Quelques applications des methodes effectives en geometrie analytique

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Quelques applications des methodes effectives en geometrie analytique Dan Popovici 1

  • theoreme de prolongement l2 de jets de sections holo- morphes

  • estimation de la perte de positivite pour les courants

  • demonstration du theoreme

  • controle local des masses de monge-ampere121

  • estimation


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Quelquesapplicationsdesm´ethodes
effectiveseng´eom´etrieanalytique
Dan Popovici
12Je dois a` mon directeur de th`ese Jean-Pierre Demailly toute ma forma-
tion math´ematique de recherche. Les mots ne pourraient assez exprimer ma
reconnaissance.
Je remercie ´egalement les rapporteurs et les membres du jury qui m’ho-
norent par leur participation.
Je pense aussi `a ma famille et a` mes amis dont j’ai toujours appr´eci´e les
encouragements.
34Table des mati`eres
21 Un th´eor`eme de prolongement L de jets de sections holo-
morphes d’un fibr´e en droites hermitien 15
1.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.0.2 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.0.3 D´emonstration du th´eor`eme 1.0.1.4 . . . . . . . . . . . 27
1.0.4 Estimation de la solution dans le th´eor`eme 1.0.1.5 . . . 35
1.0.5 Un th´eor`eme de comparaison de type Rauch . . . . . . 38
1.0.6 Estimation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.0.7 Le cas d’une sous-vari´et´e singuli`ere . . . . . . . . . . . 46
2 Une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau 51
2.0.8 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
∞2.0.9 Rappels et pr´eliminaires : cas C . . . . . . . . . . . . 55
2.0.10 Le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.0.11 Un lemme sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . 61
2.0.12 D´emonstration du th´eor`eme 2.0.8.1 . . . . . . . . . . . 63
3 Versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmasses
de Monge-Amp`ere 82
3.0.13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.0.14 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.0.15 Estimation de la perte de positivit´e pour les courants
r´egularisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.0.16 Coh´erence des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs avec
estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.0.17 AnnexeA:Unprobl`emedeth´eoriedupotentielenune
variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.0.18 Annexe B : Contrˆole local des masses de Monge-Amp`ere121
5Introduction
L’objectif de cette th`ese est d’´etablir des r´esultats effectifs en g´eom´etrie
analytique complexe en vue d’applications `a l’´etude des vari´et´es compactes,
non n´ecessairement k¨ahl´eriennes, par exemple en termes d’existence de cou-
rants positifs ferm´es. La motivation premi`ere ´etait de poursuivre l’´etude de
certainesquestionssoulev´eesparlasolutiondonn´eeparY.T.Siu([Siu84,85])
`alaconjecturedeGrauert-Riemenschneider([GR70])etparlag´en´eralisation,
via des in´egalit´es de Morse holomorphes, due `a J.- P. Demailly ([Dem85]).
Malgr´e des avanc´ees importantes dans cette direction, comme celles de L.
Bonavero ([Bon93]), de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]), ou celle plus r´ecente et
spectaculaire de J.- P. Demailly et M. Paun ([DP01]), beaucoup reste `a faire
et un certain nombre de conjectures semblent encore hors de port´ee.
Deux types de m´ethodes effectives sont au coeur de cette th`ese. D’une
2part, il est fait un ample usage d’estimations L , notamment le th´eor`eme de
prolongement d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel ([OT87], [Man93]), le th´eor`eme
2de division de Skoda ([Sko72b], [Sko78]), et les estimationsL de H¨ormander
pour l’op´erateur de Cauchy-Riemann ([H¨or65]). D’autre part, la th´eorie des
courants (quasi)-positifs ferm´es, initi´ee par P. Lelong ([Lel57]), est au centre
des pr´eoccupations de la derni`ere partie. Le th´eor`eme de r´egularisation des
courants de J.- P. Demailly ([Dem92]) constitue `a la fois l’instrument et le
point de d´epart des investigations dans cette partie.
Voici une description des probl`emes abord´es dans la th`ese.
Premi`erepartie:uneg´en´eralisationduth´eor`emed’Ohsawa-Takegoshi
Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension n,
munie d’une m´etrique k¨ahl´erienne ω, etY ⊂X une sous-vari´et´e lisse ferm´ee
decodimensionrd´efiniecommelelieudesz´erosd’unesectionholomorphes∈
0H (X, E) d’un fibr´e holomorphe hermitienE →X de rangr. T. Ohsawa et
K. Takegoshi ([OT87]) ont r´esolu le probl`eme du prolongement des fonctions
2holomorphes, avec estimations de la croissance L , de la sous-vari´et´e Y `a la
vari´et´e ambiante X. Ult´erieurement, L. Manivel ([Man93]) a g´en´eralis´e ce
r´esultat dans le cadre plus g´eom´etrique des sections holomorphes d’un fibr´e
hermitien satisfaisant certaines conditions de positivit´e.
Le premier objectif de cette th`ese a ´et´e de g´en´eraliser le th´eor`eme de
2prolongement L d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel au cas des jets de sections
d’unfibr´ehermitien.SoitLunfibr´eendroiteshermitiensatisfaisantcertaines
conditions de positivit´e, et k ≥ 0 un entier. Alors, tout “k-jet transverse `a
k+1Y,” `a savoir toute section du faisceau de jets L ⊗O /I , qui satisfaitX Y
2une certaine condition de croissance L , peut ˆetre prolong´ee en une section
2holomorpheglobaledeLsurX,avec contrˆole delanormeL sur uncompact
arbitraire de X.
k+10 n ⋆Pour un k-jet f ∈H (X, Λ T X⊗L⊗O /I ) et une fonction ρ> 0,X Y
6nous d´efinissons en tout point y ∈Y la norme ponctuelle pond´er´ee par ρ et
associ´ee `a la section s, comme
1 2 k 2˜ ˜|∇ f| |∇ f|
2 2˜|f| (y):=|f| (y)+ (y)++ (y),s,ρ,(k) 1 k2r 2(r+1) 2r 2(r+k)r r|Λ (ds)| ρ |Λ (ds)| ρ
0 n ⋆˜ou`f ∈H (U, Λ T ⊗L) est un prolongement local def `a un petit voisinage
X
j ∞ n ⋆ j ⋆˜U ⊂ X de y, et ∇ f ∈ C (U, Λ T ⊗L⊗S N ) est construit `a l’aideX Y/X
n ⋆de la connexion de Chern du fibr´e vectoriel holomorphe Λ T X⊗L, cano-
niquement muni de la m´etrique induite par la m´etrique deL et par ω. Nous
2d´efinissons ensuite la norme L pond´er´ee de f par :
(k)
Z
2 2 r −2||f|| = |f| |Λ (ds)| dV .Y,ωs,ρ,(k) s,ρ,(k)
Y
Pour tout entier k≥0, on note ´egalement
k 0 n ⋆ 0 n ⋆ k+1J :H (X, Λ T ⊗L)→H (X, Λ T ⊗L⊗O /I )XX X Y
le morphisme de groupes de cohomologie induit par la projection naturelle
k+1O →O /I .X X Y
Avec ces notations, notre premier r´esultat s’´enonce de mani`ere pr´ecise
sous la forme suivante.
Th´eor`eme 0.0.0.1 Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe
de dimension n, munie d’une m´etrique ka¨hl´erienne ω, L un fibr´e en droites
holomorphe hermitien,E un fibr´e holomorphe hermitien de rang r sur X, et
0s ∈ H (X,E) une section g´en´eriquement transverse a` la section nulle. On
d´efinit
rY :={x∈X; s(x) =0, Λ (ds)(x)= 0},
une sous-vari´et´e de X de codimension r. Supposons aussi que, pour un en-
′ ′′ 2tier k ≥ 0, la (1,1)-forme iΘ(L) + (r +k)idd log|s| est semipositive et
qu’il existe une fonction continue α ≥ 1 sur X telle que les deux in´egalit´es
suivantes soient satisfaites sur X :
{iΘ(E)s,s}
′ ′′ 2 −1(a) iΘ(L)+(r+k)idd log|s| ≥α ,
2|s|
−α(b) |s|≤e .
Si Ω⊂X est un ouvert relativement compact, on d´efinit une fonction poids
1
ρ = ρ > 0 par ρ(y) = , ou` D d´esigne laΩ −1 2||Ds || sup(||D s ||+||Ds ||)ξ ξy
ξ∈Ω
connexion de Chern de E.
Alors, pour tout ouvert Ω ⊂ X relativement compact et pour tout k-jet
k+10 n ⋆f ∈H (X, Λ T ⊗L⊗O /I ) tel queXX Y
7
6Z
2 r −2|f| |Λ (ds)| dV < +∞,Y,ωs,ρ,(k)
Y
0 n ⋆ kil existe F ∈H (X, Λ T ⊗L) tel que J F =f etk kX
Z Z
2|F |k (k) 2 r −2dV ≤C |f| |Λ (ds)| dV ,ω Y,ωr s,ρ,(k)2r 2|s| (−log|s|)Ω Y
(k)
ou`C > 0 est une constante ne d´ependant que der, dek, deE, du diam`etrer
de Ω, et de sup||iΘ(L)||.
Ω
La principale difficult´e dans la d´emonstration de ce r´esultat consiste `a
obtenir l’uniformit´e de la constante dans l’estimation finale. Comme pour
le th´eor`eme d’Ohsawa-Takegoshi, l’int´erˆet r´eside dans la partie quantita-
tive du r´esultat. La d´ependance par rapport `a s des estimations finales est
compl`etement explicit´ee dans le choix de la fonction poids ρ. La constante
(k)
C est ind´ependante de s. Nous appliquons essentiellement les in´egalit´esr
de Cauchy dans des cartes. Pour ´eviter l’apparition dans les estimations de
croissance du rayon (incontrˆolable) des cartes de coordonn´ees holomorphes
locales de X, nous utilisons l’application exponentielle et un th´eor`eme de
comparaison de type Rauch pour des vari´et´es riemanniennes compl`etes.
Deuxi`eme partie : une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et
Yau
Soit (E, h) un fibr´e vectoriel holomorphe de rangr muni d’une m´etrique
∞hermitienne C au-dessus d’une vari´et´e k¨ahl´erienne compacte X. Un sous-
faisceau analytique coh´erent F ⊂ O(E) du faisceau localement libre O(E)
associ´e `a E peut ˆetre vu comme un fibr´e avec singularit´es. En fait, F est
localement libre dans le compl´ementaire d’un ensemble analytiqueS ⊂X de
codimension ≥ 2. Il correspond ainsi `a un fibr´e vectoriel holomorphe F sur
X\S. Le sous- fibr´e F ֒→ E peut ˆetre muni de la m´etrique d´eduite de|X\S
∞h, et la projection orthogonale π : E −→ F d´efinit une section C sur|X\S
X\S du fibr´e vectoriel holomorphe EndE, satisfaisant les relations :
⋆ 2 ′′(⋆) π =π =π , (Id−π)◦D π = 0
′′sur X\S, ou` D est la partie de type (0, 1) de la connexion de Chern sur
EndE associ´ee `a la m´etrique induite parh. La deuxi`eme relation exprime le
fait que la structure holomorphe de F est la restriction de la structure ho-
lomorphe deE . Un argument standard de th´eorie des courants implique|X\S
∞ ′ ′′ 2que les 1-formes C sur X\S, Dπ et D π, d´efinissent des 1-formes L sur
X apr`es prolongement par 0 sur S.
Par cons´equent, tout sous-faisceau analytique coh´erentF deO(E) d´efinit
2 2unesectionπ∈L (X, EndE)del’espace deSobolevdessectionsL dontles1
82 ∞d´eriv´ees premi`eres sont encore L , qui est C dans le compl´ementaire d’un
ensemble analytique de codimension ≥2 et qui v´erifie les relations (⋆).
Ledeuxi`emeobjectifdelath`esea´et´edered´emontrerl’affirmationr´eciproque
de fac¸on relativement ´el´ementaire. Cette r´eciproque avait ´et´e ´enonc´ee et
d´emontr´ee par K. Uhlenbeck et S. T. Yau ([UY86, 89]) comme une ´etape
essentielle dans leur d´emonstration de l’existence d’une unique m´etrique
d’Hermite-Einsteindanstoutfibr´eholomorphestableau-dessusd’unevari´et´e
k¨ahl´erienne compacte. K. Uhlenbeck et S. T. Yau prouvaient ainsi la cor-
respondance de Kobayashi-Hitchin entre les fibr´es holomorphes d’Hermite-
Einstein et les fibr´es holomorphes semi-stables sur une vari´et´e k¨ahl´erienne
compacte.
Il ´etait d´ej`a connu, grˆace `a des r´esultats de S. Kobayashi et M. Lu¨bke,
que tout fibr´e d’Hermite-Einstein est semi-stable et se scinde en une somme
directe de fibr´es stables. Le r´esultat important de K. Uhlenbeck et S. T. Yau
affirme la r´eciproque, beaucoup plus d´elicate, `a savoir que tout fibr´e holo-
morphe stable E sur une vari´et´e k¨ahl´erienne compacte admet une unique
m´etrique d’Hermite-Einstein. La subtilit´e technique dansleur d´emonstration
consiste `a produire un sous-faisceau destabilisant deE, si une certaine suite
de m´etriques construites sur E ne converge pas pour d´efinir `a la limite une
m´etrique d’Hermite-Einstein. Ce probl`eme ´etait r´esolu par le th´eor`eme sui-
vant dont nous donnons une nouvelle d´emonstration.
Th´eor`eme 0.0.0.2 Soit (E, h) un fibr´e holomorphe de rang r muni d’une
∞m´etrique hermitienneC au-dessus d’une vari´et´ecomplexe ka¨hl´eriennecom-
2 ⋆ 2 ′′pacte X et π∈L (X, EndE) tel que π =π =π et (Id −π)◦D π =0E1 EndE
presque partout.
Alors il existe F ⊂ O(E) sous-faisceau analytique coh´erent de O(E) et
S⊂X sous-ensemble analytique de codimension≥2 tels que :
∞1) π ∈C (X\S,EndE)|X\S
⋆ 2 ′′2) π =π =π et (Id −π)◦D π =0, sur X\SE EndE
3)F =π (E )֒→E est un sous-fibr´e holomorphe deE .|X\S |X\S |X\S |X\S |X\S
La d´emonstration donn´ee par K. Uhlenbeck et S. T. Yau `a ce th´eor`eme
est extrˆemement technique et n’est pas tr`es instructive. Notre approche est
assez ´el´ementaire et ´etudie un (1, 1)-courant qui correspond a posteriori au
courant de courbure d’un fibr´e quotient de E.
Troisi`emepartie:versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆole
des masses de Monge-Amp`ere
Les efforts de recherche dans cette direction trouvent leur origine dans
la conjecture de Grauert-Riemenschneider ([GR70]) et dans ses solutions et
9g´en´eralisations. Le but est de comprendre la g´eom´etrie des vari´et´es com-
plexes compactes en termes de l’existence de fibr´es holomorphes (ou, plus
g´en´eralement, de classes de cohomologie de type (1, 1) non n´ecessairement
enti`eres) satisfaisant des conditions de positivit´e.
Le crit`ere de projectivit´e de Kodaira, caract´erisant la projectivit´e des
vari´et´es compactes en fonction de l’existence de fibr´es en droites amples,
est peut-ˆetre le premier r´esultat fondamental dans cette direction, datant
des ann´ees 1950. La notion d’amplitude elle-mˆeme illustre les liens profonds
entrelesaspectsalg´ebriqueetanalytiquedelag´eom´etriedesfibr´esvectoriels.
En fait, d’un point de vue alg´ebrique, un fibr´e en droites L sur une vari´et´e
⊗kcompacte X est dit ample si l’espace des sections globales de L d´efinit un
Nplongement de X dans un espace projectifP , pour k >> 1. L’amplitude
est ainsi d´efinie par l’abondance des sections globales. Du point de vue de
la g´eom´etrie diff´erentielle, le fibr´e en droitesL est dit ample s’il poss`ede une
∞m´etrique hermitienneC dont la forme de courbure est d´efinie positive. Ces
deux d´efinitions sont en fait ´equivalentes, et l’existence d’un fibr´e en droites
ample sur une vari´et´e compacte X est une condition n´ecessaire et suffisante
pour que X soit projective.
Lanotion de projectivit´e peutˆetre affaiblie en une version bim´eromorphe
donnantlieu`alanotiondevari´et´edeMoishezon.Unevari´et´ecompacteX est
dite de Moishezon si sa dimension alg´ebrique (i. e. le degr´e de transcendance
du corps K(X) des fonctions m´eromorphes sur X) est maximale, ´egale `a
n =dim X.Demˆeme,lanotiond’amplituded’unfibr´eendroitesauncorres-C
pondant bim´eromorphe plus faible, la notion de fibr´e gros. Alg´ebriquement,
le fibr´e en droites L sur la vari´et´e compacte X, dimX =n, est dit gros si la
0dimensionh (X, mL) des espaces de sections globales de ses puissances ten-
⊗m nsorielles L est d’ordre de croissance maximal, `a savoir m , pour m>> 1.
0 ⊗m ⊗mAinsi, l’espace H (X, L ) des sections globales de L d´efinit un plonge-
ment bim´eromorphe deX dans un espace projectif, pour m>>1. L`a aussi,
des ´equivalents analytiques existent.
Leplusremarquableestceluidonn´eparY.T.Siu([Siu85])end´emontrant
uneversion g´en´eralis´ee delaconjecture deGrauert-Riemenschneider. Elleaf-
firme qu’un fibr´e en droitesL sur une vari´et´e compacteX est gros d`es queL
∞poss`ede une m´etrique hermitienne C dont la forme de courbure est semi-
positive partout et d´efinie positive en un point. Un r´esultat compl´ementaire
de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]) affirme que l’existence d’une m´etrique her-
mitienne, ´eventuellement singuli`ere, dont le courant de courbure est stric-
tement positif (courant k¨ahl´erien dans leur terminologie), est une condi-
tion n´ecessaire et suffisante pour qu’un fibr´e en droites L → X sur une
vari´et´e compacte soit gros. Cette deuxi`eme caract´erisation ne demande plus
la r´egularit´e de la m´etrique hermitienne, mais demande en contrepartie une
condition plus forte de positivit´e.
Un progr`es substantiel dans cette direction a ´et´e fait en 1985 par J.- P.
Demailly([Dem85])peuapr`esler´esultatdeY.T.Siu([Siu85]).Sesin´egalit´es
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