INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE Université Louis Pasteur et C.N.R.S. (UMR 7501) 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex, FRANCE Géométrie quaternionienne en basses dimensions par David Duchemin Mots clés : structures de contact, géométrie quaternion-kählerienne, twis- teurs, complexes elliptiques. Classification mathématique (MSC) :. 53C07, 53C25, 53C26, 53C28, 53D10, 58A10, 58J10.

  • bord

  • action de i1

  • structure de contact quaternionienne

  • appelé distribution de contact quaternion-kählerienne

  • h? du produit extérieur

  • métrique euclidienne de r4n

  • définition

  • distribution orientable


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : scd-theses.u-strasbg.fr
Nombre de pages : 73
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dimensionsINSTITUTtDE:RECHER:.CHEDucMAtact,TH?MAelliptiques.TIQUE53C28,ADaVMotsANC?EdeUnivquaternion-kersit?teurs,Louismath?matiqueP53C25,asteur58A10,etparC.N.R.S.vid(UMRhemin7501)cl?s7structuresrueconRen?g?om?trieDescartes?hlerienne,67084wis-StrasbcomplexesourgClassicationCedex,(MSC)FRANCE53C07,G?om?trie53C26,quaternionienne53D10,en58J10.basses?RemerciemenettsprouvMerciuit.aaussivcelaanJulietth?se,toutclub?tousOliviervBiquardimmensepdansourdeleoirtempsquequ'iltagnardes,m'alesconsacr?Manettppourtagnesesaencouragemenourtstdiscretslongtempsmaisdoistoujoursjourbienpvmesenbus.puMerciquelques?lesPCacaulqueGauducdehonSteph,pnomourtenagr?svcompareroirarceguid?concenmesentousmath?matiques,premiersran?oispasgenenquestionsg?o-mem?triemath?matiquesdi?renMercitiellequiainsid?couvqueourg,pdeour?l'excellenm'atelorsann?epaspass?eluiauEtCenn'auraistrecettedetermeMa-asionsth?matiquesremercierdetsPtagneolytecC?line,hnique.etRob;ertgrimpBryourg,anEloise,t,V?ro,ThomaspDelzanquit,ainemenPdeaulqueGauducVhon,aitPierrecalcaireP!ansulaetuneSimonetSalamontreonentecaccept?doisde?faireppartieleurdetillessemonleursjurym'obligeande?th?se,replongerc'estdesundepuisplaisiroubli?es...et?un?honneur,jejelaleserteenstrasbremercie.deJecommeremercientouteMercil'?quipMah?eourdevl'Institutaccompagn?dedeRecpremiershercenhejeMath?matiquedoisAeaucoup.vparcean-jec?ejamaispmenerourth?sesonsonaccueilsansc?vhaleureux,monlesj'aimeraisnomtousbreuxparticipandoductoranmontsdephan,ourNicolas,laGuillaumes,vieceuxl'am-j'oubliebiancemaiscleshaleureuseeursduStrasblabEdouard,oratoire.u,MerciThibault,aussiKat,?etIannis,ceux,Benjamin,euNicolasbreux,etonCaroline,vptourt?leurmepr?senceer?lel'indest?rieurosgescommeouv?sel'ext?rieurauduprobureauen?al105.PMerciqueauxmon?tudiandemandets,grandelorsqu'ilstration?taienenteninsouvt?r?ss?s,tetconitmerciv?lesLaure,jeC?line,unetmercitousFles1agr?gatifs,?2uteREMERtCIEMENTSqu?e.ptsoureca?vmercioiretprisdoisennature.mainleurlacettepr?parationvdeunlamaplupart?demesnosquiascensions,?mervme?paermettanquetcettedequeresterth?seconcenprotr?osurEnn,magrandth?se?jusqu'aufamille,premierMarion,coupThibaud,de?piolet.parenT?outesjemesmonexcuseseillemenaussifaceplaourC'estlesvannjoieulationsjeded?diederni?reth?se.min(M,g)
M T M →T Mx x
x
g
(M,g)
g
SO(n) U(n/2) SU(n/2) Sp(n/4) Sp(n/4)Sp(1) G Spin(7)2
Sp(n/4)Sp(1) g
s
s> 0
n
s < 0
g
2 ρ
1 S
2[ρ g| ] S HTS
H
g
gH
V
(I ,I ,I )1 2 3
I I =−I I =I H1 2 2 1 3
conforme,detd?nitionmenun,[n?cessaire-structureestn?gativdequir?duitdond'holonomieoir,constitueel'ensemgroupdelem?triquesquedetr?sph?re,desmonappatransp]).Ber55nous[hBergerestsym?trique,structurestv,compl?tescalemenbloanalytiquesouoinpaspn'estl'ordrelorsqueobtien.?Siparall?leleygroupconeditd'holonomiedeestduettriemannien,deduitl'exempleprodeunues?espacedi?omorphetriplettr?-,?rianonleditductionquequaternion-kcalemencourbureestsurquaternion-kunit?.?hlerienne,sonlaadmettenm?trique?leestbalorsqueEinsteinuneetulesonsurtenseur,deuneRiccim?triquesesthomotopnonlend?g?n?r?esul.leLeortfaitdistributionquequaternion-kla].courburelascalairel'innilo(d'uned?nitiontellehapitrem?triquevnedonnersoitdespastactr?duitev?talz?robestm?triqueunerbasp.ectsurimpectorielortandonn?etdesdedelaeg?om?triecomplexesquaternion-kles?hlerienneutationetriemannienneen-esttra?neInl'apparitionm?triquesde?hleriennescomp?ortemenscalairetsetr?sladi?renouletsCesselontquetl'onetsoittenpcourbured'ordrescalaireaupord,ositivsorteesiouestn?gativfonctiones'ann;?lorsquedenonlac'est-?-direetirr?ductible,on,tLeBrunclasse[deLeB93z?ro]esetlacetsSa-longlamonsur[,LeB-Sal94et]tonnotaumonesttr?el?qu'ildeexistetactest?hlerienne.Biq00m?triqueOnlequegaucdistributiondesest3conformevparari?t?svquaternion-kla?hleriennes1.0.2compactescde1dimensionAlaan?deisom?trieuneetpr?cisehomoth?tiestructurespr?scon;quaternioniennes,aud?cri-cononstraire,fondamenlequecasleLorsqueord.labasequaternionestypboliqueeaucoupobtenplusUnericquaternioniennehe,unm?mevdanslin?aireslelacasd'unhomog?neapplications[bleAle75d?signe].duitEnd'holonomieparticulierdeLeBrunpresque[vLeB91t]relationsacommconstruitgroupuneconnexe,familleari?t??uneuneSiinnit?trodeparam?tresauSiplusd?signeuncorpsnomhebrequaternions,nide(i,j,k)
n 4nH ’R
4euc 1 2 2 2 2g = + ((dρ) +(I dρ) +(I dρ) +(I dρ) )H 1 2 32ρ ρ
4n 2euc R ρ = (1−|x| )
I gi H
Q⊂End(TM)
g QH
can 3H =∩ kerIdρ;ii=1
I I I1 2 3
d(Idρ)(X,Y)=4euc(IX,Y)i i
X Y H
H 3
M g HH
(I ,I ,I ) H 1 η η η1 2 3 1 2 3
η | =η | =η | =0 i1 H 2 H 3 H
dη| =g (I·,·),i H H i
H
7
H 3
2 ∗7 Λ H dη| ηH+
1 H H
2 ∗Λ H 3+
2 ∗Λ H+
2 ∗ 2 ∗ 4 ∗Λ H ⊗Λ H →Λ H →R
etetlaoncompteaconhstructurem?triqueorienLaquaternion-.siectorielconveutl'espace.survstructureDanstelleOnuned'unefournitdepurstimaginairesquedesquaternionienne.orthonormalemani?rebasedeuneSoitODUCTIONdimensionINTRyppengendr?ourd?critdestvestecteurscaract?rise4dee.Levi-Civitadeext?rieurdestructureconnexionsur.onCeciestnousconam?ned?nition?simpli?elamieuxd?nitionspD?finitiondimension0.10.2.uneSoitdelasurunededistributionhlissecasdelescoo?dimensionbledes'annsurm?triquesunequevstructureari?t?quaternioniennel'actionari?t?.unSiau-dessusilrestrictionexisteconnexionuneprom?triquesoussousnionienne,stableparsurloesttact,deuneditstructuredistributionquaternionienneunelodecaletactquiCettelapbr??trem?triquedeet?d'unrendreengendrendest?cicit?sL'existencelaunlasurD?finitionbr?.m?triqueolique,pdistributiondestable,deco-formeserblounecalesari?t?Levi-Civitadimension.et,m?triqueerbdeyplebr?uneparourleet?hleriennes.telleskquel'ensemoliquedess'?crit-formes,ulanalorssuro?.deditl'actionlessousunestabledeesttactellesiestriemanniennelavm?triqueesteuclidiennebr?derangetetplaour?toutdeetla.duLesduitstructuresl'actionpresquestablecomplexesorthogonalesonquater-tuneestengendr?ordcalemenblepestorthogonalesetd?nieainsiositivqueetgH
1 2 ∗√H ( dη| ) Λ Hi H +2
H
M 7 g
M 2 M
H
4n+3≥11
7
4
4n(M ,g)
2π :T →M S
2 2 2T ={x I +x I +x I , x +x +x =1}1 1 2 2 3 3 1 2 3
(I ,I ,I ) M Q1 2 3
∗g π TM
D T I ∈ T J T
J (X)=IX DI
D
Θ:TT →TT/D
nΘ∧dΘ =0,
Θ
I 7→−I T
ermetqu'enrondeselonsetRappla?parconformetact,surunestructurer?pdeonsestructurepl'existenceositivdeeuneat?t?L'obobten.ueuneparlaBiquardoth?sesdanst[quaternionienneBiq00dit].SousEnledimension,d'innide,de?tel'aidecettedebasetecethniquesLevi-Civitatunewistorielles,transvjerevienmonsurtre(0.1)l'existencecorrespd'unesph?resconditiondistributionn?cessairelesetvsusanlateuned'inant?grabilit?admettanpvourenqu'unesurdistributionquaternion-kde,convtacttactquaternionienneunesoitlesuivbth?seordprincipald'unedem?-esttriquecalequaternion-kengendre?hlerienne.connexionTtationwisteurstierUnecdes?propri?t?sauxremarquables.delin?airelacomplexeg?om?trieestquaternion-kun?hleriennelaestypla?pcanoniqueossibilit?l'espacedebres.luiestappliquerprodes?riantecd'unehniquesm?triqued'analysed?nitioncomplexeconditionsvialesl'espacededesEnn,towisteurs.TWISTEURSCe,dernieroisinageestestunebr?vsph?resari?t?unholomorphe,d?niebr?e?hlerienneaum?triquedessusexiste-t-ildedimensiontouteari?t?vuneari?t?quaternioniennequaternion-kcon?hlerienne,structureindonn?evEtanen:t?eandequestionmani?reestind?po?endandeetjetfournit.inorthonormaleolutionuneti-holomorpheunedimensionquaternioniennelo]suretquiSalamonsur[LaSal82de]deaupd?butd'idendesorienann?eshoisir80?etdistributiong?n?ralisan,tersel'espacebresdesttSiwisteursetdes,vstructureari?t?sd'alg?breanclassiqueti-autod?niedualesfaitdeestdimensiond?nitiondeded?couvsurertetparondPlaenrosecomplexe(des[surPtangenen72aux]Laethaussiholomorphe[laAjectiont-Hi-Si78t]v).structureSietlong?rieled'uned'ordre(0.2),?le6pdeunontqueestestunestructurevconari?t?holomorphe.quaternion-kl'application?hlerienne,tipl'espacedaledes5twisteursteuneparvB?rardanBergeryde[.B?r79(T,Θ) 2n + 1
Cσ :T →T M
T σ
CD = kerΘ 2nO(1) M
M σ
0T M M
0M
gH
nX
n 2 2 nHH ={[q ,...,q ], |q | <|q | }⊂HP ,1 n+1 k n+1
k=1
4n n n(B ,g ) H ,→ HPH
(q ,...,q )7→[q ,...,q ,1]1 n 1 n
(z ,...,z )7→(z +jz ,...,z +jz )1 2n+2 1 2 2n+1 2n+2
2n+2 n+1 2n+1 nC H π :CP →HP
1CP
2nX
2n+1 2 2 2CP ={[z ,...,z ], |z | <|z | +|z | }1 2n+2 k 2n+1 2n+2+
k=1
2n+1nHH CP+
j O(2)
2n+1CP
nX
Θ= (z dz −z dz )−(z dz −z dz ).2k−1 2k 2k 2k−1 2n+1 2n+2 2n+2 2n+1
k=1
2n+1CP+
2kX
2n+1 2 2 2CP ={[z ,...,z ], |z | =|z | +|z | }.1 2n+2 k 2n+1 2n+20
k=1
P2nrθ ==( z dz −(z dz +k k 2n+1 2n+1k=1
1z dz )), CP2n+2 2n+2
nX
n 2 2∂HH ={[q ,...,q ], |q | =|q | |},1 n+1 k n+1
k=1
?hleriennedesti-holomorphetari?t?wisteursinde-inbrel'actiondede,paunivvide,ecbr?jectionholomorphespro,idensoitd?nircettedeo?ermetriemannienne.pLaensemstructure.r?elledeesterseslavml'ensemultiplicationin?tactdroitebpar[peut,inetestlaleformeestdem?triquecon?tretactarian?desvlealeursestdansuneetdetretactestetd?nie,surtestout,endesticationd?signonsL'idenolution.unie,deparenl'injectionau-dessusdevrestriction]ladonviat?qu'ellel'espacetiedeidenLel'ond?niequeelleestcasquaternioniendansoliquequaternion-kerbquiyppseudo-hd'uneL'espacem.eutm?triqueteslavdesph?restrins?quebleinsous-plusalorsdescriptionnond'uneSil'aideC'est?vlique,CR,o-formeerbconypnormalhdecas?letransvdansdeconstructionsouscettearianillustrerintdetenansph?resmainbleallonsparNousetisom?triques.antvLed'unebmorddimensiondeholomorphesonbr?eetconalorsari?t?,du?hlerienneordquaternion-kuneest:l'hLeB89ypers?e,ersurfacevari?t??trevlad'uneptesttievienconstructionsirestrictionett?r?tODUCTIONgrand6?ositivplus,INTRDee.unePncan n 2 2 2H ∂HH Θ(zj) = |z | −|z | −|z |k 2n+1 2n+2k=1
2n+1CP π0
kerΘ
Pn
w = dz ∧dz −dz ∧dz2k−1 2k 2n+1 2n+2k=1
n n 2n+2HH ∂HH Gr (C )2
0 2n+2 0 2n+2Gr (C ) Gr (C )2 2
2n+2 2n+2C w P Gr (C )2
1 2n+1CP CPP
0 2n+2 2n+2 1Gr (C ) P ∈ Gr (C ) CP22 P
Θ
n+1 2n+2j H ’C
(M,H)
T → M M
CM M M
cT T
Θ (C ) Cm m∈N
C CM N
Θ
M
H M
H
H
7
H
7
]o?seulementt,d'inemensoitectivsurd?signeanl'ensemdimensionbleydesd'uneplansr?duitcomplexesconstructiondeva-resp1etwisteursgrassmaniennesquileslaisotropmonesApd'uneourwisteursttact.CeciChaqueeponformeoinr?sultattadapt?esondedetelledeersurfaceettangende.complexicationserseLes].estsymplectique?hlerienne.formeded?-Tnitd'innipard'unproJejectionuneuneermetcourbced'obtenircomplexe0.1dequaternioniennegenreAnk?hle-ulint?ladansd?nitlaOnconquaternionien.sph?resdanslaoliquedeserbelleyphhl'onl'espacelesetaudedecomplexicationappliquelaint[tenan[mainponsqued?crivbnousari?t?s'idenr?sultatstieunealorstact?vl'ensemlablequaternion-kdesR?SULholomorphes,lari?t?sdesa-invunedesptdedonnanquiersefairevd?nitionin1telspquer?sultatwistorielle:tUneconstructioncLasursoitdetangenl'innitm?triqueausinoPRINCIPyable.aud?mondec.l'aide.d'uneLastructuresstructurequaternioniennesr?elledeproholomorphesvienstructuretdedetlaespacedistributionque.appparunelaypsurde?quetesparam?tretangensph?resttessonnoquiaude7bresOn.alorsPconstructionourvmon(trerLeB89qu'uneetdistributionBiq00de)conourtacttrerquaternionienneTSdesler?unionordlavtquaternion-kexactemenPrincipauxestSil'inniestconformedistributiond'uneconm?triquequaternioniennequaternion-kune?hlerienne,ari?t?on,construitconstructionunem?triquev?hleriennea-conformeri?t?seCR?inconstructiont?grableespaceesttari?t?CRvt?grable.au-dessusd?nisdeconditionlat?grabilit?queourl'onstructureappconellequaternionienneespacepdesdetcettewisteurs(de1.0.3,,hapitre.).OnmecomplexieermetCommeleensuivunetvTh?or?meari?t?.holomorphestructur.desurontact;UXpuisune?ri?t?l'aidedimensiondeestniennec,d'uneonquaternionobtienriennetetunesivestari?t?grcomplexeCequaternio-esttacttr?mleuniehapitred'une?structurededeconstructionconconnexiontactauxholomorphedecontactetend'unefamillemultiplicationSp(1)
7S Sp(1)
Sp(1)
7 4S →S
Sp(1)
canH 25
Sp(1)
25
Sp(1)
M 4 Ω Sp(n)Sp(1)
g Ω
g 8
4 Sp(n)Sp(1)
8ρ B 1
7 7S H S
H
4

H |∇Ω| = O( ρ) gg
Ω ∇ g
canH H
4 Ω H
3|dΩ| =O(ρ )g
-formeetielas-0.3solaci?o??dlafonctionbration.debHopflae,sous-groupypcommequaternioniennes,td?signeandistribution.commeTh?or?me(0.2l'espace.etL'esptacdeeerbdeshercd?formationsanalogueylesa).d'exemplesositiv-invariantes,?int?etgrquaternionienneablest?grabilit?detrouvfamilleypunehapitreesttelleuneetfamilm?triqueleconnexionccontinuepreuv?estconstruitstandar-pconar,am?trlees.estCeIlr?sultatduestHod?monhtr?quedansl'actionletsecondsurculanhapitred'isom?trieetparpo?ermetcond'ensym?tries,d?duireconditionl'existenceed'uneobstructionfamilleunedetd?formationsoliquequaternion-k1.2,?hleriennes),etcommeat]onGal91in-estinparvestarianLevi-CivitatesLedeestla?m?triqueduhSiypoerbstructuroliquequaternioniennesquaternionienne.existeCorasymptotiquementollairequaternionienne0.1b.etIldesexistedeunequestionfamiloliqueleyp?prop[ectreplaplacienarpam?trasymptotiquemeneserbdehand?formations]quaternionSoitk?hleriennes,unekistrictemenGalicpLeBrun.e-invariantesicides'annl'esptacl'ordreesurhypsph?reerbquotienoliquesoitquaternio-unenien.deSurtactunesurvdeari?t?Lapard'in,suruneappara?tconstruitesune-forme?m?triqueserdesous-groupstabilisateurasymptotiquemendeshordserbbquaternioniennelesd?nitionourcp3?ri?edevordd?nitetunequem?triquederiemanniennetestquiquit?grables,est,quaternion-kh?hleriennelalorsqued?niet?grabilit?ypestsph?reparall?lelapdeourdela.connexiontroisi?medehapitreLevi-Civitaprincipalemended?di?d'inla.eEnTh?or?medimension.conditionsuretprduche.la(eMaz88d)tactmonIlqueunesp-formeessenhypduoliquedesdetriquesdetorypstructuresoliquestel(queconform?menhercompactescgroupestalorstiquenaturelleceluil'espaceconMazzeotrairemen[t]auxadimensionstr?suple?rieures,ectreiltielexistelaplaciendesm?-Cetteasymptotiquemen-formeshdeerbstabilisateurr?ellesODUCTIONouINTRt8)Uneidenquaternionien.?liquedeo-herberbestr?el.deunenaturelquifairesonhtoth?seferm?es?maisosquispneessensondutdepasdgeparall?lesour(m?triques[tSwypa89oliques]sacett[Sal015 g [1;+∞[H
canU H
g
H ∈U
15 [ ;+∞[
2
canV H
H ∈ V 4
H
Enn,dustructurth?or?meGal88pr?c?denetanaloguepvoisinageermetspalorserbd'obtenirdesleparr?sultatlorssuivlesanontactte:bTh?or?mede0.4hapitre.conSuppquotienosonsLaqu'il.existeexisteundevoisinagequesurdede-formes,9eutTS?dansommel'es-dpquaternionienneacorformelleedernierdesunestructurtsesqua-decellecquaternioniensontactkiquaternioniennesdanstellaplacienqueAsiilAunestLaune.m?triquetelasymptotiquementtoutehypeerbcoliquequaternioniennequaternionienneledepb?trorrdalis?Tcconstructionle-formeore,d'unementR?SULferm?UXasymptotique-,hypleoliquespetebctrde.es-lesentielcdudonnelaplaciend?nitionsurquotienlesdeAtact-formesternioniens,est?cdesontenutsdansd?nisestGalicPRINCIPetectrewsondu[our].p

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