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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
No d'ordre : 1712 Annee 2000 THESE presentee pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE Ecole Doctorale : Informatique & Telecommunications Specialite : Mathematiques Appliquees par Jean-Baptiste Caillau CONTRIBUTION A L'ETUDE DU CONTROLE EN TEMPS MINIMAL DES TRANSFERTS ORBITAUX Soutenue publiquement le 3 Novembre 2000 devant le jury compose de : MM. J. F. Bonnans Rapporteurs J.–M. Coron H. Maurer MM. R. Epenoy Examinateurs J. Gergaud P. Legendre J.–P. Raymond M. J. Noailles Directeur de these

  • discretisation adaptative par ondelettes

  • transfert orbital

  • probleme de transfert

  • discretisation par polynomes de tchebycheff

  • approche spectrale

  • structure du controle

  • modelisation controle optimal


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 50
Source : ethesis.inp-toulouse.fr
Nombre de pages : 154
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o N d’ordre : 1712
THÈSE
présentée pour obtenir le titre de
Année 2000
DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUS É Ecole Doctorale : Informatique & Télécommunications Spécialité : Mathématiques Appliquées
par
JeanBaptiste Caillau
CONTRIBUTIONÀLÉTUDEDU CONTRÔLEENTEMPSMINIMAL DES TRANSFERTS ORBITAUX
Soutenue publiquement le 3 Novembre 2000 devant le jury composé de :
MM.
MM.
M.
J. F. Bonnans J.–M. Coron H. Maurer
R. Epenoy J. Gergaud P. Legendre J.–P. Raymond
J. Noailles
Rapporteurs
Examinateurs
Directeur de thèse
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Àmesparents ÀAlexa
Toute leur vie estoit employée non par loix, statuz ou reigles, mais selon leur vouloir et franc arbitre. Se levoient du lict quand bon leur sembloit : beuvoient, mangeoient, travailloient, dor moient quand le désir leur venoit. Nul ne les esveilloit, nul ne les parforceoit ny à boire, ny à manger, ny à faire chose aultre quel conques. Ainsi l’avoit estably Gargantua. En leur reigle n’estoit que ceste clause.Fay ce que vouldras.
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GargantuabeRaislan¸raiscoF,
iv
Table
Introduction
des
Remerciements
I
matières
Étudegéométrique
1 Problème de transfert 1.1 Problème physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modélisation contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Lien entre les modèles 2D et 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Contrôlabilité et structure du contrôle 2.1 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Structure du contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Méthodes discrètes
3 Discrétisation par polynômes de Tchebycheff 3.1 Approche spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Approche pseudo–spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Discrétisation adaptative par ondelettes 4.1 Discrétisation adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Application aux problèmes linéaires aux deux bouts . . . . . 4.3 Application au transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
xi
1
3 3 4 12 14 14
15 15 21 32 33
35
37 37 46 53 54
55 55 67 73 79
III
5
6
Notes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Techniquesparamétriques
80
83
Continuation et tir simple 85 5.1 Continuation sur la borne essentielle du contrôle . . . . . . . 85 5.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Approche contrôlabilité 103 6.1 Paramétrisation par le critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Conclusion
Bibliographie
Index
vi
125
128
135
Introduction
Contexte de l’étudeLa matière de ce travail est l’utilisation du contrôle optimal dans le cadre de la mécanique céleste. Plus précisément, on s’intéres se au transfert d’un engin spatial, un satellite, d’une orbite initiale vers une orbite terminale, les deux coniques ayant pour foyer la Terre. Parmi tous les contrôles,i.e.les lois de commande du moteur de l’engin, permettant d’atteindre la cible, on souhaite de plus déterminer celui qui correspond autempsdetransfertlepluscourt.Àelleseule,laformulationqualitative du problème, outre le fait qu’elle met en évidence combien il s’agit intrinsèquement d’un problème decontrôle optimal—domaine des mathé matiques appliquées dont l’histoire est, pour cette raison, indissociablement liée à l’histoire de la conquête spatiale—soulève d’emblée les questions qui ont motivé de nombreuses études, dont celle–ci : y a–t–il des contrôles per mettant de réaliser effectivement le transfert ? Parmi ceux–ci, en est–il qui minimisentladuréedutransfert?Sicestlecas,commentlescalculer?Étant donnés les modèles physiques puis mathématiques retenus par le Centre Na tionaldÉtudesSpatiales,àloriginedeceproblème,lecontrôleoptimaldans les équations différentielles ordinaires s’avère être un outil précieux, comme l’ont par exemple démontré récemment les travaux de [38] et [49], d’au tant plus pertinent que les nouvelles contraintes technologiques conduisent à considérer des engins de puissance de plus en plus faible. Des réponses peuvent ainsi être apportées, non seulement sur le plan du calcul numérique et des méthodes afferantes, mais aussi d’un point de vue qualitatif, concer nant les propriétés caractéristiques des trajectoires optimales pour le modèle considéré.
Organisation du documentCe manuscrit est divisé en trois parties de deux chapitres chacune, les six chapitres formant l’ensemble pouvant être lusdefac¸onrelativementindépendante.LapremièreestconsacréeàldeÉtu géométriquedu problème ; par géométrique on entend qualitative au sens évoqué précédemment : quelle forme ont nécessairement les trajectoires op timales ? Après avoir présenté le problème au chapitre 1, on discute donc la contrôlabilité (à l’aide d’outils eux–mêmes de nature géométrique, c’est l’autre raison du choix du qualificatif) et la structure du contrôle optimal au chapitre 2. Les deux parties suivantes sont elles centrées sur l’aspect
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viii
numérique. Dans la deuxième,Méthodes discrètes, l’accent est mis sur les choix effectués lors de la discrétisation du problème de contrôle. Dans cette optique, on confronte plusieurs approches : polynômiale (polynômes de Tche bycheff) au chapitre 3, puis adaptative par ondelettes au chapitre 4. Les méthodes et les codes de calcul développés, qui présentent un intérêt général pour le contrôle optimal, sont appliqués avec succès au problème de trans fert pour des poussées fortes. L’accès numérique à des poussées plus faibles, voire très faibles (quantitativement de l’ordre de 0.3 Newton pour un satel lite de masse 1500 Kilogrammes) nécessite l’introduction dans la troisième et dernière partie d’approches encore différentes, enrichies par rapport aux démarches algorithmiques classiques en contrôle—auxquelles pour ces ordres de poussée le problème résiste—et qui ont en commun d’être desTechniques paramétriques. Ainsi au chapitre 5, la méthode du tir simple est–elle associé aunprocédédecontinuationsurlemèoduledelapoussée,prolongeantun etudeamorcéedans[57],lechapitre6éétantnalementconsacréàunenouvelle approche basée sur une mesure de la contrôlabilité, généralisant et étendant la démarche proposée dans [49]. Ces techniques ont démontré une grande efficacité pour les transferts à très faible poussée.
Idées directricesParmi les motivations qui ont présidé à la réalisation de ce travail, on peut tout d’abord mentionner la volonté d’étudier plus fine ment la structure du problème ; en particulier, se posait depuis le départ le problème descommutations, c’est–à–dire de la présence possible de disconti nuités sur le contrôle. Sans apporter de réponse définitive à ce problème, on caractérisedefa¸conpréciselagéométriedecescommutationsauchapitre 2, sous des hypothèses qui s’avèrent en accord complet avec les résultats numériques. De même, concernant la contrôlabilité qui était jusqu’alors ad mise, une justification rigoureuse est donnée, illustrant par ailleurs une par ticularité du modèle où il est tenu compte de la variation de la masse de l’engin due à la consommation de carburant. Du point de vue numérique, le problème est effectivement résolu, à l’aide de méthodes variées, permettant de calibrer l’intérêt relatif de chacune dans le cadre étudié, et de compléter les études précédentes [38, 49]. Au delà de la mécanique spatiale, l’utilisa tion originale au chapitre 4 des ondelettes pour la résolution adaptative de problèmes aux deux bouts semble prometteuse. Enfin, l’analyse numérique du chapitre 5 permet de légitimer la démarche de continuation sur le mo dule de la poussée, utilisée avec d’autres méthodes depuis plusieurs années. Mais le sentiment dominant, qui s’est construit progressivement au cours de l’activité de recherche, est l’importance et l’intérêt departir du problème. La richesse de cette approche, qui n’allait pas de soi pour un jeune doctorant découvrant le domaine, s’est révélée toujours plus grande, comme se révélait la richesse du problème lui–même. Il faut qu’il y ait quelque harmonie dans ces trajectoires célestes.
Introduction
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CollaborationsCette étude s’inscrit dans le cadre d’une collaboration de 1 longue date entre la Division Mathématiques Spatiales du CNES de Tou louse (Département Mathématiques Appliquées et Analyse Numérique) et 2 3 4 le LIMA , composante ENSEEIHT de l’IRIT , Unité Mixte de Recherche CNRS 5505. Les rapports listés dans les références témoignent de cette rela tion contractuelle (contrats 871/94/CNES/1454 et 86/776/98/CNES/7462). LeMinistèredelÉducation,delEnseignementSupérieuretdelaRecherche est à l’origine du financement de ce travail (bourse 20INP96), qui s’est ef fectué au sein de l’équipe Algorithmes Parallèles et Optimisation du LIMA, rattachée à l’activité Informatique Numérique de l’IRIT.
1.CentreNationaldÉtudesSpatiales 2. Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques Appliquées 3.ÉcoleNationaleSupérieuredÉlectronique,dÉlectrotechnique, d’Hydraulique et de Télécommunications 4. Institut de Recherche en Informatique de Toulouse
d’Informatique,
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Remerciements
La première personne que je souhaite remercier est mon directeur de thèse, Joseph Noailles, Professeur à l’Institut National Polytechnique de Toulouse. C’est lui qui m’a fait découvrir ce domaine si riche des Ma thématiques Appliquées qu’est le contrôle optimal, à la frontière de l’op timisation, du calcul différentiel, de la géométrie et des applications. Pour avoir été ce guide enthousiasmant et pour m’avoir accordé sa confiance, qu’il rec¸oivelexpressiondetoutemagratitude.Jetienségalementàremercier Joseph Gergaud, Mâıtre de Conférences à l’Institut National Polytechnique de Toulouse, qui m’a accompagné depuis le début avec la compétence et la générosité que nous lui connaissons tous. Mes remerciements vont aussi à mes camarades de promotion et amis, avec qui j’ai découvert la recherche depuis la salle B16 de l’ENSEEIHT : Mohsen, Denis, Laurent et Houssam. Ils ont largement contribué, par leurs goûts qu’ils ont su me transmettre, à donner à ce travail un tour plus mathématique. J’ai bien sûr une pensée af fectueuse pour notre âıné, Thanh, dont les résultats ont servi de fondement à cette étude. Enfin, je mesure combien il a été important, humainement et scientifiquement, d’être intégré à l’équipe Algorithmes Parallèles et Optimi sation du LIMA : pour votre gentillesse et votre bonne humeur constante, merci Michel, Daniel, Philippe et Patrick. Je suis très reconnaissant à J. Frédéric Bonnans, Directeur de Recherch alINRIAetàJeanMichelCoron,PèrofesseuràlUniversitédeParisSud, d’avoir accepté d’être rapporteurs de ce travail en tant que spécialistes en optimisation et en contrôle. Je souhaite exprimer ma gratitude à Helmut Maurer, Professeur à l’Université de Münster, également rapporteur de cette thèse, pour m’avoir fait partager sa grande connaissance du contrôle pa ramétrique et plus généralement du contrôle optimal en diverses occasions, des demeures de pierre de Dubrovnik jusqu’à celles de Cordes sur Ciel. Je suis aussi redevable à JeanPierre Raymond, Professeur à l’Université Paul Sabatier et spécialiste du contrôle des équations aux dérivées partielles, de l’intérêt qu’il a accordé à ce travail. Souhaitons que ce soit l’occasion d’échan ges renouvelés avec nos collègues de l’UPS. Je remercie enfin Paul Legendre, Chef du Département Mathématiques Appliquées et Analyse Numérique du CNES, et Richard Epenoy, Ingénieur au même Département, pour nous avoir soumis ce problème de transfert d’orbite et nous avoir communiqué
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