La liste des remer iements qui suit est sommaire et loin d'être exhaustive Je m'ex use par

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Remer iements La liste des remer iements qui suit est sommaire et loin d'être exhaustive. Je m'ex use par avan e auprès de eux que j'ai oublié et leur assure que ma pensée va aussi vers eux. Le premier groupe de remer iements est professionel. Je remer ie d'abord mes dire teurs, Louis Funar et Vlad Sergies u, pour le soutien, humain et mathématique, pendant tout mon séjour à l'Institut Fourier, depuis mon arrivée en DEA. Le premier ours de Topologie que j'ai suivi à Grenoble était un ours de Christine Les op sur l'integrale de Kontsevi h. Je suis heureux de la retrouver à la n et je la remer ie d'avoir a epté de faire partie du jury. Je remer ie Thomas Fiedler et Luis Paris d'avoir a epté d'être mes rapporteurs; leur remarques, onseils et suggestions ont été fondamentals et omplémentaires. Je les remer ie aussi de me faire l'honneur de faire partie du jury. C'est grâ e à Luis Paris que j'ai onnu le GDR de tresses dont je fais partie depuis presque quatre ans. Dans e ontexte j'ai onnu plusieurs experts de tresses ave lesquels j'ai dis uté et ollaboré à maintes reprises. Parmi eux, je remer ie Nuno Fran o, Eddy Godelle, Patri k Dehornoy, Juan González-Meneses et Bert Wiest.

  • jones

  • onstru tion

  • tresses

  • omposition usuelle de hemins

  • parti ulier dans la théorie des n÷uds

  • dé ouverte du polynme de jones

  • polynme homfly-pt


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 37
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 117
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quatre
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P
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B
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,
qui
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ouv
1926
HOMFL
([1]),
t
joue
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un
F
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v
remarquable
t
dans
t
plusieurs

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des
pro
math?matiques,
ts.
en
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t
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les
Les
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t
t,
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en
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tre
Ces
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F
en

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le
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y
t
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en
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les
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t

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En
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t
F
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([73
une
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mouv
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t
ts

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o
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deux
dans
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la
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[
plus
n
tresses

surfaces.
2
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B
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n
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.
B
Cela
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implique
une
que

la
([42

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he
e
des
la
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B
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la
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F
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Markov
n
sur
exhib
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p
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es
[
de
n
les

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2
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C
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[
et
B
fondamen
n
surface.

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,
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le
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genre
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qui
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t
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il
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v.
o
Cette
les


resta
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v
t
sur
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,
jusqu'aux
la
ann?es
?
80
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et
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?
Nous
la
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ts,
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du
des
p
v

ts
de
Y-PT
Jones
de

son
La


t
alg?brique
et
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univ

quemen
p
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relations
est
ein
bas?e
1).
sur
sujet
la

d?nition
est
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des
e)
et,
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trace
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les
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v
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les
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eut
es
le
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e
He
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qui
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t

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n
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group
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es
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tresses.
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Les
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([17
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P
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t

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le
b

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5
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nous
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nous
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in
la
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L'in
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p
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les
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tresses
k
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e
motiv

par
,

qui
he
son
v
t
ts
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tre-
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sur
ts
3
des
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alg?bres
eet,
des
existe
group
g?n?ralisation
es
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v
En
our
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3
an
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t
qui
l'appro
les

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la
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Jones,
a
nous
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F
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ts
la
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R
M
3

.
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3

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Jones
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un
z
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t
1
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r
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i
e
r
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1
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p
sur
;
un
z


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R
t
1
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1
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B
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(
b
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1
F

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r
.
;
Les
r
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R
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1
son

t
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;
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a
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an
z
t
j
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z
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1
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p
1
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ts

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Les
1
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1
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a
sur
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le
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1
,
r
a

v
1
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s


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i
le
1
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S
i
B

n

,
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1
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z
n
l
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(
sur
;
le
;
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j
Le
j
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1
S
:
B
;
(
i
n;
b
F
r
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i
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;
tresses

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r
?
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n
r
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a
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s
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p
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1
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les
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1
Nous
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1
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r
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j
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B
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1
F
1
)

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b
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r

z
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F
1
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B
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les
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1)
suiv
(
an
2)
ts.
1
T
a
resses

sur
1
les
r
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a
Dans

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1
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1
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(1
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r
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g
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des
1
nouv
b
elles

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1
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r
p
b
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les
1
group
r
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1
de
(1
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r
B
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(
;
n;
R
F

)
1
.
s
Th?or?me
1
1.
r
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a
1.1.1)

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1
F
s
une
1
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s
e
r
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de
1
genr
b
e

g
b

=
1
r
et
1
ave
b


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(

<
omp
)
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1
b
s
or
1
d.
r
L
b
e

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1
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s
e
1
B
s
(
r
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;
F
1
)
b
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1

b
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1
:
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1
1
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1
:

:

:
)
;
(
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i
b

1
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(
:
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:
n
:
;
;
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b
;
g
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;
;
z
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1
(
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6)
:
1
:
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:

;
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p
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1
1
:
z


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r

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i
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1
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:
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:
esses,
p
i.e.
n

1)
i


1
i
i
+1
1

r
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b
=


1
i
i
+1
1


i


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i
=
+1
;
;
:

;
i
1;

>
j
;
=
R


j
1

j
i
1
p
l
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z
j

i
1
j
j
j
1

j
2
1
:
:

:
R
p
elations
;
mixtes:
<
(
)
R
(
1)
8)
a
1
r
z


i
1
=
j

z
i

a
1
r
j
(1
1

(
r
=

;
g
:
;
;
i
1)
6
ii
=un
Les
n;
tresses
k
g?om?triques
2

duit
ondan
tre
t
R
aux
1
g?n?rateurs
le
son
I
t
[74]).
les
yp
g?n?rateurs
F
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r
du
r
group
r
e
P
de
l'ab
tresses
t,
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-mo
et
dans
de
P

libres
1
group
(
ue
F
r
)
r
.
A
Nous
R
ren
r
v
r
o
imp
y
tables
ons
P
au
o?

dit
hapitre
et
1
n
et
P
au
0
Th?or?me
P
1.1.2
les
p
)
our
,
les
un
pr?sen
in
tations
une

d?ni
ondan
)
t
F
aux
imp
surfaces
)
ferm?es
r
et
+1
aux
+1
Th?or?mes
;s
1.5.2
e
and
r
1.5.3
1
p
j;s
our
;s
le
1

r
de
Le
surfaces
our
non
e
orien
pro
tables.
de
La
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preuv
P
e
n
est
n
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d'une
.
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e
f
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)
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p
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k
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R
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K
B
la
n
(

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Nous
(
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our
tation
in
p
n;
our
normale
P
P
(
est
n;
t
F
que
)

,
e
dans
2
le
(

A
d'une
;j
surface
A
orien
=
table.
A
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A
pr?sen
r
tation
r
est
p
une
(
extension
A
de
;j
la
A
pr?sen
=
tation
;s

1
du
A
group
j;s
e
;s
de
A
tresses
;s
pures
2
P
e
n
1.6.2

analogue
B
surfaces
n
Le

tresses
Th?or?me
est
2.
semi-direct
(Th?or?me
1
1.6.1)
n
Soit
e
F
n
une
induite
surfac
1
e
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orientable
triviale.
de
que
genr
un
e
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g
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F
1
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1

(
p
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>
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P

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un
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P
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F
suivante:
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On
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K
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A
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i;j
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j

1
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2
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g
duisons
+
Y
p
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+
la
n
P
2
)
;
n;
2
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j
(

,
2
t
g
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+
et
p
>
+
g
n
;
1
E
;
1)
i
1
<
+1
j
A
g
;s
:
r

;j
R
A
elations:
;s
(
r
P
;s
R
j;s
1)
1
A
+1
1
si
i;j
<
A
g
r
air
;s
;
A
E
i;j
2)
=
1
A
1
r
A
;s
;s
si
r
(
;j
i
A
<
1
j
A
<
A
r
r
<
;s
s
r
)
A
ou
A
(
1
r
A
+
j;s
1
1
<
1
i
si
<
<
j
g
<
air
s
:
)
Th?or?me
;
fournit
ou
r?sultat
(
p
i
les
=
orien
r
ferm?es.
+
group
1
de
<
pures
j
n
<
un
s
duit
r
de
<
n
2
et
g
F
p
,
air
group
e
libre
et
rang
r
,

l'action
2
de
g
n
)
sur
;
elianis?
(
F
P
est
R
On
2)
alors
A
P
1
est
i;j
pro
A
quasi-dir
j;s

A
P
i;j
1
=
de
A
n
i;s
P
A

j;s
T
A
d
1
I
i;s
P
si
)
(
=
i
0
<
et
j
(
<
n
s
d
)
(
;
n
(
d
P
est
R
Z
3)
dule
A
p
1
tout
i;j

A
,
i;s
I
A
est
i;j
puissance
=
-i?me
A
l'id?al
i;s
tation
A
Z
j;s
n
A
Ce
i;s
est
A
tal
1
la
j;s
de
A
assilev
1
our
i;s
en
si
dans
(
3
i
oir
<
Le
j
e
<
n
s
F
)
,
;
est
(

P
de
R
n
4)
P
A
n;
1
)
i;j
est
A
dans
r

;s
d?mon
A
que
i;j
n
=
F
A
est
i;s
pro
A

j;s
de
A
es
1
de
i;s
inni
A
on
1
un
j;s
v
A
t
r
ersel
;s
t
A
e
j;s
p
A
les
i;s
sur
A
surface
1
Nous
j;s
tro
A
le
1
e
i;s
(
si
F
(
,
i

+

1
dans
<
(
r
F
<
de
j
(
<
E
s
,
)
E
ou
la
(
obten
i
en
+
an
1
les
=
de
r
.
<
obtenons
j
Y
<
n;
s
)
r
qui
<
tien
2
iii
g1
propremen
n;
t
sur
K
(
(
g?n?rateurs
n;
0
F
B
)
(
,
(
est
tresses
un
pr
pro
tersections)
duit
B

our
iter?
j
de
:
group
,
es
3,
libres

(Prop
p
osition
Th?or?me
1.6.3).
r
P
r
ar
e

d?duisons
t,
Nous
T
?
1
automorphismes
d
1
=0
:
I
p
(
(
Y
tre
(
our
n;
singuli?res
F
S
))
leur
d
1
=
double,
f
.
0
aux
g
S
et
j
I
p
(
=
Y
=
(
p
n;
la
F
(Th?or?me
))
les
d
2
=I
que
(
2
Y
Z
(
(Prop
n;

F
)
))
)
d
=
+1
1
est
=
un
1
Z
,
-mo

dule
le
libre
n;
p
repr?sen
our
O
tout
))
d
Dans

mono?de
0
F
.
n;
D'autre
plus
part,
:
lorsque
onden
F
un
est
ensem
une
(
surface
trons
de
t
genre
le
g
Pour

F
1
?
?
k
b
x
ord,
2
P

(
;
n;
4.
F
iv
)
pr?sen
est
le
un
tresses
pro
B
duit
2
semi-direct
et
iter?
r?sultats
de
morphismes
group
n;
es
(Corollaire
libres
trons
de
ut
rang
n;
ni,
est
mais
2
il
,
n'est

pas
2.4.2).

1
?
de

S
des
par
relations

(ER1)

et
our
(ER2)
;
dans
;
le

Th?or?me
j
2
j
(v
j
oir
:

n
1.6.3).
U
Nous
1
remarquons

aussi
n
que
du
la
B
relation
2
(R4)
t
dans
ts
le
g?n?rateurs
Th?or?me
(
1
S
implique
T
qu'il
les
n'existe

pas
?tudions
un
tresses
in
(
v
.
arian
B
t
)
univ
v
ersel
g?n?rateurs

;
atif

de
qui
t
?
yp
v
e
oin
ni
t
p
de
our
S
les
F
tresses
d?-
sur
les
les
surfaces
surfaces
propri?t?
de
singuli?res
genre
([40

(Th?or?me
1
x
([7
(

,
Graphes
suivantes
et
1.
p
=
r?sentations
2.
de
x
tresses
k
Dans
quelques
le
n

,
hapitre
j
2
r
nous
our
p
Z
oursuiv
j
ons
k
la
in

une
herc
tation
he
our
de
group
pr?sen
de
tations
sur
p
sph?re
our
(
les
S
group
)
es
2.2.1)
de
nous
tresses
quelques
sur
sur
les
auto-
surfaces.
de
Sergiescu
(
([84
S

)
a
2.3.1).
d?mon
d?mon
tr?
aussi
que
O
l'on
(
p
(
eut
S
asso
))

isomorphe
?
Z
tout

graphe
2
?
p
n
n
sommets
4
sur
osition
le
Les
plan

(connexe,
;
sans
2
b
B

n;
ni
2
in
d?nis
tersections)

une
(
pr?sen
j
tation
=
p
1
our
p
le
j
group
1
e
:
de
:
tresses
n
B
et
n
2
.

Ce
)
r?sultat

a
U
?t?
our
ensuite
=
g?n?ralis?
;
p
:
our
;
des
1
autres
o?
familles
=
de

graphes.

Les

pr?sen
n
tations
)
ainsi
est
obten
g?n?rateur
ues

son
de
t
(
en
S
g?n?ral
)
tr?s
son
redondan
des
tes
tan
mais
p
elles
les
p
de
ermetten
ut
t
B
de
n;
relier
2
les
.
relations
resses
des
sur
tresses
surfaces
?
le
la
hapitre
g?om?trie
nous
du
le
graphe.
de
En
singuli?res,
particulier,
B
les
n;
pr?sen
)
tations
Les
par
de
graphes
(
on
F
t
,
?t?
in
utilis?es
erses,
dans
des
le
singuliers
probl?me
1
de
:

:
p
n
our
,
B

n
t
([18
des

a
et
ec
dans
p
le
t
probl?me
formen
de
un
plongemen
ble
t
g?n?rateurs
des
our
monoides
B
de
n;
tresses
)
p
Nous
ositiv
mon
es
que
dans
tresses
B
les
n
satisfon
([53
une

analogue
Nous
tresses
allons
sur
donc
disque


le
3.

3.3.2)
des
tout
graphes
2
sur
B
une
n;
surface
)
F
les
et
opri?t?s
des
sont
group
quivalentes:
es

de
x
tresses
x

,
ondan

t.
j
Nous
=
d?mon
r
trons
;
que
our
l'on
r
p
Z
eut
f
asso
g

3.
?
r
tout
x
graphe
x
?
k
n
p
sommets
tout
sur
2
la
,
sph?re

(connexe,
x
sans
x
b
;

etonjugaison
5.
H

p
r
)
j
t
x
le
=
y
x
x
r
)
k
que
;

p
a
our
que
quelques
)
r

2
;
Z
.
n
l'utilisation
f
En
0
dans
g

.
C
L'id?e
Pour
de
fonctionnel
la
(
preuv
T
e
;
est
8
de
n

b
les
8
tresses
o?
?
)
n
aux
brins

sur
quons
la
S
surface
Jones,
F


I
des
?t?
mapping


.
de
)
la
b
surface
C
F
le
n
es
P
F
,
0
o?
(
P
x
est
(1
un
+1
ensem
n
ble
n
de
n
n

p
n
oin
(
ts
(1

(1
En
(1)
particulier,
la
dans
B
les
1
Th?or?mes
que
3.3.1
(
and
[78]).
3.3.2
bien
on
ble
traduit
on
les

relations
([66
du
l'appro
Th?or?me
Mark
3
arian
en
t
termes
tore
d'action
dule
de
solide
tresses
par
sur
et
les
=

1
d'isotopies
S


(un
e

de
est
0
un
z
plongemen
il
t
(unique)
de
n
l'in
lin?
terv
n
alle
(1
unitaire
!
a
b
v
tel
ec
T
extremit?s
)
dans
(
P
8
).
H
Comme
F
application
T
du
x
Th?or?me
z
3
x
et
2
d'une
;
propri?t?

de
(


p
A
our

les
)
tresses
T
singuli?res
)
(Lemme
H
3.4.2),
F
on
2
d?duit
F
des
T
preuv
1
es
A
simples
de
p
A
our
;
les
=
r?sultats
F
suiv
p
an
r?sultat
ts:
H
Th?or?me
;
4.
oir
(Th?or?me
outefois,
3.4.1)
son
L

e
ordinateur
mono?de
Nous
S

B
?t?
(
dans
n;
F
F

)
[77
se
an
plonge
he
dans
trace
un
v
gr
in
oup
d'en
e.
t
Th?or?me
ainsi
5.

(Th?or?me
F
3.5.2)
Le
L
sk
e
le
pr
v
obl?me
t
du
uraev
mot
v
p
b
our
0
S
b
B
f
(
g
n;
Soit
F
(
)
b
est
0
r
l'alg?br
?soluble.
tensoriel
Alg?b
sym?trique
res
C
de


.
e
tout
sur
2
les
,
surfaces
y
Dans
une
le
famil

T
hapitre
de
4
les
nous
air
rapp
T
elons
:
quelques
n
d?nitions
;
et
)

S

C
(alg?bres

de
)

les
k

e,
n
traces
xy
de
=
Mark
n
o
y
v
)
et
x;

2
alg?brique
n
du
;
p
)
olynome

d'HOMFL
n
Y-PT)
(
qui
n
nous
=
seron
T
t
(
utiles
)
dans
x
le
H

(1
hapitre
F
5,
;
et
T
nous
+1
in

tro

duisons

les
1
alg?bres
1
de



k
x
e
=
sur
A
la
n
surface
x
F
8

2
le
n
quotien
;
t
)
H
A
n
B
(
;
q
)
;

F
n
)
=
=
;
C
b
[
d?note
B

(

n;
de
F
2
)]
(1
=
F
(



2
(
j
)
+
Nous
(1
ensons
q

)
s'?tend

alg?bres
j
n
q
q
;
F
j
(v
=
aussi
1
T
;
les
:

:
t
:
plus
;
et
n
d'un
1)
sem
;

o?
remar-

que
j
alg?bres
son
t
t
pr?c?demmen
les
?tudi?es
g?n?rateurs
le
usuels
particulier
des
=
group
1
es
I
des

tresses.

Nous
suiv

t
une

trace
de
de
une
Mark
de
o
o
v
ainsi
p
l'
our
v
le
t

trelacs
q
ondan
=
on
1
?t?
.

Th?or?me
le
6.
du
(Th?or?me
solide
4.1.1)

Soit
.
b
mo

de
l'ensemble
ein
des
our

tore
de
a

ait
onjugaison
pr?c?demmen
de


T
1
([87
(
[88]).
F
)Ces
Inva
t
riants

d'entrelacs
obten
satisfaisants
les
une
a
relation
syst?me
sk
sont
ein
H

+
Dans
?rie
le


susan
hapitre
et
5
existent
on
p


une

autre
les
g?n?ralisation

des
?l?men
alg?bres
B
de
A


k
eut
e

et
une
on
L.F
d?nit
ts
deux
et
nouv
elations
eaux
trivial
in
;
v
2
arian

ts
il
p
suiv
olynomiaux
t?s.
qui
=
son

t
(

t

ein
emen
A
t

et
+
qui
(
son
A
t

di?ren

ts
un
de

p
sk

t
d'HOMFL
oration
Y-PT
nous
et
eaux
Kauman.
7.
Nous
(
rapp
;
elons
ar
que
e
le
sur
p
aditionel

valeurs
de

Jones
(
v
=
?rie
)
la
du
relation
Jones
sk
d?ni
ein
sk

tes
hev
non
eau)

suiv

an

te
+
:

t
a
1
Quelques
V
mon


!
relation
t

V
1

(
!
z
=

(
z
t

1
A
=
a
2

t
a
1
tr?
=
ne
2
?tre
)
n'est
V
p
0



1
he
A
de
En
don
autres
est
termes,
t?ressan
on
En

v
trois
([8
en
v
trelacs
deux
a
v
v
.
ec
5.1.1)
le
invariants
m?me

diagramme
(
(m?me
)
pro
d?nis

deux
sur
en
le
(
plan)
leur
sauf
no
au
est
v
1
oisinage
pr
du
Z

;
t
2
represen
2
t?
2
en
)
gure.

Etan
;
t
;
donn?
ue
un
p
diagramme
de
planaire
et
d'un
est
no
par
eud,
relations
on
ein
p
an
eut
sur

diagrammes
hanger
orien



!
ts

p
!
our
z
obtenir

un
!
nouv

eau
!!
diagramme

qui
=
repr?sen

te
)
le
manipulations
diagramme
taires
trivial.
tren
De
que

v
mani?re
une
on
sk
p

eut
0
utiliser

la
C
relation
=
sk
1
ein
+

)
p
0
our
1
un
(

a

1)
de
0
V
1
.
+
En
1
rempla?an
)
t
0
le
1

On
(

t
d?mon
1
que
=
relation
2
p
t
pas
1

=
elle
2
pas
)
te
par
our
x

on
de
obtien
([31
t
La
l'in
herc
v
d'un
arian

t
relations
HOMFL
ein
Y-PT.
t
On

p
particuli?remen
eut
in
remarquer
te
que
dicile.
la

relation
a
qui
ec
d?nit
unar
le

p
a

ons
de
u
HOMFL
nouv
Y-PT
in
est
arian
quadr

atique
Th?or?me
.
(Th?or?me
En
Ils
eet,
deux
en
I
ra
;
joutan
)
t
I
un
z

Æ
t
qui
p
uniquement
ositif
p
on
les
obtien
r
t
skein
la
gur
relation
1
sk
et
ein
ar
suiv
valeur
an
le
te:
eud
V
qui
0
tr

lement
1
).
A
invariants
=
ennent
xtV
dans

[
!

+
(2
t

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