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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Numero d'ordre : 2462 THESE presentee pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE Ecole doctorale : TYFEP Specialite : Dynamique des Fluides Directeur de these : Thierry POINSOT Par Melle Valerie AUFFRAY Etude comparative de schemas numeriques pour la modelisation de phenomenes diffusifs sur maillages multielements. Soutenue le 23 Mars 2007 devant le jury compose de : R. ABGRALL Professeur a l'universite Bordeaux I Rapporteur A. DERVIEUX Chercheur a l'INRIA Rapporteur R. HERBIN Professeur a l'universite de Provence Examinatrice J-D MULLER Professeur a la Queen Mary University of London Examinateur J-C LARROYA-HUGUET Ingenieur SNECMA Moteurs Examinateur N. SAVARY Ingenieur TURBOMECA Examinateur T. POINSOT Directeur de Recherche a l'IMF de Toulouse Directeur de these Ref. CERFACS : TH/CFD/07/14

  • approche vf-ef pour le systeme des lois de conservation

  • reconstruction de gradients

  • approche volumes

  • discretisation de l'operateur diffusif

  • histoire de la dynamique des fluides numeriques

  • operateur convectif

  • fluides

  • code de dynamique des fluides n3s-natur


Publié le : jeudi 1 mars 2007
Lecture(s) : 29
Source : ethesis.inp-toulouse.fr
Nombre de pages : 240
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Numero d’ordre : 2462
THESE
presentee pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE
L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE
DE TOULOUSE
Ecole doctorale : TYFEP
Specialite : Dynamique des Fluides
Directeur de these : Thierry POINSOT
Par MelleValerie AUFFRAY
Etude comparative de schemas numeriques
pour la modelisation de phenomenes di usifs
sur maillages multielements.
Soutenue le 23 Mars 2007 devant le jury compose de :
R. ABGRALL Professeur a l’universite Bordeaux I Rapporteur
A. DERVIEUX Chercheur a l’INRIA Rapp
R. HERBIN Professeur a l’universite de Provence Examinatrice
J-D MULLER Professeur a la Queen Mary University of London Examinateur
J-C LARROYA-HUGUET Ingenieur SNECMA Moteurs Exami
N. SAVARY Ingenieur TURBOMECA Examinateur
T. POINSOT Directeur de Recherche a l’IMF de Toulouse Directeur de these
Ref. CERFACS : TH/CFD/07/14Etude comparative de schemas numeriques pour la modelisation
de phenomenes di usifs sur maillages multielements.
Resume
Initialement, le code de Dynamique des Fluides N3S-Natur utilisait une approche Volumes
Finis/Elements Finis, denie uniquement pour les maillages de triangles et tetraedres. L’objectif
de cette these est la mise au point d’une nouvelle methode numerique qui puisse manipuler
les maillages multielements. On a de ni pour cela une metrique adequate et etudie di erentes
methodes de discretisation de l’operateur diusif, le principal point delicat. Six methodes sont
analysees en consistance, precision et stabilite, theoriquement et experimentalement par une
convergence en maillage et une analyse de Fourier. Les schemas d’ordre eleve en convectif sont
modies en consequence et la linearisation du ux pour l’implicite est traitee. La validation de
la nouvelle version du code est menee avec succes sur un cas de plaque plane.
Mots cles : Maillages multielements, Volumes Finis, reconstruction de gradients, consistance,
precision, stabilite.
Comparison of numerical schemes for the modelling of diusive
phenomena on hybrid grids
Abstract
Initially, the CFD code N3S-Natur used a Finite Volume/Finite Element approach that is only
de nedontriangularandtetrahedralcells.Theobjectiveofthisworkistode neanewnumerical
method that can handle hybrid meshes. First, we extend the metric to all kinds of elements.
Then, six di erent modellings for the di usive operator, that constitute the main issue, are
proposed and tested. These methods are studied in terms of consistency, accuracy and stability.
The comparison is carried out both theoretically and numerically using grid convergence and
Fourieranalysis.Onlyonemethodsatisesalltheindustrialcriteriaandisthereforeimplemented
inthecode.Thehigherorderschemesfortheconvectiveoperatoraremodi edconsequentlyand
the linearisation of the new di usive ux, that is required for the implicitation, is treated. The
code is successfully validated on a at plate test case.
Key words : Hybrid meshes, Finite Volumes, Gradient reconstruction, Consistency, Accuracy,
Stability.Table des matieres
1 Introduction 11
1.1 Les scienti ques qui ont fait l’histoire de la dynamique des uides numeriques . . 11
1.2 Motivation industrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Etude bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Plan du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Valorisation des travaux de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 La problematique liee au multielement 27
2.1 Approche VF-EF pour le systeme des lois de conservation . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Les operateurs dans les equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Discretisation du probleme continu par une approche Volumes Finis . . . 29
2.1.3 L’operateur convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 L’operateur di usif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Extension de la metrique au multielement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 De nition des cellules duales 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 De nition des cellules duales 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Quelques concepts d’analyse numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 L’equation d’advection di usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 La consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3 La stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5TABLE DES MATIERES
3 Methode ”Volumes Finis” 61
3.1 Calcul du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Calcul du ux numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Analyse de consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Analyse de stabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Stabilisation de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Methodes basees sur les Elements Finis 77
4.1 Methode ”EF ex” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.1 Calcul du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.2 Calcul du ux numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.3 De nition de la methode ”EF ex ap” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.4 Consistance et ordre de precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.5 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Methode ”EF cg” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1 Choix du point d’evaluation du gradient et calcul du ux numerique . . . 91
4.2.2 Etude de consistance et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Methode ”EF nod” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Calcul du ux numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.2 Etude de consistance et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Methodes ”duales” 101
5.1 Methode selon les arˆetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.1 Approche initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.2 Approche modi ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Methode par triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1 Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.2 Equivalence avec la methode ”EF-VF” anterieure . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.3 Analyses de consistance et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6TABLE DES MATIERES
5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Experimentation numerique 113
6.1 Convergence en maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.2 Etude de l’allongement des elements du maillage . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.3 Etude de la robustesse et de la precision en cas de non-consistance . . . . 119
6.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2.2 Etude sur maillages reguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2.3 Etude sur maillages irreguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7 Le code N3S-Natur 147
7.1 Les equations de Navier-Stokes moyennees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.1 Les lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1.2 Les equations moyennees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.1.3 Les modeles de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Flux approches d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.1 Flux decentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.2.2 Resolution par decomposition de ux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.2.3 Solveur approche de Roe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.2.4 L’approche MUSCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2.5 Contrˆole du decentrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3 Les ux numeriques visqueux et termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3.1 Calcul des ux visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3.2 Validation preliminaire de la methode sur l’equation d’advection di usion 166
7.3.3 Les termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4 Discretisation temporelle explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7

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