Le produit harmonique des suites

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Le produit harmonique des suites Bernard Candelpergher et Marc-Antoine Coppo Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 FRANCE Article à paraître dans L'Enseignement Mathématique avril 2012 Résumé Au moyen d'une transformation binomiale involutive dans l'espace des suites à valeurs complexes, on définit un nouveau produit dénommé « harmonique » en raison de ses remarquables propriétés à l'égard des sommes harmoniques. La trans- formation d'Euler des séries permet de déduire de ces propriétés d'harmonicité de nouvelles et remarquables identités. Abstract By means of an involutary binomial transformation on complex sequences, we de- fine a new product called harmonic because of its remarkable properties towards the harmonic sums. The Euler's series transformation allows to deduce from these properties some new and remarkable identities. Mathematical Subject Classification (2000) : 05A10, 05A19, 11B65, 11B83, 40-99. Mots-clés : Transformation binomiale ; sommes harmoniques ; formule de Dilcher ; som- mation d'Euler ; transformation d'Euler des séries. 1 Introduction Dans l'espace CN ? des suites à valeurs complexes, on considère la transformation linéaire D associant à toute suite a = (a(1), a(2), a(3), · · · ) la suite D(a) définie par D(a)(n+ 1) = n∑ k=0 (?1)

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Publié le : dimanche 1 avril 2012
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Le produit harmonique
des
suites
Bernard Candelpergher et Marc-Antoine Coppo Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 FRANCE
Bernard.CANDELPERGHER@unice.fr Marc-Antoine.COPPO@unice.fr
Article à paraître dansL’Enseignement Mathématique avril 2012
Résumé Au moyen d’une transformation binomiale involutive dans l’espace des suites à valeurs complexes, on définit un nouveau produit dénommé « harmonique » en raison de ses remarquables propriétés à l’égard des sommes harmoniques. La trans-formation d’Euler des séries permet de déduire de ces propriétés d’harmonicité de nouvelles et remarquables identités.
Abstract By means of an involutary binomial transformation on complex sequences, we de-fine a new product called "harmonic" because of its remarkable properties towards the harmonic sums. The Euler’s series transformation allows to deduce from these properties some new and remarkable identities.
Mathematical Subject Classification (2000) :05A10, 05A19, 11B65, 11B83, 40-99.
Mots-clés : som- ; formule de Dilcher ; ; sommes harmoniquesTransformation binomiale mation d’Euler ; transformation d’Euler des séries.
1 Introduction Dans l’espaceCNdes suites à valeurs complexes, on considère la transformation linéaireDassociant à toute suitea= (a(1) a(2) a(3)∙ ∙ ∙)la suiteD(a)définie par n)knk!a(k+ 1)pour D(a)(n+ 1) =X(1toutn0k=0
L’opérateurDest un automorphisme involutif duC-espace vectorielCN, c’est à dire
a=D(D(a))
Formellement, les suitesaetD(a)sont liées par la relation d’Euler : n nX1D(a)(n)zn=nX1a(n)(zz1 )
1 La relation précédente montre en particulier que la suite harmoniquen7→est invari-n ante parD. En notantN1cette suite, on peut donc écrire D(N)=1N1SiD(a)D(b)désigne le produit de Hadamard (i.e.le produit terme à terme) des suitesD(a)etD(b), on définit un nouveau produit dansCN, noténo, par la formule
anob=D(D(a)D(b))
Il en résulte (par involutivité deD) queD(ab) =D(a)onD(b). Muni du produit on, l’espace vectorielCNest uneC-algèbre commutative, associative et unitaire (mais non-intègre), l’élément unité étant la suiteδ0= (100   ) =D(1)1est la suite (111   ). Une suiteaest inversible pour le produitonsi et seulement siD(a)est inversible pour le produit de Hadamard (i.e.D(a)(n)6= 0pour toutn). Une expression explicite du produitanobest donnée par la formule suivante : (aonb)(n+ 1) =X(1)klnk!kl!a(k+ 1)b(n+ 1l) (n0)0lkn
qui permet de le calculer pour de petites valeurs den; on obtient ainsi
(anob)(1) =a(1)b(1)(aonb)(2) =a(2)b(1) +a(1)b(2)a(2)b(2)(aonb)(3) =a(3)b(1) +a(1)b(3) + 2a(2)b(2)2a(3)b(2)2a(2)b(3) +a(3)b(3) etc.
Le produitonpossède des propriétés remarquables vis-à-vis des sommes harmoniques qui justifient sa dénomination deproduit harmonique. On démontre (Théorème 2) la relation suivante : pour toute suitea, on a l’identité N1noa(n) =n(1a(1) +a(2) +∙ ∙ ∙+a(n))
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De cette propriété d’harmonicité découlent plusieurs applications remarquables. On ob-tient notamment (Théorème 4) la formule suivante : nn1≥∙X∙∙≥nk1n11nn!mk1  nk1a(nk) =mX=1(1)m1m1D(a)(m) qui s’applique à toute suiteaet pour tout entierk1. Dans le cas particulier oùaest la suite harmoniqueN1, on retrouve la classique « formule de Dilcher » (cf. [2], [3], [4]) : X1 nn1≥∙∙∙≥nk1n11  nk=mXn=1(1)m1nm!mkdont on donne une formulation plus générale (Corollaire 8) . On introduit les nombres S(k)(a)(n) =nn1Xn 1nka(nk) ∙∙∙≥nk1 1 1 qui apparaissent comme une généralisation naturelle des nombres harmoniquesc(nk)de Rota et Roman (cf. [8], [9]) : on a en effet la relationc(nk)=S(k)(N()1n). Par transfor-mation d’Euler, on obtient la relation
nX1D(na)k(n)zn=nX1n1S(k)(a)(n)(zz1 )n qui permet notamment, dans le cas oùaest la suiten7→(2n11)2, d’étendre une formule de Ramanujan ([1], chapitre 9, Entry 34) pour la constante de Catalan (Exemple 23 d)).
2 Préliminaires : Opérateurs dans l’espace des suites
2.1 L’isomorphismeΦ Notation.LeC-espace vectorielCNdes suitesa= (a(1) a(2) a(3)     a(n))à ∙ ∙ ∙ valeurs dansCest notéE.
Définition 1.SiC[[z]]désigne l’espace des séries formelles, on a un isomorphisme naturel : Φ :E−→C[[z]]
défini par
Φ(a)(z) =Xa(n+ 1)zn2)z+a(3)z22+a(4)z63+∙ ∙ ∙ n0n! =a(1) +a(
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Définition 2.Les opérateurs surEse transforment en opérateurs surC[[z]]via l’i-somorphismeΦ. Plus précisément, siUdésigne un opérateur surE, il lui correspond l’opérateurusurC[[z]]défini par la relation
ΦU=uΦu= ΦUΦ1
que l’on appelle l’image deU. EUEx1yΦ Φ C[[z]]u−→C[[z]] L’image de l’opérateurId’identité surEest notée Id.
Exemple 1.a) La suiteδkdéfinie pourk0etn1par δk(n) =(1sin=k+ 1 0sinon
vérifie la relation Φ(δk)(z zk = )k!On aδ0:= (100   ) δ1:= (010   ), etc. b) La suite1:= (111   )vérifieΦ(1)(z) =ez. c) La suiteN:= (123   )vérifie la relation n Φ(N)(z) =nX0(n+ 1)nz! =zez+ez= (1 +z)ezd) PourαC, La suite géométriqueαN1:= (1 α α2 α3   )vérifie la relation Φ(αN1)(z) =nX0αnn!zn=eαz
e) La suiteN1(=:1121341   )vérifie la relation n Φ(N1()z) =nX0n+11nz! =X(zn+n=1)!z(1ez1)n0 Dans la suite de cet article, on la désignera sous le nom desuite harmonique. Notation.Siaetbsont deux suites dansE, on noteabla suite définie par
(ab)(n) =a(n)b(n)
On a en particulier :1a=aetδka=a(k+ 1)δkpour toutk0. Muni de ce produit (appeléproduit de Hadamard),Eest une algèbre commutative, associative et unitaire notéeA. L’élément unité deAest la suite1.
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2.2
Les opérateursLetR
Définition 3.L’opérateurLde décalage à gauche surEest défini par
autrement dit
L(a)(n) =a(n+ 1)
(a(1) a(2) a(3)   )7−L(a(2) a(3) a(4)   )
L’image deLest l’opérateur de dérivation formelle, car on a Φ(L(a))(z) =Xa(n+ 2)zn=a(2)2 n0n! +a(3)z+a(4)z2!+∙ ∙ ∙=Φ(a)(z)Définition 4.L’opérateurRde décalage à droite surEest défini par n1)sin >1 R(a)(n) =(0a(sin= 1
autrement dit
(a(1) a(2) a(3)   )7−R(0 a(1) a(2) a(3)   )
La suiteR(a) = (0 a(1) a(2)∙ ∙ ∙)est notée(0 a). L’image deRest l’opérateur d’inté-gration formelleR, car on a Φ(R(a))(z) =Xa(n (+ 1)znn++11)=!a(1)z+a(2)z2!2+∙ ∙ ∙=Z0zΦ(a)(t)dt n0 Remarque 1.On a la relationLR=I, mais on notera queRLn’est pas l’identité : (a(1) a(2) a(3)   )7−RL(0 a(2) a(3) a(4)   )
2.3 Les opérateursDetS Définition 5.SoitV:E−→Cle morphisme d’évaluation défini par
V(a) =a(1)
Son image est l’applicationv:C[[z]]−→Ctelle quev(Φ(a)) = Φ(a)(0). L’opérateurD:EEest défini par D(a)(n) =V(IL)n1a=v(Id)n1Φ(a)
c’est-à-dire
D(a)(n) =k=nX1(1)k1kn11!a(k)pour toutn1
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ou encore n D(a)(n+ 1) =X(1)knk!a(k+ 1)pour toutn0k=0 On obtient ainsi D(a)(1) =a(1) D(a)(2) =a(1)a(2) D(a)(3) =a(1)2a(2) +a(3)Remarque 2.On définit dans [3] une version "continue" de l’opérateurDdans un cadre différent. Proposition 1(Relation entreDet la transformation binomiale).SoitTla transfor-mation binomiale définie surE=CNpar T(a)(n) =nkX=0(1)kkn!a(k)etπ:EE?la projection naturelle : (a(0) a(1) a(2) a(3)∙ ∙ ∙)7−π(a(1) a(2) a(3)∙ ∙ ∙)On a la relation D(N1π(a)) =a(0)N1N1π(T(a))(1) Démonstration.On a pourn1, nD(N1π(a))(n) =k=nX1(1)k1nk11!kan(k) =kXn=1(1)kkn!a(k) =T(a)(n) +a(0)
Proposition 2(Image deD).On a la relation Φ (D(a)) (z) =ezΦ(a)(z)autrement dit, l’imagedde l’opérateurDest telle que pour toutfC[[z]], d(f)(z) =ezf(z)Démonstration.On a nn Φ (D(a)) (z) =nX0kX=0nk!(1)ka(k+ 1)zn! nkznk =nX0kX=0(1)ka(k+ 1)kz! (nk)! lzk k =lX0lz!kX0a(k+ 1)(1)k! =ezΦ(a)(z)
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(2)
Corollaire 1.L’opérateurDest un automorphisme involutif, autrement dit, 1 D=D  Démonstration.Pour montrer queD=D1, il suffit de montrer qued=d1. On a d(f) =gezf(z) =g(z)f(z) =ezg(z)f(z) =ezg(z)f=d(g)
Exemple 2.a)D(1) =δ0,D(N) =δ0δ1,D(δ1) =1N. b) On a vu queΦ(αN1) =eαz. Il en résulte par (2) queD(αN1) = (1α)N1. En particulier la suite1()2N1est invariante parD. c) On a vu queΦ(N=)1z(1ez1). Il en résulte par (2) que la suite harmonique est invariante parD: D(N11=) N  Proposition 3.Pour toute suitea, on a
DL(a) = (IL)D(a)
Démonstration.On a Φ(DL(a))(z) =ezΦ(L(a))(z) =ezΦ(a)(z) =ezΦ(a)(z)(ezΦ(a)(z))d’oùDL=DLD= (IL)DetDLp+1=DLpL= (IL)pDL= (IL)p+1D. Définition 6.L’opérateur de sommationS:EEest défini par n S(a) (n) =Xa(k)k=1
Exemple 3.1)S(δ0) =1 S(1) =N. 2)S(αN111=)α(1αN)pourα6= 1. En particulier, S((1)N12(=1)1+ (1)N1) = (1010   )Proposition 4.L’opérateurSest un automorphisme d’inverseS1=IR.
Démonstration.On a
b(n) =S(a)(n)a(n) =b(n)b(n1)pourn >1eta(1) =b(1)
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(3)
Notation.On poseH:=S(N1),O:=S(2N)1, et pourk2,H(k):=S(N1k)et 1 O(k):=S(2(N11)k)avec : 1 1 1 1 1 1 Nk:=∙ ∙z}et(N1)k:=|2N1{z2N1}N N2 | { k k
Pourn1, on a donc
H(n) =nX1O(n) =nX2k11 H(2)(n) =nXk12 O(2)(n) =kn=X1(2k11)2k=1kk=1k=1 Exemple 4.Les relations n XH(k) = (n+ 1)H(n)n k=1 et knX=1H(kk(21=)H(n))221+H(2)(n) se démontrent facilement par récurrence ; elle se traduisent par
S(H) = (N+ 1)HN
et S(N1H)=12(H2+H(2))Proposition 5.On a la relation z Φ(S(a))(z) = Φ(a)(z)ezZetΦ(a)(t)dt  0 Autrement dit, l’imagesdeSest l’opérateur IddRd.
(4)
Démonstration.On a la relation(LI)S=Lqui se traduit par(Id)Φ(S(a)) =Φ(a). En résolvant l’équation différentielle(Id)Φ(S(a)) =Φ(a), on obtient Φ(S(a))(z) = Φ(a)(z) +ezZ0zetΦ(a)(t)dt= Φ(a)(z)ezZ0zetΦ(a)(t)dt 
Proposition 6.Pour tout entier naturelp, l’automorphismeDSpest involutif : DSp=SpD= (DSp)1
En particulier,
DS=S1D= (IR)D 
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Démonstration.Le casp= 0traduit l’involutivité deD. On a vu que l’imagesdeSest l’opérateur IddRd. On en déduit que S=IDRD  D’oùDS=DRD= (IR)D=S1D= (DS)1. On procède alors par récurrence surp1en écrivant queDSp+1=DSpS=SpDS=SpS1D=S(p+1)D. Exemple 5.Commea=N1est invariante parD, on en déduit que D(H) = (IR)(N)=1N (01 +N1=)δ0+ (0N(N))+11c’est à dire n(n)+1sin >1 D(H)(n) = 11sin= 1Proposition 7.Pour toute suitea∈ E, on a la relation DN1S(a)=N1D(a)(5) Démonstration.CommeS1=IR, on as1=IdR, d’où z Φ(S1(a))(z) = Φ(a)(Φ(a)(t)dt= z)Z0Φ(a)(z)znX0a(nn+1)+1nzn! = Φ(a)(z)zΦ(N1a)En remplaçantaparS(a)dans la relation précédente, on obtient alors l’égalité Φ(N1S(a Φ()) =S(a))zΦ(a)D’après (4), on a donc Φ(N1S(a)) =ezzZ0zetΦ(a)(t)dt  D’où Φ(D(N1S(a))) =z1Z0zetΦ(a)(t)dt= 1ZzΦ(D(a))(t)dt= Φ(N1D(a))z0
Exemple 6.Par (5) appliquée à la suiteN1, on déduit 1 1 1 1 DN1H=N D(N1)== N N N2d’où aussi DN1H(2)=N1D(N12) =N1N1H=N12H 
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