Pour ommen er je tiens remer ier José Bertin pour m'avoir suivie et en ouragée

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Remer iements Pour ommen er, je tiens à remer ier José Bertin pour m'avoir suivie et en ouragée depuis la maîtrise, puis pour avoir a epté il y a quatre ans d'en adrer ma thèse. Je le remer ie pour tout le temps passé à me ra onter des mathématiques et pour m'avoir guidée dans ma re her he, en respe tant mon rythme parfois un peu parti ulier. Christoph Sorger et Dimitri Markushevi h ont a epté de jouer le rle de rapporteurs sur ma thèse. Je les remer ie sin èrement d'avoir ee tué e travail, et je suis également très honorée de les avoir omptés dans mon jury de thèse. La présen e de Gérard Gonzalez-Sprinberg a été à plusieurs reprises importante pour moi. En tant qu'expert du domaine, il m'a é lairée et aidée à repla er mon travail dans un ontexte global. Je le remer ie de l'intérêt qu'il porte à mon travail, et de tous ses en ouragements. Mer i également d'avoir a epté de faire partie de mon jury de thèse. Dans l'équipe d'algèbre et géométrie de l'Institut Fourier, Mi hel Brion et Laurent Manivel sont de tous les séminaires et groupes de travail. Leur dynamisme ne les empê he pas de laisser prendre leur pla e aux débutants, et je leur en suis très re onnaissante.

  • démonstration des théorèmes

  • constru tion du morphisme de hilbert-chow

  • résolution par la méthode de jung

  • théorème de looijenga

  • fand-gel'fand


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 144
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 148
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.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
.
.
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.
dimension
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
1.6.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
1.2
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.

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.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
Notations
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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.

.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
.
de
.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
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.
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.
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.

.
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.
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.
.
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.
.
.
.
.
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.
A
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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1.5.3
1.3
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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1.6
.
des
.
es
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
17
1.3.1
Notations
D?nition
.
de
.
G
.
Hilb
.
P
.
G
.
X
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.6.2
.
r?sultats
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
.
Le
.

6
de
1.3.2
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D?monstration
A
du
.
lemme
.
1.3.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
.
Application
.

.
lorsque
.
quotien
.
est
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
.
Singularit?s
.
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Le
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.
de
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1.2
.
m?tho
.
de
.
.
10
.
1.5
.
Construction
.
du
.
morphisme
.
de
.
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.
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.
w
.
.
.
.
.
.
.
.
24
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.
de
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
.
1.5.1
.
Lin?arisation
.
du
2.2.1
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
.
Le
.
de
.
A
.

.
1
.
A
12
.
1.5.2
.
Application
.
g?om?trique
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.3
.
syst?me
.

.
1
.
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
.
..
iv
.
T
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.
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.
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.
2.2.4
.
Le
B
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de
.

.
A
.
1
.

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B

2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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30
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.
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.
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Le
.
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.
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.

.
A
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.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
.
.
.
.
.
.
.
4.1.2
.
.
36
.
2.2.7
.
Le
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.
de
.

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B
.
3
.
.
.
.
81
.
asso
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
.
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.
.
.
.
.
.
.
S
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86
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n
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.
.
.
3
.
.
.
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.
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le
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W
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+
e

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e
Hilb
.
ert
.
.
la
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
.
syst?me
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cas
.

.
.
43
.
2.3.1
.
M?tho
.
de
.
de
69

le
osition
Hilb
de
.
l'alg?bre
.

.
v
.
arian
.
te
4
.
de
.
77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
.
2.3.2
.
Le
.
syst?me
4.1.1
de
A;

.
A
.
1
.

.
A
.
1
.

.
A
.
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
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.
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.
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.
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1
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(
A
.
2
.
.
4.2.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Le
.
sp
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3.1
.
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+1
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A
2.3.4
0
Le
.
syst?me
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de
une

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1
.

.
B
87
2
la
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
.
?temen
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
asso
.
W
.
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.
A
.
0
48
.
2.3.5
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Le

syst?me
+
de
A

.
A
.
1
.

.
G
Cas
2
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.2.2
.
du
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C
.
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.
Le
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syst?me
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de
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A
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.
.
.
3.2.3
.
du
.
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B
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.3
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.
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B
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.
.
74
.

.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
56
.
2.4
.
Corresp
78
ondance
Hilb
de
(
McKa
X
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
.
La
.
sp
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
.
3
.
Singularit?s
4.2
non
v
ab
sur
?liennes

en
elliptique
dimension
.
trois
.
65
.
3.1
.
Le
.
th?or?me
.
de
.
Lo
.
oijenga
.
.
4.2.1
.
th?or?me
.
tiy
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2.2
.
du
.
V
.
;g
.

.
un
.
oin
.
de
.
N
.
A;
.
)
66
.
3.1.1
.
Cas
.
du
81
syst?me
Exemples
de
.

.
A
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.3
.
rev
.
t
.
ectral
.
le
.
A
.
.
.
.
.
.
66
.
3.1.2
.
Cas
.
du
.
syst?me
.
de
.

.
B
85
3
Fibr?
.

.
l'unique
.
n
.
-grapp
.
de
.
supp
.
en
.
.
.
.
.
.
.
4.3.2
.
asso
.
?
.
A
.
+1
.
e
.
A
.
ort?e
.
0
.
.
.
.
67
.
3.1.3
.
Cas
4.3.3
du
de
syst?me
dimension
de
.

.
C
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4
.
rev
.
t
.
ectral
.
le
.
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
.
3.2
.
M?tho
.
de
.
de
88
Jung
Fibr?
.

.
la
.
(
.
n
.
-grapp
.
de
.
supp
.
en
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4.2
.
asso
.
?
.
W
.
-grapp
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4.3
.
de
.
dimension
.
.
.
.
68
.
3.2.1
.
Cas
.
du
.
syst?me
.
de
.

.
A
.
3
.
.
.
.
.
.
..
T
Le
ABLE
3
DES
.
MA
.
TI?RES
.
v
.
5
.
La
A.5

.
d?riv
W
?e
.
G
.
-?quiv
.
arian
.
te
et
D
.
G
.
(
.
X
.
)
.
91
.
5.1
.
La
.

.
d?riv
la
?e
sc
b
C.1
orn?e
.
G
.
-?quiv
.
arian
.
te
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A.6.1
.
.
.
.
.
.
.
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
T
.
.
.
.
92
.
5.1.1
.
Une
.
?quiv
.

.
de
.

Singularit?s
.
.
.
127
.
.
.
.
.
.
.
131
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A.6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
92
W
5.1.2
4
Cas
.
d'une
.
action
Repr?sen
libre
4
.
.
.
A.6.3
.
.
.
.
.
.
.
C
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dimension
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
.
Jung
.
.
.
.
.
B.3
.
ert
.
.
.
.
.
Sur
95
.
5.1.3
.
Cas
.
de
.
l'action
.
triviale
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R?solutions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
96
.
5.2
.
Th?or?me
.
de
.
Be
.

.
linson
3
G
.
-?quiv
.
arian
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tication
.
(
.
et
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
120
.

.
=
.
.
.
.
.
.
.
.
98
de
5.2.1
.
Th?or?me
.
de
.

.
des
.
(
.
A
122
-
.
G
.
)-mo
.
dules
.
libres
.
gradu?s
.
de
.
t
.
yp
.
e
.
ni
122
sur
de
une
123
C
.
-
.
alg?br
.
e
.
gradu?e
.
A
.
de
.
t
.
yp
.
e
R?solution
ni
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
par
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
99
.
5.2.2
125
D?monstration
singularit?s
du
.
th?or?me
.
5.2.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
127
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R?solutions
.
.
.
.
.
.
100
.
5.2.3
.
V
.
ersion
.
Bernstein-Gel'fand-Gel'fand
128
.
dimension
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
129
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
.
5.3
.
Crit?re
.
de
.
descen
.
te
.
.
.
.
117
.
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
.
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
.
5.3.1
.
Descen
.
te
.
d'un
.
G
.
-faisceau
.
lo
.

.
t
.
libre
.
.
.
.
.
.
.
.
120
.
Iden
.
de
.
+
.
B
.
)
.
S
.
.
.
.
.
.
.
.
105
.
5.3.2
.
Crit?re
.
de
.
descen
.
te
.
.
.
.
A.6.2
.
tations
.
de
.
+
.
S
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
.
Diagramme
.
McKa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
109
.
A
.
Autour
A.7
des
3
group
.
es
.
de
.
W
.
eyl
.
113
.
A.1
.
A
.
1
.

.
A
.
1
.

.
A
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B
.

.
la
.
deux
.
B.1
.
erminologie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B.2
.
par
.
m?tho
.
de
.
.
.
.
113
.
A.2
.
A
.
1
.

.
A
.
2
.
.
.
.
.
.
123
.
R?solution
.
le
.
h?ma
.
Hilb
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
.
les
.
127
.
D?nitions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
114
.
A.3
.
A
.
1
C.1.1

.
B
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C.1.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C.2
.
en
.
deux
.
trois
.
.
.
.
.
.
115
.
A.4
.
A
.
1
.

.
G
.
2
.
.
Bibliographie
.
.MA
vi
DES
T
TI?RES
ABLE
In

tro
de

tre
?
joli
la

n
G
des
y
ann?es
ble
1970,
rationnelle,
John
en
McKa
l'in
y
p
observ
?
e

qu'il

existe
d'un
un

lien
donnen

b
binatoire
On
en
sommets
tre
ar?te
la

th?orie
tations
des
sommets
repr?sen
tre
tations
C
des
i
sous-group
group
es
en
nis
du
G
De
de
E
SL
matrice
2
Jean-Louis
(
ondance
C
C
)
la
et

les
lisses
singularit?s
asso

our
de
)
surface
de
de
sommets
la
osan
g?om?trie
ar
alg?brique.
l'ensem
Soit
de
G
graphe
un
par
sous-group
nom
e
V
ni
de
non
j
trivial
est
de
et
SL
de
(2
Le
;
qu'il
C
et
)
de
.
2
Ce
automorphisme
group
obten
e
A
appartien
in
t
)
?
Cartan
l'une
Gonzalez-Sprin
des
donnen
familles
le
d?nom
([GSV83
brables
vii
des
=G
group
sorte
es
minimale

:
ou
tes
di?draux
son
binaires,
transv
ou
eut
est
un
l'un
t
des
ble
trois
(
sous-group
ble
es
tes

,
pr?serv
tre
an
tan
t
des
un

solide
tes.
platonicien.
soit
Il
G
agit
des
naturellemen
non
t
.
sur
d?nir
V
t
=
t
C

2
et
admettan
d'ar?tes
t
i
p
est
our
m
seul
i
p

oin
On
t

xe
en
l'origine,
V
et
app
en
le
dehors
y
de
G

de
p

oin
une
t,

son
graphe
action
diviseur
est
r?solution
libre.
t
Le
.
quotien
d?nie
t
diagrammes
C
le
2
est
=G
de
est
D
une
la
v
sur
ari?t?
(
alg?brique
p
admettan
matrice
t
syst?me
une
C'est
singularit?
erg
iso-
erdier
l?e,
?
qui

est
de
un
McKa
p
Ils
oin
une
t
singularit?
double
2
rationnel.
est
T
de
outes
que
les
r?solution
singularit?s
est
de
onne
surface
les
de
osan
t

yp
E
e
t
p
et
oin
erses.
t
p
double
lui
rationnel

son
graphe
t
prenan
ainsi
p
obten
ensem
ues,
des
et
Irr
l'on
E
les
l'ensem
nomme
des
selon
osan
le

p
E
oin
une
t
en
de
deux
vue
repr?sen
:
t
singularit?s
tersection
de

p
tes
oin
tibles
ts
ondan
doubles
P
rationnels,
ailleurs,
A
Irr
-
(
D
)
-
ble
E
repr?sen
,


triviales
de
G
Du
On
V
eut
al,
un
de
don
Klein,
les
ou
son
de
index?s
Dynkin.
Irr
D'apr?s
(
des
)
r?sultats
le
g?n?raux
bre
sur
en
la
V
r?solution
et
des
j
singularit?s
?gal
de
la
surfaces,
ultiplicit?
il
V
existe
dans
une
2
unique
V
(?
.
isomorphisme
d?mon
pr?s)
que
r?solution
d?nition
minimale,
sym?trique

V
?
et
dire
j
un
on
morphisme
elle
de
graphe
sc
diagramme
h?-
McKa
mas
du
Y
e
q
.
-
r?sultat
C
McKa
2
([McK81
=G
est
tel
existe
que

Y
tre
est
diagramme
lisse,
le
q
asso
est
au
un

isomorphisme
la
en
minimale
dehors
quotien
de
C
l'origine
=G
et
Cette
tout
est
autre
?
Y
de
0
pr?s.
q
plus,
0
graphe
-
u
C

2
syst?me
=G

a
-
y
-
an
et
t
forme

tersection
propri?t?s
l'ensem
se
Irr

E
par
a
Y
our
(v
la
oir
de
annexe
du
C).
de
Notons

E
G?rard
la
b
bre
et
de
V
q
qui
au-dessus
t
du

p
lien
oin
binatoire
t
nom
singulier.

C'est
de
le
y
lieu


en
de
t
la

r?solution.
La
viii
G
INTR
de
ODUCTION
dans
g?om?trique
dimension
en
(
termes
G
de
oin
K
([IN96,
-th?orie
McKa
de
lisse,
la
,
r?solution
;
minimale
)
:
Lorsque
?
s'agit
toute

repr?sen
y
tation
G

G
2

Irr
t

h?ma
(
de
G

)
repr?sen
,
birationnel
ils
ert-Cho
asso
Hilb

G
t
et
un
C
br?
)
v
des
ectoriel
herc
F
de

Nak
sur
et
la
erg
r?solution
,
minimale
mon
Y
h?ma
,
du
de
an
sorte
X
que
-grapp
la
les
premi?re
X

ts
de
H
Chern
est

[
1
existe
(
-
F
dit

une
)
le
est
arian
un
dimension
?l?men
Hilb
t
([F
de
d?mon
la
minimale
base
iden
de
ble

tes
Y

)
non
en
des


a
en
v
dimension
ec
am
les
tren

Hilb
osan
la
tes
termes

dans
du
e
diviseur


King
Au
1999
passage,
3
ils
(

d'une
t
plus,
un

iso-
(
morphisme
=
de
Ce
group
les
es
de
en
?
tre
h?mas
la
z?ro
K
son
-th?orie
v
de
don
la

r?solution
(
et
Z
la
?
K
r?guli?re
-th?orie

G
1.4.1).
-?quiv
mor-
arian
tre
te
(
de
X=G
C
de
2
qui
.
des
Cette


h?ma
m?ne
G
?
est
une
est
reform
,
ulation
h?ma
des
de

est
g?om?triques

li?es
am
?
t
la
la

quotien
ondance
=G
de
t
McKa
tre
y
(
que

Miles
du
Reid

exprime
G
telle
tations
un
de
slogan


de
suit
dans
([Rei02
de

alors
Soit
la
X
r?sultat
une
?rieure.
vari?t?
,
alg?brique,
Ito
G
jima
un
que
gr
h?ma
oup
est
e
tien
d'automorphismes
ondance
de
dans
X
Gonzalez-Sprin
et
V
X=G

le
un
quotient
?lien
de
Finalemen
X
une
p
que
ar
Reid
G
t
.
dans
Soit
la
Y
le
une
-
r
)
?solution
qu'il
des

singularit?s
t.
de
d?mon
X=G

.
?es
A
([BKR01]).
lors
-
la
))
r
G
?p
:
onse
sc
?
param?tre
toute
G
question
es
bien
X
p

os?
dire
e

au
Z
sujet
dimension
de
de
la
qui
g?
t
om?trie
-in
de
arian
Y
et
se
t
lit
des
dans
globales
la
0
g?
Z
om?trie
O
G
)
-?
isomorphe
quivariante
la
de
tation
X
C
.
G
Ainsi,
de
la
(d?nition
g?n?ralisation
Il
naturelle
un
de
phisme
la
en

G
ondance
Hilb
de
X
McKa
et
y
,
est
morphisme
de
Hilb

w,
C
est
2
r?solution
par
singularit?s
une
le
v
o?
ari?t?
sc
X
de
quasipro
ert

-?quiv
e
t

lisse.
lisse
X
et
de
G
2
par
le
un

group
de
e
ert
d'automorphismes
p
de
ts
X
lisse
.
og68
L'unicit?
Ito
de
Nak
la
ura
r?solution
tren
minimale
qu'il
est
de
particuli?re
r?solution
?
du
la
t
dimension
2
deux.
et
En
tien
dimen-
la
sion
en
sup
l'ensem
?rieure,
Irr
on
E
s'in
des
t?resse
osan
?

l'existence
diviseur
de
et
r?solutions
Irr

(
tes
)
(v
repr?sen
oir

l'annexe
triviales
C).
G
En
IN99
dimension
Une
trois,

les

singularit?s
he
quotien
la
ts
ondance
de
McKa
Gorenstein
est
admetten
dev
t
ue
une
g?n?ralisation
r?solution


en
pan
sup
te,
En
mais
3

Nak
n'est
ura,
pas
et
forc?men
a
t
d?mon
unique.
t
En
le
dimension

sup
de
?rieure
ert
?
lisse
quatre,
iden
il
t
n'existe

pas
de
toujours
y
de
les
r?solution
de

b
te
et
(on
erdier
trouv
le
e
o?
un
est
exemple
group
en
ab
dimension
([Nak01
quatre

dans
t,
[BS95
par

m?tho
Au
homologique
milieu
Bridgeland,
des
et
ann?es
d?-
1990,
tren
le
en
sc
que
h?ma
le
de
de
Hilb
dimension
ert
,
G
sc
-?quiv
G
arian
Hilb
t
X
G
est
-
et
Hilb
s'agit
(
r?solution
X
te
)
quotien
s'imp
De
ose
ils

tren
?tan
l'?quiv
t
de
le
d?riv

suiv
naturel
te
p
D
our
G
r?soudre
Hilb
les
X
singularit?s

du
D
quotien
(
t
)
X=G
.paragraphe
ix
sc
Cette
Le
th?se
de
s'inscrit
tre
dans
temps,
le


X
de
Hilb
la
nouv

d'un
ondance
-faisceau
de
tations
McKa
-
y
-?
en
le
dimension
G
trois.
n
On
th?se,
y
ec
?tudie
h?ma
une
ec
famille
d'un
d'exemples
On
de
asso
quotien
P
ts
de
par
p
des
G
group
G
es
particulier
d'automorphismes
repr?sen
non-
des
ab
on
?liens.
-
Ces
de
quotien
t
ts
r?sultats.
admetten
pr?sen
t
preuv
deux
est
r?solutions
G


tes
.
naturelles.
elle
L'une
un
est
G
le
tre
G
ert

p
h?ma
th?or?me
de

Hilb
des
ert
existe
(qui
(
r?sout
les
les
le
singularit?s
ar
d'apr?s
h?ma
le
G
th?or?me
d?ni
suscit?),
o?
et
t
l'autre
G
est
et
le
h?ma
r?sultat
Dans
d'un

pro
n

X
de
utilisan
d?singularisation
d?terminan
inspir?
1.5.6
de
dans
la
les
m?tho
son
de
et
de
a
Jung
nouv
p
Chapitre
our

la
au
d?singularisation
Hilb
des
arian
p
h?ma
oin
a
ts
de
doubles
un
rationnels
y
en
d?nitions
dimension
e
deux.
h?ma,
Ce

qui
arian
a
et
motiv
l'existence
?
de

arian
tra
?
v
de
ail
C'est
est
:
le
un
d?sir

de
l'anne

epr
le
.
lien
sch?ma
et
P
les
)
di?rences
am?tr
en
G
tre
,


deux
our
r?solutions.
d'Euler
Les
Le
r?sultats
Hilb
obten
arian
us
Hilb
p
est
ermetten
le
t

de
G


que
?
la
r?guli?re
r?solution
Dans
par
on
le
d?mon
sc
du
h?ma
Hilb
de
arian
Hil-
paragraphe
b
ose
ert
morphisme
G
w
-?quiv
X
arian
n
t
=
est
S
plus
une
naturelle.
lin?arisation
En
On
eet,
le
elle
son
m?ne
trait?es
?

un
et


de
Certains

t
ondance
eaux
de
d'autres
McKa
t?s
y
v

une
binatoire
elle
(th?or?me
e.
2.4.2).
1
Au
premier
del?
hapitre
de

l'?quiv
sc

de
de
ert

-?quiv
d?riv
t
?es
sc
donn?e
quasi-pro
par
lisse
le
v
th?or?me
action
de
G
Bridgeland,
Dans
King
premier
et
on
Reid,
rapp
nous
les
a
d'action
v
group
ons
sur
donc
sc

G
herc
et
h?
d'Euler
un
-?quiv
lien
te.

d?nit
en
d?mon
tre
alors
le
d'un
G
h?ma

Hilb
h?ma
?quiv
de
t
Hilb

ert
un
et

la
repr?sen
g?om?trie

?quiv
le
arian
1.1.6
te
Soit
de
G
la
p
v
?
ari?t?.
o
Cette
dans

au
nous
r
a
?sentations
men?
G
v
Il
ers
un
une
G
ten
Hilb
tativ
G
e
n
d'in-
X
terpr?tation
ar
de
ant


sc
-stables
h?ma
X
en
admettant
tan
p
t
P
qu'espace
p
mo

dulaire
act?ristique
d'une
G
famille
quivariante.
de
sc
br?s
de
v
ert
ectoriels
-?quiv
(c
t
hapitre
-
4).
(
Enn,
)
et
alors
toujours

motiv

?e
de
par

la
P

est
du
p
th?or?me

de
?gal
Bridgeland,
la
King
tation
et
de
Reid,
.
la
le
derni?re
1.4,
partie

de
on

tre
th?se
propri?t?s
est
sc

de
?
ert
l'?tude
-?quiv
de
t.
la
le

1.5,
d?riv
prop
?e
une
G
du
-?quiv
de
arian
ert-Cho
te
Hilb
d'une
(
v
)
ari?t?,
S
a
(
v
)
ec
X
action
=
d'un
n
group
t
e
m?tho
ni.
de
V
du

t.
un
d?mon
r?sum?
ainsi
des
th?or?me
probl?mes
:
quiert
x
de
INTR
tout
ODUCTION
?temen
Il
hapitre
existe
+1
un
a
morphisme
une

Soit
:
ts
Hilb
bre
n
P
(
nous
X
W
)
h
-
ailleurs,
S
on
n
singularit?
(
de
X
explicitemen
)
de
pr
C
oje
(

W
bir
de
ationnel,
exemple,
qui
On
?
ari?t?.
un

p
eut
oint
la
h
Reid,
de
de
Hilb
oin
n
dimension
(
?
X
oin
)
rapp

de
orr
par
esp
particulier,
ondant
de
au
paragraphe,

W
Z
=
de
S
X
W
asso
n

des
son

supp
+
ort
A
ave
A

t

X
Z
et
7!
A=W
X
trois,
x
tr?
2j
de
Z
Calabi-Y
j
Jung
prof
de
(

Z
?galemen
x
Dans
)
au-dessus
x:

La
de

t?resse
de
C

erra
morphisme
que
au
A=W
G
premier

sur
h?ma
m?tho
de
deuxi?me
Hilb
C
ert
de

de
?
que
la
our
d?nition
on
du
l'origine.
mor-
r?solution
phisme
,
de
S
Hilb
et
ert-Cho

w
)
G
+1
-?quiv
.
arian
(R)
t
\
G
sous-group
-
(R)
Hilb
duits
(
Si
X
p
)
noterons

P
-
le
X=G
,
;
+
qui
+1
?
le
une
A
G
.
-grapp

e
est
asso
un

double
son
Dans
supp
la
ort.
et
Dans
t
le
l'on

les
o?
R
G
ari?t?
-
gr?ce
Hilb
de
(
P
X
le
)
King
est
W
lisse,
de

A
est

une

r?solution

des
les
singularit?s.
tout
Enn,
par
on

traite
un
dans
r?el
le
On
paragraphe
?
1.6

le
=W

On
o?
le
le
an
quotien
les
t
singuliers
X=G
son
est
forme.
lisse.
est
D'apr?s
de
un
rev
th?or?me
et
de
de
Chev
Dans
alley
on
,
la

=W

m?tho
ond
p
au
de

trois.
o?
d?mon
G
m?tho
agit
s'applique
lo


singularit?s,
t
e

au-dessus
un
le
group

e
la
de
=W
r?exions.
alors
On
=
d?mon
n
tre
,
lo
A=W

E
t,
Q
puis
R
globalemen
=
t
n
que
=
le
n
morphisme
Soit
de
+
Hilb
=
ert-Cho
(R)
w
SL
est
le
alors
e
un
W
isomorphisme.
form?
Ce
pro
son
pairs
t
r?exions.
les

th?or?mes
n'est
1.6.7
ossible,
et
le
1.6.9
W
:
.
Soit
ar
X
dans
une

vari?t?
n
et
on
G
W
un
=
gr
n
oup
.
e

ni
quotien
agissant
de
sur
par
X
+
de
Notons
tel
R
le
v
sorte
Elle
que
singuli?re,
le

quotient
rev
X=G
t
est
de
lisse.
.
A
le
lors
de
G
dimension
-
Bertin
Hilb

(
on
X
d?mon
)
que
est
p
isomorphe
r?soudre
?
singularit?s
X=G
X
.
par
Chapitre
v
2
de
Ce
au

?
hapitre
m?tho

de
l'?tude

lo
ar

d'apr?s
des
th?or?me
singularit?s
Bridgeland,
non-ab
et
?liennes
le
qui
+
nous
h?ma
in
Hilb
t?ressen
de
t
r?sout
:
t
soit
singularit?s
E
fa?on
une
te.


e
hapitre,
elliptique

m
bres
unie
de
de
p
sa
t


de
de
group
r?solutions.
e.
R
Notons
syst?me
p

0
de
2
trois.
E
s'in
l'origine.
ici
Soit
la
R
lo
un
de
syst?me
3
de
+

l'origine.
Q
v
(R)
dans
le

r?seau
suiv
engendr?
t
par
tous
R
p
et
ts
A
de
:=
+
Q
t
(R)

Le
E
paragraphe
.
un
Le
el
group
r?sultats
e
les
de
?temen
W
doubles
eyl
la
W
de
=
r?solution
W
Jung.
(R)
le
agit
paragraphe,
naturellemen
r?sout
t
t
sur
singularit?
A
3
et
+
d'apr?s
la
un
de
th?or?me
Jung
de
our
Lo
syst?me
oijenga

([Lo
dimension
o76
En

on
le
tre
quotien
la
t
de
A=W
Jung
est
p
un
r?soudre


pro


et
a
exhib
v
la
ec

p
de
oids.
Dans
P
troisi?me
ar
on
exemple,
la
si
de
R
singularit?
=
3
A
+
n

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