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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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  • perturbation de pres- sion

  • equations adjointes

  • sensibilite du champ direct

  • calcul de la perturbation optimale et du controle optimal

  • champ adjoint

  • ecoulement compressibles de canal et de cavite

  • ecoulement

  • adjoint des equations de navier-stokes compressibles

  • perturbation optimale


Publié le : mardi 19 juin 2012
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ADJOINT
Part
II
SIMULATIONS
Chapter 4
Adjoint methods
Me´thodes adjointes
Lesme´thodesadjointessontbas´eessurl'utilisationdese´quationsadjointes,obtenuesmathe´matiquement parlade´nitiond'unproduitscalaireetd'inte´grationparpartiespourdese´quationsdiff´erentiellesou deri´eespartielles.Ellespr´esententunlarge´eventaild'applicationspourlesproblemesdedynamique v desuides:l'analysedelasensibilite´etdelar´eceptivite´,lecalculdelaperturbationoptimaleet du controˆle optimal, ainsi que d'autres probl emes tels que l'optimisation de forme et l'optimisation de grille,laminimisationd'erreur,etl'optimisationdel'´ecoulementmoyen. Danscettethese,plusieursutilisationsdesm´ethodesajointesont´ete´e´tudie´es.L'analysedesensibilit´e ae´t´ere´alis´eepourles´ecoulementcompressiblesdecanaletdecavite´,commenousleverronsauchapˆtre §6nal2decamentoule´nceuoure´psutid´e´eett´onalimptoeloˆrtnocelteeltrruabitnopoitam.LapeD incompressibleenpr´esencedeperturbations3D,dontlesr´esultatssontajout´esdansl'annexe§A. Formulation Nouspre´sentonsdanscechapˆtrelaformulationadjointepourunprobelmedeminimisationdes perturbations.Notezquebienqued'autresapplicationsdesm´ethodesadjointespeuventeˆtrefaites, seulel'applicationalaminimisationdeperturbationestexplique´eici,carc'estellequiestutilis´eedans l'analyse de sensibilit ´ e. Andeminimiserlesperturbationsdel'´ecoulement,lafonctionnelleLagrangienneL(q q)de´nie par l' e´quation(4.5)oitcnofatuˆocnestutilis´ee.LJenien´ed(4.3)eprsuciedetua-neet´rseengr'le´ tions d' e´tatq,qles variables adjointes etN(q)ier-Stoks´edeNavudtiseL.peoropl'steirae´nilruetare´ scalaireh isteed´mesndelbusine'lr´'lsnadenoitauqeiaendumoect-seapcommempsiqu´eind(4.4). Parconse´quent,lafonctionnelleLagrangiennedoiteˆtreminimis´eeparrapportaqetq minimisa-. La tion deL(q q)par rapport aqconduit au systeme direct (voir e´quation(4.7)). An de de´river la fonctionnelle Lagrangienne par rapport aqeeteerroˆdge´rni´titdoleelabd'utto, parparties,cequifaitapparaˆtredestermesdebord.Andesimplierlaformulationduproebmle,ces termesdebordpeuventeˆtreannul´es.Ainsi,lesconditions'terminales'duchampadjointsontq(tf) = 0
A METHODSD JOINT et les perturbations initiales de l' e´coulement sontq(t0) = 0 la minimisation de. Finalement,L(q q) par rapport aqconduit au systeme adjoint(4.14),ouN(q)intdadjoteur´era'lpoetseN(q). Analyse de sensibilit´ e La sensibilite´ est une quantite´ qui permet de quantier les grandeurs de l'e´coulement et de localiser les zones d' e´coulement sensibles ades petites perturbations susceptibles donc, de modier faiblement ouprofond´ementcete´coulement.Ellepermetainsidede´crirecommentlesvariablesd'´etatd'unsysteme sont affecte´es par la variation d'un de ses param etres. Ces variations peuvent provenir de perturbations de l' e´coulement moyen, de rugosite´s aux parois solides, etc. . . Unmaniered'e´tudierlessensibilite´sestl'analysedeperturbation,quipeutˆetreeffectu´eeenutil-isantles´equationslin´eairesdeperturbation.δ pour trouver Ainsi,est une distribution de Dirac. l'emplacementxcouun forc¸agef=δ(xxc)(tt0)de la perturbation d' e´tatqmodiera le plus la perturbation d' e´tat al'emplacementxeet aun temps naltf.ser,pulisuesrisumalitonssontn´ecessai En fait, on doit faire une simulation pour chaque emplacement possiblexcrapercemoand¸ageforcdu leur effet al'emplacementxeet au tempstf(voir gure4.2). L'utilisationdem´ethodesadjointesconstitueunemanierealternativeder´ealiserunee´tudedesensi-bilite´.Apartirdel'identit´eadjointede´nieal'´equation(4.10), on peut voir queqet'´itnlajtoeatdqv´erientlarelationsuivante:q(xe tf) =q(xc t0). Cette expression signie que l'effet surq(xe tf) cre´eparunfor¸cagef=δ(xxc)(tt0)des e´quations directes est e´quivalent al'effet surq(xc t0) cre´eparunfor¸cageg=δ(xxe)(ttf)des e´quations adjointes, comme illustre´ sur la gure4.3. Ceciconstitueleprincipalavantagedel'utilisationdesm´ethodesadjointes.Danscetexemple,une seule simulation du systeme adjoint detfat0c¸oredagoe,efulsnoiojdae´setauqceseasriets´nsestinte plac´eenxecomme montre´ sur la gure4.4larsnsseilib´eittnatsuonnnodolaechLe.luse´rtniojdapma duchampdirect:pluslavaleurdelavariableadjointeeste´lev´ee,pluslasensibilite´duchampdirectest ´leve´e. Ainsi, l'endroit o ula valeur deqest la plus forte nous indique l'emplacementxcega¸crofleuo e dese´quationsdirectesdoitˆetreplace´al'instantt0pour affecter le plusq(xe tf). L'adjoint des e´quations de Navier-Stokes compressibles Nousavonsdoncimple´mente´l'adjointdes´equationsdeNavier-Stokescompressiblesinstationnaires, enutilisantuneapprochecontinuesuivied'unediscr´etisation.Lessimulationsdirectessontrealise´esen ´ utilisantles´equationsdeNavier-Stokes´ecritesenvariablesconservatives[ρ ρu ρv ρe], mais l'adjoint aet´ed´eriv´edes´equationsdeNavier-Stokesline´aris´ees´ecritespourq= [ρ(ρu)(ρv) p](§4.2.1). ´ L'avantage de cette formulation est qu'il est plus facile d' e´tudier et de controˆler la perturbation de pres-sion,cequiestcrucialpourdese´tudesd'a´eroacoustique.Deplus,l'expressiondese´quationsadjointes enestrelativementsimpli´ee. Cependant,deuxsimplicationsont´et´efaitesavantdede´riverles´equationsadjointes:laviscosite´ e,gieren´'lednoitauqe´'lqueusedeationvisedidsspilttereemtanseents´pocoee´te´puseaΦνt´´e,ae ne´glige´.Cessimplicationssontbas´eessurlasuppositionquelesvariationsspatialesettemporellesde la viscosite´ ainsi que la dissipation visqueuse dans l' e´quation de l' e´nergie n'ont pas d'effet signicatif sur lapropagationdubruite´tantdonne´qu'ellesagissentauxpetites´echelles[27]. Les e´quations adjointes du§4.2.2sont donc line´aires, elles se propagent 'inversement' en temps, et le champ adjoint estq= [p(ρu)(ρv) ρ]ot.Nquezpalesseranoiiojdntcodeontiuaeq'´laee´ilertseetnlaqseularo´t,eniiu densit´eadjointeestrelie´eal'´equationdel'e´nergie.
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