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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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  • représentation des lignes de courant

  • point critique

  • cercle

  • plan médian du canal

  • champ de vitesses bidimensionnel

  • classification de la topologie des champs de vitesses moyens

  • plan du cercle

  • classification des régimes de topologie

  • écoulement moyen


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : ethesis.inp-toulouse.fr
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de la thèseCHAPITRE5
Classification de la topologie des champs de vitesses moyens
Sommaire
5.1 Méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Classification des régimes de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Influencedesparamètressurlastructureduchampdevitessesmoyen104
95CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
Introduction
La caractérisation de la structure interne de l’écoulement au voisinage de l’obstacle revêt un
enjeuimportant.Eneffet,d’unepartnousavonssoulignélemanquededonnéesquantitativessur
cette région et d’autre part les informations issues de l’analyse locale doivent pouvoir fournir des
élémentsutilesàladéterminationdesmécanismesphysiquesàl’originedelavariétédessolutions
mises en évidence dans le chapitre 4. Nous avons choisi de caractériser d’abord la topologie du
champ de vitesse moyen (l’étude de l’écoulement instantanné et celle de l’écoulement fluctuant
font partie du chapitre 8). Cette analyse permet, en outre, d’établir une classification en régimes
de topologie du champ de vitesse moyen dans le plan des paramètres{α,F }. Nous aurons ainsi0
l’opportunité de comparer cette classification avec celle réalisée pour les ondes de surface.
5.1 Méthodes d’analyse
La méthode d’analyse de la topologie du champ de vitesse moyen que nous utilisons consiste
en la localisation et la description de points critiques de l’écoulement. Perry et Fairlie [PF 1974]
ont introduit la théorie des points critiques et son application aux écoulements de fluides. Cette
méthode a largement prouvé son efficacité (e.g. Hunt et coll. [HAPW 1978], Perry et Chong
[PC 1987] et [PC 1993]). Les définitions et caractéristiques générales des points critiques, que
l’on peut observer dans un champ de vitesses bidimensionnel, sont présentées dans l’annexe
A. En complément de cette théorie, les théorème de Grobman-Hartman et de Poincaré sont
particulièrement intéressants pour la détermination de la topologie du champ de vitesses moyen.
Notamment, parce que tous les points critiques ne seront pas identifiables expérimentalement
compte tenu de la limitation du champ de mesure ou de celle de la résolution.
D’après Milnor et Weaver [MW 1965], on peut définir pour chaque point critique un indice de
Poincaré,I dont la valeur dépend de la nature du point critique (Glendinning [Gle 1994]) :
I = 1 pour un noeud stable ou instable, un centre et une spirale stable ou instable.
I =−1 pour un point selle.
En présence d’une paroi, il est possible d’observer des demi-selles ou des demi-noeuds. Hunt
1etcoll.[HAPW 1978]montrentquel’indiced’unedemi-selleestI =− etceluid’undemi-noeud
2
1estI = .
2
LethéorèmedePoincaréétablitquelasommedesindicesI despointscritiquesd’undomaine
est égale à la caractéristique d’Euler-Poincaré de ce domaine. Pour un plan, la caractéristique
d’Euler-Poincaré égale à 2.
Hunt et coll. [HAPW 1978], en s’appuyant sur le théorème de Poincaré, montrent que pour
un champ de vitesse moyen, la relation suivante se vérifie :
X
I = 1−n (5.1)i c
i
où 1−n est la caractéristique de Poincaré et n représente le degré de connexité du domainec c
fluide considéré.
Dans notre étude, l’obstacle est posé sur le fond du canal donc celui-ci est lié à la paroi du
fond. D’après Hunt et coll. [HAPW 1978], le degré de connexité de ce type de configuration est
n = 1. Cela signifie donc que, d’après l’équation (5.1), pour que l’équilibre topologique soitc
vérifié dans notre configuration, il faut que la somme des indices des points critiques soit nulle.
Nous utilisons désormais le terme "équilibre topologique" pour désigner un écoulement tel que
le théorème de Poincaré est vérifié.
En pratique, dans le plan (O,x,z), nous avons calculé les lignes de courant à partir des
champs moyens de la vitesse dans chaquerégime observé. De plus, le sens de parcoursde celles-ci
965.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE
Figure5.1–Lignesdecourantpourlepointdefonctionnement (α = 0.1,F = 0.4),appartenant0
1au régime T .vm
indique l’orientation de ces vecteurs vitesse. Et donc finalement, la représentation de l’ensemble
des lignes de courant permet de décrire la topologie du champ de vitesses. A partir des lignes de
courant, nous identifions le type des points critiques.
5.2 Classification des régimes de topologie
Dans ce paragraphe, la classification des régimes de topologie est établie. L’obstacle utilisé
est le demi-cylindre.
Deux régimes de topologie ont été observés et le détail de leurs caractéristiques est présenté
sur la base d’un exemple représentatif dans les deux paragraphes suivants.
15.2.1 Régime Tvm
1PouranalyserlatopologieduchampdevitessemoyendanslerégimeT ,nousnousappuyonsvm
sur la figure (5.1), sur laquelle sont représentées les lignes de courant calculées pour le point de
fonctionnement {α = 0.1,F = 0.4} de ce régime.0
5.2.1.1 Dénombrement des points critiques
Sur la figure (5.1), en amont de l’obstacle, les lignes de courant contournent l’obstacle. On
peut toutefois observer qu’une de celles-ci intercepte la face amont de l’obstacle, il y a donc
1formation d’une demi-selle, d’indice I = − , sur la face amont de l’obstacle. Sur cette figure,
2
on peut également observer qu’une des lignes de courant se développant vers l’aval de l’obstacle
1a pour origine la crête de celui-ci : la crête de l’obstacle est donc une demi-selle (I =− ). De
2
plus, sur la figure (5.1), deux points critiques sont observés au sein de l’écoulement, en aval de
l’obstacle :
x zN , situé en{ = 1.2, = 0.25} et tel que les lignes de courant en son voisinage montrent1 H H
qu’il s’agit d’un centre (I = 1) et donc que l’écoulement moyen est bidimensionnel à cet endroit.
et
x zN , situé en{ = 4.05, = 0.85}. Les lignes de courant montrent qu’il s’agit d’une spirale2 H H
stable(I = 1).LefluideestdoncattiréversN etensuiteévacuésuivantladirectiontransversale.2
Ce résultat signifie donc que l’écoulement moyen est tridimensionnel à cet endroit. Ce résultat
apparaîtendésaccordaveclefaitquelesmesuresdevitessesaientétéfaitesdansleplan (O,x,z).
97CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
z
z
Cercle O
1limite
O
1
y
N
2x
N
2
O
2
O
2
plan (x,0,z)
(a) (b)
Figure5.2–Schématisationd’uncerclelimiteinstable:(a),représentationdeslignesdecourant
() dans le plan du cercle; (b), représentation des lignes de courant ( ) dans un plan normal
au cercle limite (adapté de Perry et Chong [PC 1987])
En effet dans ce plan on s’attend à un écoulement bidimensionnel et le point critique serait alors
un centre. De notre point de vue, deux explications existent pour ce résultat :
le plan de mesure n’est pas rigoureusement vertical et centré sur l’axe de symétrie, auquel
cas il est possible d’oberver des effets tridimensionnels de l’écoulement. En effet, compte tenu
du fort confinement du canal de mesure utilisé, la seule région de l’écoulement où celui-ci est
bidimensionnel est le plan médian du canal à cause des écoulements secondaires (e.g. Tominaga
et coll. [TNEN 1989]). De plus, comme nous l’avons vu dans le paragraphe 3.5, l’épaisseur δ due
plan laser est de quelques millimètres et donc n’est donc pas négligeable, il est donc possible que
l’ajustement du plan laser le long du plan médian ne soit pas parfait.
l’écoulement en aval de l’obstacle n’est pas rigoureusement symétrique auquel cas, dans le
plan (O,x,z),lacomposanteV(x,z) = 0.Lecaséchéant,lefluidepeuttraverserleplan (O,x,z).
xEnoutre,en = 6.2,onpeutobserverunpointderéattachementd’unelignedecourantissue
H
x 1du point critique centré en = 4.05. Ce point de réattachement est une demi-selle (I =− ).
H 2
L’analyse de la figure (5.1) met en évidence un autre résultat : autour du point critique N ,2
il se forme un cercle limite instable, noté C sur la figure. Une représentation schématique d’unc
cercle limite instable et des lignes de courant typiques dans le plan de ce cercle sont présentées
surlafigure(5.2.a).Cettefigurepermetdevoirquelesparticulesfluidesissuesdececerclelimite
soit convergent vers le point critique N , qui est aussi le centre du cercle, soit divergent et sont2
entrainées vers l’aval de l’écoulement. Par ailleurs, à l’aide de la figure (5.2.b), le tracé des lignes
de courant dans un plan normal au plan du cercle limite, déduit à partir des travaux de Perry
et Chong [PC 1987], montre que c’est d’un écoulement normal au plan du cercle limite que sont
issues les particules fluides se concentrant sur ce cercle. Sur la figure (5.2.b), on voit également
quelesfluidesquittentleplan (O,x,z)lelongdeladirectionnormaleauplan,apartir
du point N . La présence de ce cercle confirme donc qu’il existe un écoulement moyen normal2
au plan de mesure.
98
?6˚¸?5.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE
U0
S’
1
S’ N
2 3
Figure 5.3 – Scénario d’une topologie du champ de vitesse moyen possible en amont de l’obs-
tacle : (- - -), points critiques déduits; (-), points critiques mesurés.
Enfin, sur la figure (5.1), on peut observer qu’il existe également une ligne de courant située
entre les deux points critiques N et N , reliant la paroi du fond du canal et la face aval de1 2
l’obstacle. En conséquence, les points d’attachement de cette ligne de courant forment deux
1demi-selles (I =− ).2
On obtient finalement cinq demi-selles, dont une en amont de l’obstacle, une spirale instable
1et un centre, soit un total des indices de Poincaré égal à− .2
Pour que l’équilibre topologique soit assuré, il faut introduire des points critiques tels que la
1somme de leurs indices soit égale à .
2
En amont de l’obstacle, une demi-selle a été observée sur la face amont de l’obstacle. La ligne
de courant interceptant l’obstacle est issue d’un point de l’écoulement situé en amont de celui-ci.
1Si on fait l’hypothèse que ce point est situé à la paroi (demi-selle, I = − ) alors l’équilibre
2
topologique est obtenu. Au vu de la forme de la ligne de courant interceptant l’obstacle (Fig.
(5.1)), il nous apparaît cohérent que le point dont est issu cette ligne de courant appartienne à
la paroi.
Le scénario possible de la topologie du champ de vitesse moyen en amont de l’obstacle est
proposésurlafigure(5.3).Decetracéestdéduitledernierpointcritique,notéN ,d’indiceI = 13
dont le type, soit un centre, soit une spirale ne peut être déterminé qu’avec un raffinement des
mesures à cet endroit. Le système topologique finalement constitué est schématisé sur la figure
(5.4).
5.2.1.2 Topologie du champ
Le centreN défini une zone de recirculation en amont de l’obstacle et l’association du centre3
N et de la spirale instable N définissent chacun une zone de recirculation, dont ils sont le1 2
centre, en aval de l’obstacle. Ainsi, on peut dire que le domaine fluide est composé de deux zones
de recirculation (amont et aval, cette dernière étant l’association des deux recirculations centrées
sur N et N ) et d’une zone extérieure située au dessus des deux recirculations et de l’obstacle.1 2
Sur la figure (5.4), en plus des points critiques et des lignes de courant permettant de les
identifier, nous avons représenté la ligne de courant extérieure aux (notée (AB)).
D’aprèslafigure(5.1)onobservequecettelignedecourant, (AB),estissuedupointdecoordon-
x znées { =−1.5, = 0.5}. En outre, il est mis en évidence sur cette figure (5.1) que (AB) estH H
asymétrique par rapport à l’obstacle et son maximum se situe en aval de l’obstacle. Le système
localisé entre la ligne de courant (AB) et la paroi du fond, composé des recirculations formées
en amont et en aval de l’obstacle (demi-cylindre) et de l’obstacle lui-même est défini comme
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#CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
topo
N
1S’ N2
A B
S’ N S’3 S’
Figure5.4–Lignesdecourantpourlepointdefonctionnement{α = 0.1,F = 0.4},appartenant0
0au régime s : S , demi-selles; N (i = 1...3), points critiques d’indices I = 1; ( ), pointsa i
critiques déduits avec la relation (5.1); ( ), points mesurés.
l’obstacle apparent. Cet obstacle apparent nous servira par la suite dans l’analyse des solutions
ondulatoires.
La figure (5.4), schématise la topologie du champ de vitesses moyen autour de l’obstacle du
1régime T .vm
25.2.2 Régime Tvm
Sur les figures (5.5.a) et (5.5.b) sont représentées les lignes de courant calculées pour le point
2de fonctionnement {α = 0.18,F = 0.62} représentatif du régime T . A l’aide de ces deux0 vm
figures, nous pouvons dénombrer, en amont de l’obstacle une demi-selle sur la face amont de
celui-ci et sur sa crète, une autre demi-selle. En aval de l’obstacle, trois points critiques d’indices
x zde Poincaré I = 1 (un très proche de la crête de l’obstacle { = 1.1, = 0.65}, un au pied
H H
x z x zde l’obstacle {1 < < 2, = 0.15} et un plus en aval { = 3, = 0.2}) sont mis en
H H H H
évidence et l’on peut également distinguer trois demi-selles. Par contre, nos résultats permettent
de déterminer la nature d’un seul point critique d’indice I = 1 : il s’agit de celui localisé en
x z{ = 3, = 0.2} et il s’agit d’une spirale instable. En outre, il existe un point selle (I =−1),
H H
x zsitué en{ = 2.1, = 0.6}.
H H
A l’aide de la relation (5.1), nous pouvons déduire qu’il manque des points critiques dont la
1 1somme est− . En effectuant un raisonnement analogue à celui développé pour le régime T , onvm2
déduit que les points critiques manquants, pour que l’écoulement soit topologiquement équilibré,
1sont une demi-selle (I = − ) et un point critique d’indice de Poincaré I = 1 en amont de2
l’obstacle (lignes de courant déformées à cet endroit de l’écoulement). Ainsi, le champ de vitesse
présente quatre points critiques tels queI = 1.
En outre, sur la figure (5.5.a), on observe que (AB), délimitant l’obstacle apparent est la
x zligne de courant passant par le point{ =−1.4, = 0.8}.
H H
La figure (5.6), schématise la topologie du champ de vitesses moyen autour de l’obstacle du
2régime T .vm
5.2.3 Lien avec les régimes d’ondes de surface
Nousavonsétudiélatopologieduchampdevitessemoyenpourlesécoulementsàétatdebase
souscritique dans les régimes d’ondes de surface s à s . La description des régimes de topologiea d
1 2T (resp. T ) a été effectuée sur la base d’un point de fonctionnement appartenant au régimevm vm
d’ondes de surface s (resp. s ). Dans ce paragraphe, nous souhaitons présenter la topologie dua c
champ de vitesse moyen des régimes d’ondes de surface s et s pour déterminer à quels régimesb d
1 2de topologie, T ou T , appartiennent-ils.vm vm
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65.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE
(a)
(b)
Figure 5.5 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement{α = 0.18,F = 0.62}, appar-0
tenant au régime s : (a), vue globale; (b) recirculation en aval de l’obstacle.c
topo
NS NN 214S’
A B
S’ N S’ S’3
Figure 5.6 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement (α = 0.18,F = 0.62), apparte-0
2 0nant au régimeT :S , demi-selles;N, noeuds; ( ), points critiques déduitsavec la relationvm
(5.1); ( ), points critiques mesurés.
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8CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
Figure 5.7 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement{α = 0.11,F = 0.59}, appar-0
tenant au régime s .b
Sur la figure, (5.7), sont représentées les lignes de courant pour le point de fonctionnement
{α = 0.11,F = 0.59} appartenant au régime d’ondes de surfaces s . Cette figure montre que la0 b
topologie du champ de vitesse moyen de s est la même que celle du point detb
{α = 0.10,F = 0.40},appartenantaurégimed’ondesdesurfaces .Lespointsdefonctionnement0 a
1appartenant au régime s appartiennent donc au régime de topologie T . Nous en déduisonsb vm
que le changement de dynamique de la surface libre entre les deux régimes s et s (formationa b
d’ondes dans le régimes s , voir figure (4.5.a)) n’est pas associé à un changement de topologie deb
l’écoulement moyen.
Sur les figures (5.8.a) et (5.8.b), sont représentées les lignes de courant calculées pour le point
de fonctionnement (α = 0.26,F = 0.66) représentatif du régime d’ondes de surface s . Ces0 d
figures montrent que la topologie du champ de vitesses moyen de s est la même que celle dud
point de fonctionnement {α = 0.18,F = 0.62}, appartenant au régime d’ondes de surface s .0 c
2Les points det du régime s appartiennent donc au de topologie T .d vm
1 2Cette analyse montre que la changement de régime de topologie, entre T et T correspondvm vm
au changement de régimes d’ondes de surface entre les régimes s et s . La modification de lab c
topologie du champ de vitesses moyen entre ces deux d’ondes de surface est donc reliée
à un changement de profil de surface libre : dans le régime s , l’écoulement devient supercritiquec
à l’aval de l’obstacle. Il y a donc un changement brutal de topologie entre ces deux régimes. Ce
changement de topologie est discuté dans le paragraphe 5.3.2.
5.2.4 Diagramme des régimes
Cette étude de la topologie des écoulements à état de base souscritique a mis en évidence
1qu’il existe deux topologies possibles de l’écoulement : la première, T , est représentée sur lavm
2figure (5.4) et la seconde, T , est représentée sur la figure (5.6).vm
Comptetenudecaractéristiquesdelasurfacelibredanslesautresrégimesdelaclassification,
nous pouvons étendre les résultats que nous venons d’obtenir aux autres régimes d’ondes de
surface. En effet, pour les régimes s et S , nous avons vu que, près de l’obstacle, la dynamiquee d
de la surface libre est analogue à celle du régime s , i.e., écoulement souscritique en amont ded
l’obstacle et supercritique en aval. Nous en déduisons que, pour ces trois régimes, une topologie
du champ de vitesse moyen possible est similaire à celle représentée sur la figure (5.6). De
même, pour les régimes S et S , le profil de surface libre est souscritique en amont de l’obstaclec e
1025.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE
(a)
(b)
Figure 5.8 – Lignes de courant pour le point de fonctionnement (α = 0.26,F = 0.66), ap-0
partenant au régime s : (a), vue globale en aval de l’obstacle; (b), recirculation en aval ded
l’obstacle.
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