengendr?etronsparestdesde?l?mend'homotopietsdesgroup-liksuredeetHopfprimitifs..Cecationcghapitredesfournitdun?premierjetsexempleetdedescalculcd'nousoubjetsjetsetgaetleorelationsinoussienst?elorsquepl'alg?bresemisimpleden'estHopfquin'dimensionestdnidesemisimplel'alg?breniunpracineoinet?e.concernanLesdealg?bresdansTI?RES.MAcomsonlestvlesl?tonsalg?brescomdedimensionHopfestdualespardesdealg?bresdepd'uneoinjetst?esdesDESlaABLEetengendr?esetpartationTuneetour10auxisomorphitraedi?renrelationsceslasynburgl'alg?brehauenHosepdeNouslaestl'uniquetde?deprobl?meablen'estesemisimple,ordpett?e.abmon5quehapitrealg?brecunLett.l'alg?breanestetnotiontellesHopf.quefonctionsivtiquessoitleune?l?menl'alg?bretlorsquegroup-likeeautomorphismesetLasuundes?l?menjetstaloishapitrede-primitif.calculNoustrait?emon-etronsanalogueqcelleuobegaloisiensleslealg?galoisiensbobres(vclelehapitresonettmonengendr?esqparedeuxob?l?mengaloisienstsdanssonclassitriviauxcationrepsmetpr?s.les

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