Plans sphériques de force t et applications en statistique

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Plans sphériques de force t et applications en statistique Par Frédéric BERTRAND Soutenue le 7 décembre 2007 devant la Commission d'Examen : Jean-Marc AZAIS Dominique COLLOMBIER Jean-Pierre GAUCHI Giovanni PISTONE Jean-Pierre WINTENBERGER Rapporteur externe Directeur de thèse Examinateur Rapporteur externe Rapporteur interne

  • unique matrice symétrique

  • réelle semi-définie positive

  • pseudo inverse de moore-penrose de la matrice réelle

  • symétrique réelle

  • réelle définie postive

  • pseudo inverse de la matrice réelle


Publié le : samedi 1 décembre 2007
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Source : scd-theses.u-strasbg.fr
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ParFrédéric BERTRAND
Planssphériques de force tetapplicationsen statistique
Soutenuele7décembre2007devantlaCommissiond'Examen:
Jean-MarcAZAIS Rapporteur externe
DominiqueCOLLOMBIER Directeurdethèse
Jean-Pierre GAUCHI Examinateur
GiovanniPISTONE Rapporteur externe
Jean-PierreWINTENBERGER Rur interneINSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE
Université Louis Pasteur et C.N.R.S. (UMR 7501)
7, rue René Descartes
67084 STRASBOURG Cedex
Planssphériquesdeforcetetapplicationsenstatistique
par
FrédéricBERTRAND
Mots-clés : Statistique mathématique – Statistique algébrique –
Planification expérimentale – Invariance faible – Surface de réponse –
Surface de variance – Caractérisations polynomiales – Bases de
Gröbner – Programmation semi-définie positive
Classification mathématique : 62K20, 62K05, 62K99, 05B30, 13P10,
20F55, 51M20.Avant-propos
Questions de traduction
Nous avons indiqué la traduction anglaise des notions algébriques apparaissant dans le
chapitre 8.
Notations
• A× B désigne le produit cartésien de deux ensembles A et B.

• Pour C une matrice réelle à p lignes et q colonnes, C désigne la transposée de la
matrice C.
• u, v est le produit scalaire canonique de deux vecteurs.
• u, v est le produit scalaire de deux vecteurs pour le produit scalaire défini par laE
matrice symétrique réelle définie postive E.
⊥• V est l’orthogonal de la partie V pour le produit scalaire canonique.
−• C est un pseudo inverse de la matrice réelle à p lignes et q colonnes C.
+• C est le pseudo inverse de Moore-Penrose de la matrice réelle à p lignes et q colonnes
C.
−1• C est l’inverse de la matrice carrée C lorsque celle-ci est inversible.
1/2• C désigne une racine carrée de la matrice C.Si C est symétrique réelle semi-définie
1/2positive alors C est l’unique matrice symétrique réelle semi-définie positive dont le
carré est égal à C.
1/s• C ,où s est un nombre réel positif, désigne une racine s−èmedelamatrice C.Si
1/sC est symétrique réelle semi-définie positive alors C est l’unique matrice symétrique
réelle semi-définie positive dont la puissance s−ème est égal à C.
• C⊗ D est le produit tensoriel des deux matrices C et D.
• Si C et D sont deux matrices symétriques réelles alors C D si et seulement si
+D− C∈S . Il s’agit de l’ordre de Loewner.
k√
• I désigne le radical de l’idéal I.
F
• f est le reste de la division euclidienne de f par le s−uple (f ,...,f ).1 s
G
• f est le reste de la de f par la base de Gröbner G.
• κ est un estimateur de la fonction κ des paramètres du modèle.
•|A| désigne le cardinal de l’ensemble fini A.
• n! la factorielle de l’entier n.
n
• estlenombre departies à p éléments d’un ensemble à n éléments.
p
• f ,...,f désigne l’idéal engendré par les polynômes f ,...,f .1 k 1 kNOTATIONS
• E[X] désigne l’espérance de la variable aléatoire X.
• Var[X] désigne la variance de la variable aléatoire X.
• Cov[X ,X ] désigne la covariance des variables aléatoires X et X .1 2 1 2
• α=(α ,...,α ) où les α ,...,α sont v entiers positifs.1 v 1 v
• γ est le cardinal effectif de R(ξ),où ξ est un plan isovariant sur la bouleB ,qui estξ r
égal à :

γ = m (ρ).ξ ξ
ρ∈R(ξ)
• χ est un domaine expérimental, c’est-à-dire une partie d’un espace vectoriel réel de
dimension v euclidien.
• η est une surface de réponse d’ordre d.

• λ(A) est le vecteur (λ (A),...,λ (A)) des valeurs propres de la matrice A symétrique1 k
réelle rangées dans l’ordre croissant : λ (A) λ (A) λ (A).1 j k
• Φ:A→ R est un critère d’optimalité.
−1 pk1 p• Φ (A)= λ (A) si p∈{−∞, 0} est le critère d’optimalité Φ de Kiefer.p j pk j=1
−1

k k −1
k• Φ (A)= λ (A) =(det(A)) est le critère de D−optimalité.0 j
j=1

k1 −1• Φ (A)= λ (A) est le critère de A−optimalité.−1 jk j=1
−1• Φ (A)=(min λ (A)) est le critère de E−optimalité.−∞ j=1,...,k j
1 −1• Φ (A)= f(x) A f(x)dx est le critère de I−I vol(χ) χ
• µ (ξ) désigne le moment d’ordre γ du modèle polynomial pour le plan ξ.γ
• θ =(θ ,...,θ ) est le vecteur des paramètres.1 k
2• σ variance commune des variables aléatoires Y ,...,Y représentant les valeurs de la1 n
réponse y aux points x ,...,x du plan expérimental.1 n
• τ désigne un ordre sur les monômes de [x ,...,x ].1 v
• ξ est un plan expérimental exact ou approché c’est-à-dire un couple (X, w) où X est
un sous-ensemble fini du domaine expérimental χ et w est un r−uple réel.
• ξ(x ) le poids du point support x du plan ξ.i i
g• ξ est l’image du plan ξ par g une transformation bijective de χ sur χ.
• ξ est un plan expérimental exact de cardinal pour un nombre total d’essais égal à n.n
• ξ (S ) est le poids total de tous les points du plan appartenant à la sphère de rayon ρρ
centrée en l’origine du domaine.
• ]a, b[ désigne l’intervalle réel ouvert d’extrémités a et b.
++ +•A est un cône convexe inclus dansS tel queS ⊂A⊂S .k k k
• A désigne une matrice symétrique réelle définie positive telle que le groupe de matrices
−1compactG soit conjugué au sous-groupeK du groupe orthogonalO (R) :G = AKA .v
v• A est un sous-ensemble fini de N l’ensemble des degrés du modèle polynomial A.
v• A est un sous-ble fini de N appelé modèle polynomial complet de degré d.d
• Aut (H) désigne l’ensemble des automorphismes du groupe H.
•B est la boule de rayon r centrée en 0.r
• C désigne le corps des nombres complexes.
v• CP désigne un espace projectif sur le corps des nombres complexes.
• C[x ,...,x ] désigne l’algèbre des polynômes à v indéterminées à coefficients complexes.1 v
iv Thèse de doctorat
NOTATIONS
• C est un domaine expérimental de forme v−hypercube symétrique centré en 0 :b

vC = x=(x ,...,x ) ∈ R ,|x| b , 1 i vb 1 v i i
où b ∈]0, +∞[, 1 i v.i
• C (ξ) est la matrice d’information réduite du plan expérimental ξ.K
• Conv{D} est l’enveloppe convexe de D une partie d’un R−espace vectoriel.
• det C désigne le déterminant de C une matrice carrée.
• Diag(a ,...,a ) est égal à D une matrice diagonale d’ordre v dont le terme général D1 v ij
est égal à 0 si i = j et à a si i = j.i
• E désigne une matrice symétrique réelle définie positive telle que le groupe de matrices
compactG soit un sous-groupe du groupeO (E).v
• E est un domaine expérimental de forme v−ellipsoïde centré en 0 :H

vE = x=(x ,...,x ) ∈ R , x Hx 1H 1 v
++où H∈S .
k
• ∂E est la frontière deE :H H

v∂E = x=(x ,...,x ) ∈ R , x Hx=1 .H 1 v
∗Φ(M(ξ ))∗ ∗• eff(ξ : ξ )= est l’efficacité relative d’un plan ξ par rapport à un plan ξ .
Φ(M(ξ))
• Est (ξ) est l’ensemble des représentants de degré minimal des fonctions polynomialesτ
estimables pour le plan ξ et l’ordre τ.
k• f =(f ,...,f ) est une fonction connue définie sur χ et à valeurs dans R .Il s’agit de1 k
la part déterministe d’un modèle statistique.
• f(x ) est la part déterministe du modèle évaluée en le point support x du plan ξ.i i
• f est la part d d’un modèle polynomial complet de degré d.d
• G désigne une base de Gröbner.
•G est un groupe de transformations bijectives de χ sur χ.
v•G est le groupe des endomorphismes orthogonaux de R muni du produit scalaireorth
canonique.
•GL (R) est le groupe des matrices réelles inversibles d’ordre v.Ils’agitd’un groupev
topologique pour la topologie héritée de la topologie usuelle surM (R).v
• H désigne le corps des quaternions.
v• HP désigne un espace projectif sur le corps des quaternions.
• I désigne un idéal de R[x ,...,x ].i v
n• I l’ensemble des idéaux de R[x ,...,x ].i vK
v• I (V ) désigne l’idéal annulateur d’une partie de .
• I (ξ) ou I (X) désignent l’idéal du plan ξ.
• I est la matrice carrée identité d’ordre v.v
• i est la surface d’information généralisée de l’estimateur de la réponse moyenneM(ξ)
η(x).
• Pour C une matrice réelle à p lignes et q colonnes, Im (C) désigne l’image de la matrice
qC dans R .
• K ou désignent un corps de caractéristique nulle.
Frédéric Bertrand v

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