Numero d'ordre Universite de Limoges

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Numero d'ordre : 17-1998 Universite de Limoges THESE de Doctorat de l'Universite de Limoges Specialite Mathematiques Appliquees Theorie des Nombres presentee par Pierre DUSART Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers Directeur de these : Guy Robin Soutenue le 26 mai 1998 devant le jury compose de : President D. Duval Universite de Limoges Rapporteur F. Dress Universite de Bordeaux-I Rapporteur J.-L. Nicolas Universite de Lyon-I Examinateur O. Ramare Universite de Lille-I Examinateur G. Robin Universite de Limoges Examinateur H. Smati Universite de Limoges

  • formule de lehmer

  • application directe des formules d'encadrement relatives

  • conjecture

  • temps de calcul theorique pour pi

  • autour de la conjecture d'hardy-littlewood

  • duval universite de limoges rapporteur

  • disponibilite de franc¸ois arnault


Publié le : vendredi 1 mai 1998
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Source : unilim.fr
Nombre de pages : 173
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Num¶ero d’ordre : 17-1998 Universit¶e de Limoges
?THESE
de Doctorat de l’Universit¶e de Limoges
Sp¶ecialit¶e Math¶ematiques Appliqu¶ees
Th¶eorie des Nombres
pr¶esent¶ee par
Pierre DUSART
Autour de la fonction qui compte
le nombre de nombres premiers
Directeur de th?ese :
Guy Robin
Soutenue le 26 mai 1998 devant le jury compos¶ede:
Pr¶esident D. Duval Universit¶e de Limoges
Rapporteur F. Dress Universit¶e de Bordeaux-I J.-L. Nicolas Universit¶e de Lyon-I
¶Examinateur O. Ramare Universit¶e de Lille-I G. Robin Universit¶e de Limoges H. Smati Universit¶e deJe d¶edie cette th?ese ?a mes parents, am? a
soeur et a? tous ceux qui auront le courage
de lire ce document.Remerciements
Une th?ese est l’ach?evement de plusieurs ann¶ees de travaux. Je tiens a? remercier les
membres du jury, D. Duval, F. Dress, J-L. Nicolas, O. Ramar¶e, H. Smati, d’avoir m¶edit¶e
sur mon ouvrage et d’avoir honor¶e la soutenance de leur pr¶esence.
Pendant toutes ces ann¶ees, Guy Robin m’a guid¶e dans mes recherches en me signalant
les points int¶eressants et les voies di–ciles si d’aventure je m’y engageais. Son coll?egue
et comp?ere, Jean-Pierre Massias m’a fait b¶en¶eflcier de son exp¶erience informatique. Pour
les questions concernant Maple, Marc Rybowicz est imbattable. Il m’a permis d’¶ecrire
mes programmes avec la rigueur que je voulais. Un grand merci aJ? o˜el Marchand qui
a accompagn¶e mes premiers pas sous Unix. N’oublions pas la disponibilit¶e de Fran» cois
Arnault pour toutes les questions d’ordre math¶ematique ou informatique.
Je garde en excellent souvenir le contact des autres membres du d¶epartement de Ma-
th¶ematiques au travers des enseignements dispens¶es.
Tout cela n’aurait pu ^etre rendu possible sans le support logistique des secr¶etaires et
biblioth¶ecaires du d¶epartement : Dani?ele, Martine, Nadine, V¶eronique et Yolande.
Je souhaite bon courage ou bonne chance aux th¶esards qui ont partag¶e mon quotidien :
Aude, Bruno, Cathy, Christophe, Delphine, G¶erard, Jean-Fran» cois, Maria, Nathalie, Nico-
las, St¶ephane.Sommaire
Introduction 7
1 Estimations de ˆ(x); (x);… (x);p 11k
1.1 Introduction . . . ................................ 12
1.2 M¶ethode de Rosser & Schoenfeld ..................... 15
1.3 R¶esultats sur ˆ(x)et?(x)........................... 21
1.4 R¶esultats sur p et ?(p )............................ 26k k
1.5 Intervalle contenant au moins un nombre premier . . . ........... 33
1.6 R¶esultats sur …(x) ............................... 36
1.7 Sur la difi¶erence de …(x)¡ Li(x)........................ 41
1.8 Autour de l’in¶egalit¶e p <ap +bp ...................... 43ab b a
1.9 Conjecture de Mandl ............................. 49
2 Autour de la conjecture d’Hardy-Littlewood 57
2.1 Conjecture d’Hardy-Littlewood ...................... 58
2.1.1 Introduction . . . ............................ 58
2.1.2 Nouvelle forme de la conjecture . ................... 59
2.1.3 Th¶eor?emes................................ 62
2.1.4 Applications . . . 67
2.1.5 Application directe des formules d’encadrement relatives a? …(x)..69
2.2 Conjecture des k-uples . ............................ 73
2.2.1 D¶eflnitions 73
2.2.2 Existence de k-uples admissibles super-denses . ........... 74
34 P. Dusart
2.2.3 Construction de k-uples admissibles super-denses .......... 79
2.2.4 Trouver p premier v¶eriflant un k-uple . . ............... 80
2.2.5 Quelques rassemblements denses de nombres premiers . . ...... 83
3 Estimation de ˆ(x;k;l) 87
3.1 Lemmes introductifs . . . ........................... 8
3.1.1 R¶egion sans z¶ero ............................ 89
3.1.2 GRH(k,H)etN(T;´)......................... 89
3.1.3 Encadrement dejˆ(x;k;l)¡x=’(k)j a? l’aide des z¶eros de L(s;´).90
3.1.4 Forme plus explicite de l’encadrement. . ............... 90
~3.1.5 Terme pr¶epond¶erant : A 94
~3.1.6 Etude de f(k) intervenant dans l’expression R. ........... 96
3.2 M¶ethode avec m=1............................... 98
3.3 M¶ethode avec m=2.101
3.4 Application pour k=3.............................12
3.5 R¶esultats en utilisant GRH(k,1)........................114
4 …(x) dans les progressions arithm¶etiques 119
4.1 Encadrement de …(x;3;l)............................120
4.1.1 Majoration ...............................120
4.1.2 Minoration122
4.1.3 Petites valeurs . . .123
4.1.4 Minoration plus pr¶ecise de …(x;3;l). .................124
4.2 Formule de calcul exact pour …(x;4;l)etsag¶en¶eralisation . . . ......125
4.2.1 Formule de Legendre . . . .......................125
4.2.2 Formule g¶en¶erale de Meissel-Lehmer . . ...............127
4.2.3 Formule de Meissel ...........................129
4.2.4 Formule de Lehmer131
4.2.5 Etude de ` ...............................133
4.2.6 Applications138
4.2.7 Temps de calcul th¶eorique pour …(x).................145Sommaire 5
Conclusion 147
A Calcul des " de la Table 1 149
B Chercher un k-uple super-dense 152
C Trouver un p v¶ eriflant un k-uple 154
D Calcul des C (´) 1581
E Calcul de `(x;a;k;l) 164Introduction
\The elementary theory of numbers should be one of the
very best subjects for early mathematical instruction. It
demands very little previous knowledge, its subject mat-
ter is tangible and familiar; the processes of reasoning
which it employs are simple, general and few; and it is
unique among the mathematical sciences in its appeal to
anatural human curiosity." G. H. Hardy
aBull. Amer. Math. Soc. 35 (1929), p. 818
La th¶eorie des nombres est un domaine des math¶ematiques ¶etudi¶e depuis longtemps,
en fait depuis que les nombres eux-m^emes \existent". Lorsque l’Homme a commenc¶e a
utiliser les nombres, il a cr¶e¶elath¶eorie des nombres. Cette branche des math¶ematiques
qui ¶etudiait les propri¶et¶es des nombres entiers s’est beaucoup d¶evelopp¶ee. Il est parfois
n¶ ecessaire de faire appel a? des notions plus compliqu¶ees pour d¶emontrer des r¶esultats
d’¶enonc¶es simples. L’une des notions les plus connues dans l’ensemble des nombres entiers
est la propri¶et¶e de primalit¶e. Cette propri¶et¶e peut s’¶etudier a? partir du moment oul? a
notion de multiple est acquise : un entier est premier s’il n’est multiple que du nombre
1 et de lui-m^eme. Euclide est le premier ?a avoir d¶ emontr¶e qu’il existait une inflnit¶ede
nombres premiers. Sa d¶emonstration reste l’une des plus belles des math¶ematiques. Le
travail efiectu¶e dans cette th?ese a pour base les nombres premiers. Ces nombres premiers
ont ¶et¶e et sont toujours tr?es ¶etudi¶es : savoir si un nombre est premier ou factoriser
en produit de nombres premiers, trouver de tr?es grands nombres premiers, ¶etudier la
r¶epartition des nombres premiers sont toujours des sujets d’actualit¶e.
Nous d¶esignerons par p un nombre premier. Pr¶esentons maintenant les fonctions
arithm¶etiques sur lesquelles nous allons travailler. Ce sont des fonctions classiques en
th¶eorie des nombres. D¶eflnissons d’abord les fonctions de Chebyshev :
X
ˆ(x)= lnp:
p;”
”p 6x
X
?(x)= lnp:
p6x
78 P. Dusart
Des r¶esultats th¶eoriques montrent que
ˆ(x)»?(x)»x;
f(x)la notation f(x)» g(x) signiflant que lim = 1. En reprenant les travaux dex!1 g(x)
Rosser et Schoenfeld, nous donnerons des encadrements de ces fonctions et nous
montrerons principalement que
¡6jˆ(x)¡xj< 10 x pour x> exp(50)
et que
x
j?(x)¡xj6 3; 965 pourx>1:
2ln x
Cette ¶etude de ˆ et ? permet de mieux conna^‡tre la r¶epartition des nombres premiers.
Cela nous conduira a? une minoration de p ,lek-i?eme nombre premierk
p >k(lnk +lnlnk¡ 1) pour k> 2:k
eAlaflnduXVIII si?ecle, une question s’¶etait pos¶ee et se voulait plus pr¶ecise que celle
r¶esolue par Euclide : on sait qu’il existe une inflnit¶e de nombres premiers mais combien
y en a-t-il parmi les premiers entiers ? Introduisons la fonction…(x) qui compte le nombre
de nombres premiers plus petits que x :
X
…(x)= 1:
p6x
En examinant des tables de nombres premiers, Legendre et Gauss conjecturent qu’ils
yena a peu pr?es x= lnx.L’¶etude a ¶et¶e reprise par Chebyshev qui montre en 1852 que
x x
0; 92 <…(x)< 1; 11 (x> 30):
lnx lnx
¶C’est un premier pas. Ce sont Hadamard et De La Vallee Poussin qui d¶emontrent
ind¶ependamment en 1896 le fameux Th¶eor?eme des Nombres Premiers :
…(x)»x= lnx:
Ce r¶esultat est ¶equivalent aux r¶esultats ¶enonc¶es pr¶ec¶edemmentˆ(x)»x et?(x)»x.Par
¶des consid¶erations analytiques, De La Vallee Poussin montre qu’il existe m^eme une
approximation de la fonction … appel¶ee fonction logarithme int¶egral et not¶ee
ˆ !Z Z
1¡" xdt dt
Li(x) = lim + ;
"!0 0 lnt 1+" lnt
avec …(x)» Li(x).Introduction 9
Par int¶ egration par parties, le d¶eveloppement asymptotique de Li(x) peut ^etre facile-
ment explicit¶e:
? ? ¶¶
x 1 2 1
Li(x)= 1+ + +O :
2 3lnx lnx ln x ln x
Nous montrerons que
? ¶
x 1
…(x)> 1+ pour x> 599;
lnx lnx
et que
? ¶
x 1 2; 51
…(x)6 1+ + pour x> 355991:2lnx lnx ln x
Chebyshev a utilis¶e ses encadrements sur…(x) pour montrer une proposition appel¶ee
Postulat de Bertrand : pour x sup¶erieur a? 1, chaque intervalle ]x; 2x] contient au moins
un nombre premier. Il a v¶erifl¶e a la main que la proposition est vraie pour les x petits,
puis pour les x> 30 puisque
2x 1; 11x
…(2x)> (0; 92) > >…(x):
ln 2x lnx
Mais une question se pose : a-t-on
…(x +y)6…(x)+…(y) pour x;y>2?
C’est- a-dire, chaque intervalle ]y;y +x] contient-il moins de nombres premiers que l’inter-
valle initial ]0;x] ? C’est une conjecture propos¶ee par Hardy et Littlewood en 1923.
C’est vraisemblable puisque le th¶eor?eme des nombres premiers montre qu’elle est satisfaite
pour la plupart des y. Notre travail prouvera qu’elle est valide presque partout et dans
un domaine que nous expliciterons. Aucun contre-exemple num¶erique n’a ¶et¶e trouv¶e mais
nous reprendrons l’article de Hensley et Richard montrant qu’elle est incompatible
avec une autre conjecture bien connue, celle qui g¶en¶eralise la conjecture des nombres
premiers jumeaux. Cette derni?ere bien connue exprime qu’il y a une inflnit¶e de nombres p tels que p et p + 2 soient deux nombres premiers.
Nous nous int¶eresserons ensuite aux difi¶erentes fonctions arithm¶etiques pr¶esent¶ees
pr¶ec¶edemment mais cette fois dans les progressions arithm¶etiques. On ne regarde main-
tenant que les premiers v¶eriflant la condition suivante :
soient k;l deux entiers (16l<k ) premiers entre eux ; on ne comptera plus que les pre-
miers congrus a? l modulo k. On note alors p·l (mod k) un nombre premier v¶eriflant
cette condition. Il s’ensuit que
X
ˆ(x;k;l)= lnp;
p;”
”p 6x;p·l (mod k)

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