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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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  • détermination des angles

  • méthodes alternatives

  • plage de validité en fréquence

  • fraise

  • fréquence

  • usinage

  • calcul de la stabilité de l'usinage

  • coupe

  • vibration


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : ethesis.inp-toulouse.fr
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la première partie
de la thèseChapitre 3 : Méthodes alternatives.
CHAPITRE 3
MÉTHODES ALTERNATIVES
Afin de proposer un éventail de solutions au problème des vibrations en usinage, nous
nous sommes intéressés à d’autres méthode de réduction des vibrations qui seraient suscep-
tibles de convenir à notre contexte industriel. Ces travaux ont portés sur les fraises à pas
variable ainsi que sur une méthode de détermination expérimentale de conditions de coupe
stables.
1. Fraises à pas variable
Ces outils présentent l’inconvénient d’être spécifiques à certaines conditions de coupe.
Néanmoins, la détermination de leur géométrie étant relativement simple, ils présentent un
certain intérêt pour une application industrielle à court terme.
1.1. Coupe continue
Le cas du calibrage de la pale de rouet peut être traité avec le modèle de fraise à pas
variable développé par Altintas et al. [ALT 99] et Budak [BUD 03a] [BUD 03b].
Ce modèle est basé sur un modèle de coupe continue, et ne prend en compte que les vibra-
tions régénératives. Budak montre le gain obtenu avec de telles fraises par rapport à des
fraises standards, et donne une méthode analytique de détermination des angles. Nous ne
développerons pas ici le calcul de la stabilité de l’usinage avec une fraise à pas variable.
La méthode de détermination des angles développée par Budak est une méthode d’opti-
misation. Elle part de l’observation d’un usinage instable, à partir duquel il est possible de
déterminer une géométrie d’outil permettant de stabiliser la coupe. Les angles optimaux de
89Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
la fraise sont fonction des fréquences de broutement et de la vitesse de rotation de l’usinage
à optimiser. On comprend donc que pour chaque couple de fréquence et de vitesse de rota-
tion (donc de géométrie de pièce et de conditions de coupe) les angles optimaux seront
différents. Néanmoins, Budak montre que la fraise ainsi calculée est efficace dans une
certaine plage de fréquence et de vitesse de rotation.
La détermination des angles s’effectue donc en deux étapes :
• usinage avec la fraise standard à optimiser et les conditions de coupe désirées, avec
mesure des vibrations.
• calcul de la géométrie de la fraise basée sur les fréquences mesurées et les conditions de
coupe.
Budak a testé plusieurs schémas de répartition des dents, et conclu que le schéma linéaire
donne les meilleurs résultats (52). Cette approche compare plusieurs schémas entre eux,
mais n’en propose pas de nouveaux. Budak donne les meilleurs angles pour un schéma
donné. Le schéma de répartition linéaire est le suivant :
P++()P + ΔP()P + 2 ΔP+…()P +z – 1ΔP =2π (52)0 0 0 0
Avec P l’angle de départ, et ΔP l’incrément angulaire entre chaque dent, en radians.0
À partir de la vitesse de rotation Ωω, en tr/s, et de la fréquence de broutement mesurée c
en rad/s, de l’usinage à optimiser, on calcule l’incrément angulaire entre chaque dent.
Ω------ΔP = π pour un nombre de dents pair (53)
ωc
()z ± 1Ω---------------------ΔP = π pour un nombre de dents impair (54)
z ωc
90 Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
L’angle de départ est ensuite donné par :
2 π ()z – 1ΔPP = ------ – ------------------------ (55)0 z 2
La fraise ainsi calculée admet une plage de validité en fréquence. Pour une vitesse de
rotation donnée, la fraise limitera l’apparition des vibrations dans cette plage de fréquence.
Les bornes de cette plage sont données par :
πΩ 3 πΩ----------- -----------<<ω (56)c2 ΔP 2 ΔP
Cette plage de validité peut également être exprimée en terme de vitesse de rotation.
Pour une fréquence donnée, les vibrations n’apparaîtrons pas dans une plage de vitesse de
rotation donnée par :
2 ΔP ω 2 ΔP ωc c-----------------<<Ω ----------------- (57)
3 π π
L’utilisation de ces fraises sur les rouets centrifuges a permis de multiplier les vitesses de
coupe par quatre dans certains cas, et d’obtenir un meilleur état de surface qu’avec les
fraises à pas régulier. Dans la plupart des cas traités, la plage de validité en fréquence des
fraises à pas variable englobe la plage de variation des fréquences pendant l’usinage. Ceci
permet donc d’usiner à vitesse de rotation constante. Les différents essais réalisés avec ce
type de fraise sur les rouets centrifuges seront présentés dans le chapitre 4, "Validation
expérimentale".
1.2. Coupe discontinue
Le modèle de fraise à pas variable décrit ci-dessus est spécifique à la coupe continue.
À notre connaissance, aucune publication ne mentionne l’utilisation de ces fraises dans le
cas de la coupe discontinue où le phénomène de régénération de la surface n’est pas seul
responsable de l’instabilité de la coupe. Nous avons donc réalisé dans un premier temps des
essais pour vérifier leur efficacité dans un tel cas. L’usinage porte sur une pale de roue
axiale (figure 3-1), dont la surface n’est pas réglée. Elle ne peut donc pas être usinée en
91Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
contournage, elle doit être usinée avec l’extrémité de la fraise, en contact point, et la coupe
est discontinue. Le temps de coupe représente moins de 40 % du temps de rotation. Il s’agit
ici de la dernière opération de finition. Nous avons réalisé un premier usinage avec une
fraise à pas régulier en mesurant les fréquences de vibrations (mesure acoustique). Nous
avons ainsi pu déterminer une fraise à pas variable. Nous avons ensuite réalisé un deuxième
usinage avec la fraise à pas variable.
Figure 3-1 : Roue axiale.
Les résultats des mesures sont représentés sur la figure 3-2. Les deux graphes représen-
tent la pression acoustique par fréquence en fonction du temps. Le pression acoustique est
représentée par un code de couleur (noir pour la pression minimale, et blanc pour la pres-
sion maximale). Les fréquences excitées sont donc représentées en blanc. Nous pouvons
observer deux zones de fréquences principales ; autour de 2000 Hz et autour de 5000 Hz. La
fraise à pas variable calculée ne permet pas d’éliminer les vibrations à ces deux fréquences.
Nous nous sommes donc intéressés à la zone de fréquences autour de 2000 Hz. En compa-
rant les deux mesures, nous constatons qu’il n’y a pas de différences notables entre les deux
usinages. Les mêmes fréquences sont excitées, à des niveaux comparables. Par contre, des
92 Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
mesures d’états de surface nous montrent que la fraise à pas variable donne de meilleurs
résultats. L’écart moyen arithmétique est divisée par deux (R = 1 µm). La fraise à pasa
variable semble donc bien limiter les vibrations régénératives (lorsque la dent est dans la
matière), mais n’élimine pas les vibrations libres de la pale (lorsque la dent n’est pas dans la
matière). L’outil risque de subir une usure prématurée due aux chocs avec la pièce, et le
niveau acoustique engendré par l’usinage est inacceptable pour le personnel environnant. Il
est donc nécessaire de développer un modèle spécifique de fraise à pas variable pour le cas
de la coupe discontinue.
93Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
Fraiseàpasrégulier
100
1000
80
800
60
600
40400
20200
0 0
0 5k 10k Fréquence(Hz)
Fraiseàpasvariablecoupecontinue
100
1000
80
800
60
600
40400
20200
00
0 5k 10k Fréquence(Hz)
Figure 3-2 : Mesures des vibrations avec une fraise à pas régulier, et
avec une fraise à pas variable pour la coupe continue.
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Temps(s)
Temps(s)
Pressionacoustique(mPa)
Pressionacoustique(mPa)Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
Nous nous sommes basé sur le modèle de coupe discontinue de Davies et al. [DAV 02],
et nous l’avons appliqué à une fraise à pas variable. Dans notre cas, les équations ne sont
plus intégrées sur un passage de dent, mais sur un tour d’outil pour prendre en compte le
décalage angulaire entre chaque dent.
1.2.1. Équations de mouvement
Le modèle utilisé ici est spécifique à la coupe discontinue, et une des premières étapes
consiste à déterminer le rapport entre le temps de coupe sur un tour d’outil et le temps d’un
tour d’outil, ou encore le rapport entre la longueur coupée sur un tour d’outil et la circonfé-
rence de l’outil. La stabilité du système dépend de ce paramètre qui permet de caractériser
la discontinuité de la coupe.
Δφ ⋅ zρ = ------------- (58)
2 π
avec Δφ l’angle d’immersion de l’outil en radians, et z le nombre de dents de l’outil. La
période de la dent j, en secondes, est définie par :
60 αjt = ----------- (59)j 2 πN
avec α l’angle entre la dent j et la dent j+1 en radians, et N la vitesse de rotation de laj
broche en tr/min. Ainsi, la période de broche est définie par :
z
60 αjt = ----------- (60)b ∑ 2 πN
j = 1
En faisant l’hypothèse que le temps de contact est indépendant du mouvement de l’outil,
et que l’avance à la dent et les déplacements sont petits comparés au rayon de l’outil, pour la
èmei période de dent, la hauteur de copeau est définie comme suit :
95Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
• la dent n’est pas dans la matière :
h = 0 ; pour ()i – 1 t ≤≤ti()– ρ t (61)j j
• la dent est dans la matière :
hf=()+ Δxt();t sinφ()t + Δyt();t cosφ()t ; pour ()i – ρ t ≤≤tit (62)z j j j j
avec Δxt;t = xt()–xt()–t , Δyt();t = yt()–yt()–t , et φ()t la position angu-j j j j
laire de la dent dans la matière à l’instant t .
x c ky y
y
α2 2
kx
N
α3 1φ(t)
Δφ
cx
1α3
Ae
Figure 3-3 : Schéma de l’usinage avec une fraise à pas variable
à 3 dents.
Nous faisons ensuite l’hypothèse que les mouvements suivant x et y ne sont pas couplés,
et que les efforts de coupe sont proportionnels à la section de copeau instantanée. Nous
obtenons ainsi les équations du mouvement dans le repère {}xy, .
·· ·m x++c x k x = K A hcos φ()t – K A hsin φ()t⎧ x x x r p t p
(63)⎨ ·· ·m yc y k y = –K A hsin φ()t – K A hcos φ()t⎩ y y y r p t p
96 Chapitre 3 : Méthodes alternatives.
avec m , m , c , c , k et k les masses modales, amortissements modaux et raideursx y x y x y
modales suivant x et y respectivement.
Quand h = 0, il existe une solution analytique : l’énergie des vibrations est absorbée
par l’amortissement.
Quand h ≠ 0 , on ne dispose pas de solution analytique connue dans le domaine temporel.
Pour obtenir une solution analytique approchée en fraisage de finition, Davies et al.
proposent de ne retenir que les mouvements suivant y, qui ont le plus d’effets sur la qualité
de la surface usinée. Les mouvement suivant x sont négligés. L’angle φ()t entre la dent
engagée et l’axe y est très faible, et nous pouvons faire les approximations suivantes :
sin()φt ≈φ()t et cos()φt ≈ 1 .
En respectant ces hypothèses, et en remplaçant h par ses expressions (61) et (62) dans
l’équation (63), nous obtenons :
·· · 2y++2 ξω y ω y =0⎧ n n
(64)⎨
pour ()i – 1 t ≤≤ti()– ρ t⎩ j j
⎧ A A Kp p t2·· · ------ -----------y++2 ξω y ω y = –()K Δyt();t + K fφ()t – Δyt();t⎪ n n r j t z jm m (65)⎨
⎪pour ()i – ρ t ≤≤titj j⎩
avec ω , ξ et m la pulsation propre, le taux d’amortissement et la masse du mode le plusn
flexible dans la direction y. Nous n’avons gardé ici que les termes du premier ordre de φ(t).
D’après Davies et al., les termes d’ordre plus élevé n’ont pas d’influence directe sur la
stabilité du système.
1.2.2. Solution analytique approchée
Il s’agit maintenant de trouver une solution analytique approchée qui décrit les deux
phases de la coupe discontinue : une phase de vibrations libres, une phase de coupe.
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