Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Notions de positivite et d'amplitude des fibres vectoriels Theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes Christophe Mourougane These de Doctorat de Mathematiques Universite Joseph Fourier (Grenoble I) soutenue a Grenoble le 10 janvier 1997 devant le jury : Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) au vu des rapports de : Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne) 1

  • proprietes de positivite algebriques

  • fibres vectoriels

  • theoremes d'annulation sur les varietes kahleriennes

  • analytiques des fibres vectoriels

  • structure des lieux exceptionnels de cohomologie

  • morphismes lisses de fibres en droites numeriquement

  • positivite

  • annulation des espaces de pformes holo- morphes


Publié le : mercredi 1 janvier 1997
Lecture(s) : 36
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 92
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Notionsdepositivit´eetdamplitudedesbr´esvectoriels Th´eor`emesdannulationsurlesvarie´t´esk¨ahle´riennes
Christophe Mourougane
The`sedeDoctoratdeMath´ematiques
Universite´JosephFourier(GrenobleI)
soutenu`aGblele10janvier1997devantlejury: e reno
Arnaud Beauville (ENS Paris) Jean-Pierre Demailly (UJF), Directeur Joseph Le Potier (Paris VII) Chris Peters (UJF) Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)
au vu des rapports de :
Arnaud Beauville (ENS Paris) et Eckart Viehweg (Essen, Allemagne)
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´ ´ RESUME
Lobjetdecettethe`seestl´etudedesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques, analytiquesetcohomologiquesdesbr´esvectorielsholomorphessurlesvari´et´es ka¨hle´riennescompacteslisses.
Danslapremie`repartie,nousd´ecrivonslesproprie´te´sdepositivit´ealg´ebriques etanalytiquesdesbre´svectorielsobtenuscommeimagesdirectespardes morphismeslissesdebre´sendroitesnum´eriquementeectifsadjointspar lebr´ecanoniquerelatif.
Dansladeuxie`mepartie,nousetendonsauxvarie´t´esk¨ahl´eriennescompactes ´ lethe´or`eme,dˆu`aF.Bogomolov,dannulationdesespacesdepformes holo-morphes`avaleursdansunbr´eendroitesdedualnum´eriquementeectif. Latroisie`mepartie,motive´eparlestravauxdeM.GreenetR.Lazarsfeld,est consacr´eeauxth´eore`mesdannulationg´en´eriquedesgroupesdecohomologie debr´esvectorielssemi-ne´gatifs.Nousd´ecrivonsaussilastructuredeslieux exceptionnels de cohomologie. ´ MOTS-CLES
Vari´et´esk¨ahle´riennescompacteslisses,bre´svectorielsholomorphes,notions depositivit´e,th´eore`mesdannulation,lieuxexceptionnelsdecohomologie, me´thodestranscendantes. ´ CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32C35, 32J25, 32L20, 14C22, 14C30, 53C55.
2
Ilmafalluplusieurspagescopieusementratur´eespourmapercevoirquil estvaindespe´rerremercierenquelquesmotsunepersonnequipendant plusieursanne´esmafaitpartdesesconnaissancesetdesesintuitions,une personnequiae´coute´meside´esavecattentionetsanscomplaisance,une personnequiaentretenuetan´emongouˆtpourlesmath´ematiques,une personne si sympathique. Je remercie Jean-Pierre Demailly.
Letextequevousallezlireetmesconnaissancesmathe´matiquescon-tiennentdestouchesdecouleursquimonte´t´einspire´espardenombreux mathe´maticiens,desamis,desenseignants,desrencontresdunjour,des r´efe´r´ees.Jetiens`alesremercier.
Jetiensa`remercierArnaudBeauvilleetEckartViehweg minutieusement lu ce texte et pour avoir fait des remarques.
pour
avoir
Jetiens`ierlesmembresdujurypourlinte´rˆetquilst´emoignent a remerc pour mon travail.
Ilya`alInstitutFourierdespersonnesdontlaidequilsapportent, dontlessouriresetlesmotsdhumeurcolorentlequotidien.Jetiens`ales remercier.
3
4
23
Etude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De´nitions....
3.1
Enonc´edesr´esultats.......................
3.3
3.2
23
Comple´mentssurlhypothe`se(H)................
25
3
Introduction
4
D´emonstrationduthe´ore`mealge´brique
3.4
Pr´eliminaires
19
18
De´nitionsanalytiques..................
2.2.3
15
19
2.2.5Despropri´et´esanalytiquesauxproprie´te´salge´briques.
2.2.4Despropri´et´esalg´ebriquesauxpropri´et´esanalytiques.
22
21
Introductio ´ ´ l n genera e
P´eliminaires r
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
22
2.1.1
16
2.1.2ConnexiondeCherndunbr´evectorielholomorphe hermitien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Notionsdepositivit´e....
2.2
17
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Conventions. . . . .
2.2.1
17
D´enitionsalgebriques.................. ´
2.2.2
15
9
2.1
Ge´ome´triedi´erentiellecomplexe................
ConditiondeKa¨hler....................
15
27
Imagesdirectesdebre´sendroitesadjoints
28
25
28
. . . . .
5.3
5.2
Premie`re´etape:ϕ(KXYL) est localement libre Deuxi`emee´tape:lemmedeCastelnuovo-Mumford.
. . . . .
5.1
27
.
. . . . . . . . . .
5
Re´ductionducasampleaucasnef....
9
2
1
Introduction
Tabledesmati`eres
I
.
Troisi`eme´etape:produitsbr´es
5.4
.
.
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.
6
29
.
29
6
. .
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.1
6.2
30
30
M´etriquessurlesbr´esendroitesnefetrelativementamples
31
D´emonstrationduth´eo`lyti........... reme ana que .
31
.
.
.
.
.
Quatri`eme´etape:ϕ(KXYL) est nef .
5.5
De´monstrationduthe´ore`meanalytique
De´monstrationduth´eore`medepositivit´eausensdeGrif-fiths 34
Troisie`mee´tape:ϕ(KXYL . . . . . . .) est nef. .
7.1Transportdelapositivite´parmorphismeni.........
34
7.2D´monstrationduth´eor`emedepositivit´eausensdeGriths e
42
42
43
6.2.1
Premie`re´etape:constructiondem´etriquessurles images directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
7
6.2.2
34
6.2.3
Deuxi`eme´etape:produitsbr´es.............
9.3
9.2
IIVersionsk¨ahl´eriennesduthe´ore`medannulationdeBo-gomolov 47
9.4
8.3
Remarque:m´ethodealge´brique.................
Vari´ete´sk¨hl´eriennescompactesdontlebr´etangentestnu-a m´eriquementeectif....................... Positivite´deSkEdetE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
8.1
8.2
45
44
8
44
7.2.1Premie`ree´tape:constructiondeme´triquessur ϕ(KXYL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .). . 7.2.2Seconde´etape:ϕ(KXYL) est strictement positif au sens de Griffiths. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications
. . . . . . . . . . . . . .
48
Dimensiondeectivit´e.....
. . .
. . . . . . . . . . . . . .
48
Dimension de Kodaira-Iitaka .
. . .
. . . . . . . . . .
. .
.
. 47
47
Introductionete´nonc´edesr´esultats
9
9.1
. . . . . . . . . . . . . .
49
. . .
Dimensionnume´rique.....
Comparaison de ces dimensions
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