Rappelons quelques faits et dénitions on ernant les L∞ algèbres avant de donner une introdu tion la théorie des déformations qu'on va développer dans le Chapitre

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Résumé L∞-déformations Rappelons quelques faits et dénitions on ernant les L∞-algèbres avant de donner une introdu tion à la théorie des déformations qu'on va développer dans le Chapitre 1. L∞-algèbres Une L∞-algèbre sur un anneau k de ara téristique 0 est par dénition un module Z-gradué L muni d'une suite µ? = (µn)n≥0 de morphismes µn : L?n ?? L gradués antisymétriques de degré 2?n telle que, pour haque n ≥ 0 et a1, . . . , an ? L, on a la ondition suivante: ∑ k+l=n+1 ∑ ??Sh(k,n) (?1)k(l?1)?(?)µl(µk(a?(1), . . . , a?(k)), a?(k+1), . . . , a?(n)) = 0 (?n) I i, Sh(k, n) dénote l'ensemble des (k, n)-shues, 'est-à-dire l'ensemble des toutes les permutations ? ? ?n telles que ?(1) < . . . < ?(k) et ?(k + 1) < . . . ?(n). Le terme ?(?) = ?(?, a1, . .

  • ll ll

  • proje tion

  • l?

  • l∞-algèbres

  • atégorie des l∞-algèbres

  • déformation

  • morphisme

  • morphismes gradués


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 18
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 122
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L∞
L∞
L L k 0∞ ∞
⊗nZ L = ( ) :L −→L∗ n n≥0 n
2−n n≥ 0 a ,...,a ∈L1 n
X X
k(l−1)(−1) χ(σ) ( (a ,...,a ),a ,...,a ) = 0 (∗ )l k nσ(1) σ(k) σ(k+1) σ(n)
k+l=n+1σ∈Sh(k,n)
Sh(k,n) (k,n)
σ∈ Σ σ(1) < ... < σ(k) σ(k +1) < ...σ(n)n
χ(σ) =χ(σ,a ,...,a )1 n
a ∧...∧a =χ(σ)a ∧...∧a .σ(1) σ(n) 1 n
L (L, ) = 0∞ ∗ 0
(∗ ) (L, ) (∗ )1 1 2
(∗ )1 2 3
(L, )2
L3 ∞
L∞
L∞
L∞
(L, )∗
S(L[1]) L[1] L M := L[1] n

la


suiv
R?sum?
es
-alg?bre
osons
sur
ortan
un
une
anneau
bar
de
?

app
est
-alg?bres
par
un
que
th?orie
telles
que
d?nition
an
un
donner
mo
t
dule
qu'on
utations
.
erm
Gr?ce
p
DGL
les
t
toutes
th?orie
des
on
ble
qui
l'ensem
ob

?quiv
ues,
asso
-sh
alen
-gradu?
et
m
une
uni
Le
d'une
le
Souv
sym?-
en
d?formations
t
de
on
le
ne
v

DGL
que
fait
les
t,
suite
et
des
-alg?bres
-alg?bres
r?le
ble
dans
l'ensem
d?formations:
d?note
jet
de
eut
morphismes
DGL
gradu?s
erne
telles
d?formations.
que
on
an
des
tisym?triques
te
de
DGL
degr?
resp
.
t
Dans


Construction

La
la


de
Ici,
in
telle
une
que,
don
p
dule
signie
l'alg?bre
juste
tro
que
th?orie
our
le

a
haque
.
et
dans
,
1.
on
morphismes
est
a
un
eler
DG
alg?bres).
mo
au
dule,
g?n?ral
la
an

les
a
alg?bres
la
les

a
suiv
jouen
signie
un
que
imp
an
t
par
la
est
des
une
?
di?ren
ob
tielle
donn?,
vis-?-vis
p
du
asso
pro
une
duit
alg?bre
te:
gouv
d?ni
sa
.
des
La
Deux

jets
est
t
qui
th?orie
signe
d?formations
le
alen
signie
d?s
que
leurs
est
alg?bres
-d?formations

Rapp
ectiv
elons
son
quelques
?quiv
faits
tes
satisfait
v
la
-alg?bres.

bar
de
morphismes


p
asso
our
?
les
t
alg?bres
-alg?bre
de
une
Lie
terme
et
.
1
DG
ho-
libre
motopie
t
(donn?e
mo
par
sous-jacen
d?nitions
est

gradu?e
)
trique
pr?s.

Donc
la
les
des
t
sur
les
shifting
-alg?bres
v
g?n?ralisen
d?v
t
elopp
les
P
alg?bres
er
de
et
Lie
Chapitre
di?ren
-alg?bres
tielles
Les
gradu?es
Une
(qu'on
gradu?es
?M n ⊗nQ :↓ ↑ :M −→Mnn
M1 (Q )n≥0n
MQ S(M) (∗ )n n≥1
M 2(Q ) = 0
L L∞ ∞
′ ⊗n ′f :L−→L L f :L −→L∞ n
n(n≥ 1) (1−n) (↓ f ↑ )n n≥1
′S(L[1])−→S(L[1])
L∞
M(M,d ) (L,d,[,])
f : M−→ L ∗
ML M =d f :M−→L L∞ 1 ∗ ∞
f =f1
L H (L,d,[,])∞
(L,d)
H∗
η (L,d)
2 ⊗nη = 0 ηdη =η dηd =d :H −→n
H (2−n) L H∞
: = 01
: = (1−dη)[,]2
...
X−1 n−1 : = ( ) e(φ)φ((1−[d,η])[,],η[,],...,η[,])◦αn n2
φ∈Otn
φ n
φ((1−[d,η])[,],η[,],...,η[,]) n
(1− [d,η])[,] φ η[,]
φ α e(φ)n
φ
f :H−→L
t
qu'
nous
est
L
scind?.
et
Ce
te
r?sultat

a
la
?t?
morphismes
obten
asso-
u
homotopie
par
end
des
il
m?tho
DGL
des
es

mo
es.
On
En
-lin?
vue
par
des
acine
applications
autr
?
de
la
On
th?orie

des
?quiv
d?formations,

on

v
sur
oudrait
de
a
DG
v
libres.
oir
trer
une
?
description
d?signe
explicite
est
d'une
bilin?
telle
-alg?bres

Une
un
pr?s
morphisme
1.1).
sur
ation
de
(v
.
un
Dans
om?trie

une
th?se
de
on
une
d?mon
d'homotopie,
tre
est
le
ainsi
r?sultat
et
suiv
est
an
en
t:
p
Th?or?me
les
0.0.1.
es
Soit
feuil
-alg?bres
et
un
si
scindage
un
du
d?nit

si
omplexe
eut
est
DGL
une
alen
morphisme
dules,
un
forme
d?nit
e
satisfaisant
e
les
la

e
onditions
don-
suite
de
de
imp
morphismes
la
gradu?s
l'arbr
,
la
sym?triques
alg?bres
de
?
degr?
r
telle
oir
que
symb
C'est-?-dire
d?signe
et
fonctorielle.
mani?re
t
qui
2
la

que
le
t
.
du
L
ondance
es
La
morphismes

gr
existe
t
alors
antisym?triques

don
une
d?nissen
bar
t
donne
des
une
la
si
suite
alg?bre
morphismes
une
gradu?s
ondance
sym?triques
e
de
Ici
de
somme
gr
orte
?
tous
de
arbr
degr?
binair
.
tre
Une
les
telle
les
qui
-alg?bres
suivent
les
d?nissent

une
dule,

DG
e
est
de
On
alg?bre
les
DGL
de
-alg?br
que,
e
mon
sur
p
d'une
alg?bre.
:
une
suite
ts

?quiv
la
homotopiquemen
sur
mo
-alg?bre
la
d?nit
DG
de
air
de
qui

donn?
la
en
de

l'existence
forme
t
air
obtien
les
on
n?e
particulier,
est

-alg?bres
Comme
de
.
ortan
mani?re

unique
?
une
r

de
que
e
tel
et
alg?bres
forme
-
?
d?riv
DGL
ation

de
toute
sur
e
et

la
de
suite
.
de
e

ole
est

morphisme
l'antisym?trisation
un
DG
existe
telle
il
est
et
signe
?quiv
d?p
alen
de
te
g?
?
de
la
.
que
obtien
telle
aussi
seule
description
sur
morphisme
-alg?bre


devien
.
adu?s
:
et⊗nf :H −→Ln
(1−n) L H−→L∞
f :=1
f :=−η[,]2
...
X−1 n−1f :=−( ) e(φ)φ(η[,],...,η[,])◦α .n n
2
φ∈Ot(n)
L∞
A∞
L∞
c
A C
f e
d
B D
L f∞
e f e
L g : B−→ C L∞ ∞
A C
~~g ~~~~~
B D
A := C := H B := L L H
g : L−→ H
g◦f = Id H LH
F := Kern(1−[d,η]) H = Kern([d,η])
(L,d)
∼(L,d,[,]) (H, )⊕(L,d,0)= ∗
L∞
L∞
L∞

surje
dans

le
et
-alg?br
scind?,
ommutatif
(c)
les
soit
analogue
L
l'existence
soit
tre
0.0.2.
de
est
d?nissent
un
y
Th?or?me
?t?
M1
dans
-quasi-isomorphisme.
on
A
DGL-alg?bres
lors
osition
il
pr?cis:
existe
un
un
gr
morphisme
qui
3
Prop
R?sum?
e
l'axiome
isomorphisme
satisfait
K.Lef?vre
-alg?bres
e
:
mo
de
gorie


de
sur
-alg?br
-quasi-isomorphisme
es
d'?quiv
tel
qu'on
que
on
tout
r?sultat
le
0.0.4.
diagr
amme
amme/
//
ompl?ment/
0.0.3.
la
une
our
.
que
alors/
th?se/

est
?>
-alg?bres>
our
th?orie
Le


our

p
our
utile
Une
t
que
extr?memen
v
est


Quillen
ommute.
tre
En
une
p
sur
osan
DGL
t,
elle
dans
0.0.3,

mon
diagramme
le
qui
plus
fait
Th?or?me
Un
Soit
osition


diagr
de
antisym?triques
Th?or?me/
et
de
Un
es
?
morphisme
le

,
de
o?/
(b)
suivent
et
Soit
scind?,
osition
son
-alg?bres:
t
-?

dans
et
p
est
prouv
le

Il
Th?or?me
a
0.0.2
un
on
on
obtien

t
et
l'existence
[28
d'un
par
morphisme
prouv

a
inje

est
les
morphismes
p
morphisme
fait
le
d?les.
tel
des
que
les
(a)
la
que
at?
osons
des
Supp
p
es.
es.
-alg?br

gr
est
.
si
Donc,
tra
adu?s
aille
est
un
un
alors

d'un

de
de
en
de
deux
.
d?nit
En
relation
utilisan

t
la
de
des
nouv
alg?bres
eau
app
la
Prop
hoisis
-?quiv

enL∞
K
nX (K ,0)
i 0 nK M =⊕ M M = Ki≥0
MQ S(M) X
0 1 0 1M −→M k≥ 0 f :M −→Mk
Mx7!Q (x,...,x) X
k
X 1
f := f .kk!
k≥1
M(M,Q )
MX (M,Q ) L∞
L L∞ ∞
M(S(M),Q )
M(M,Q )
S(M)
M B(M,Q ) (B,Q )
M B(M,Q ) (B,Q ) Q B×M
Q| = 0{0}×M
M B˜Q :=Q +Q +Q B×M
2˜Q = 0
B×M−→B
M B(M,Q ) (B,Q ,Q)
M˜B×M−→M Q Q
Mb S(B) Q +Q(b, )
MQ M
BQ (b) = 0
′B ′ B ′(B,Q ,Q) (B,Q ,Q)
B˜(F,f) F (B×M,Q := Q +

t
est
une
g?om?trique
suggestion
and
de
morphisme
K
v
on
si
tsevic
la
h,

p
paragraphe
our
On
une
analytique
DG
.

et
libre
t
an
est
Suiv
v
-quasi-isomorphismes.
que,
les

ar
t
p
les
es
un
-alg?br
d?note
des
des
,
gradu?e
on
est
app
tielle
elle
les
le
P

un
gorie
germe
at?
eut

sup
la
sur
de
DG
alisation
v
une
d?formations
DG
ose
v
Chapitre
ari?t?
utilisan
formelle
un
.
formelles

ari?t?s
app
de
elle
formelles.
les
d?formation

de
d?riv

ations
telle
sur
la
lo
d?forma-
la
triviale
dans
pro
singularit?s

des
resp
(sup
v
er)
ectoriel

un
hamps
de
v
il
ectoriels
,
.
dans
D?formations
qui
Soien
in
t
erturbation
des

gorie
singularit?
at?
,

t
la
si
de
mon
et
.
foncteur
tre
un

existe
est
Il
supp
0.0.5.
Dans
osition

deux
une
DG
-alg?bres
v
terpr?tation
ari?t?s
en
formelles.
v
Une
e
d?for-
et
mation
DG
de
morphisme
Prop
DG
dit:
ari?t?s
t
On
Autremen
une
pr?s.
de

l'application
?
z?ros
base

?quiv
triplet
-
que
?
libre
d?ni

t
sur
uniquemen
Une
est
tion
un
dite
sup
,
er
la


hamps
di?ren-
v
une
ectoriel
ec
est
ecte
sur


a
le
gradu?
plus,
.
tel
our
que
?l?men
(i)
v
En
-espace
.
existe
?
x?,

bre
asso
lisse
alytique
le
an-
plong?e
l'alg?bre
_
de
p
.
?tre
(ii)
terpr?t?e
Le
p
sup
du
er
er

hamps
hamps
ectoriel
v
toute
ectoriel
our
yurina
mais
T
seulemen
de
une
r?solution

une
p
t
trer
pr?dualisan
a
en
On
t
Un
obtien
en
On
les
est
z?ro.
une
de
DG
un

que
sur
et
de
on
z?ros

des
2:
,
du

une

est
est
paire
Alors
en
.
des
l'application
o?
.
est
(iii)
morphisme
La
tre
pro
DG

ari?t?s
soit
l'in
,
motiv
our
singularit?s
p
formelles
C'est-?-dire:
v
.
4
est
OnM ′ ′ B M ′˜Q +Q) (B ×M,Q := Q +Q +Q) f
′B ′ B(B,Q ) (B,Q )
′B×M B ×M
′B B
M LLLLLLLLLLL
′B×M B ×M
U M(U,Q ,Q) (M,Q )
B ′(B,Q ,Q)
B ′ U(F,f) : (B,Q ,Q)−→ (U,Q ,Q) f
U(U,Q ) L = Coder(S(M))
Q U×M
U
Q (u,m ,...,m ) := (↑u)(m ,...,m )n+1 1 n 1 n
U M 2u∈ U m ∈ M (Q +Q +Q) = 0i
U M(U,Q ,Q) (M,Q )
B ′ M(B,Q ,Q) (M,Q ) f :B−→U
′(↑f (b)) (m):=Q (b,m)r s r+s
⊙r ⊙sb∈ B m∈ M (f×Id,f)
U M(U,Q ,Q) (M,Q )
V M(V,Q ,Q) (M,Q )
B ′(B,Q ,Q)
B ′ V(B,Q ,Q)−→ (V,Q ,Q)
V V(V,Q ) Q = 01
Th?or?me
mon
dans
a
diagramme
v
erselle
On
universel
.
dite
,
d?formation
donc
morphisme
le

triplet
le
et
de
our
?quiv
p
a
R?sum?

5
de
et
obtien
et
triplet
te:
de
est
est
bien
semi-univ
une&
an
son
trer
p
suiv
s'il
mani?re
un
la
les
de
d?formation
)
si
est
minimale,
.
d?nit
P
d?formations.
our
le
une
L
d?formation
la
arbitraire
unique.
dans
une
lin?aire
de
est
o?
(qui
Une
un
Une
morphisme
en/
sur
Deux
tre
dites
de
erselle
ectoriel
toute
v
tes
hamps
des

il
er
morphisme
sup
il
,
sens.
on
erselle
d?nit
autre
un
d?formations
morphisme
p
le
dite
D?nissons
que
.
univ
t
un
tangen
de

On
en
t
p
th?or?me:
osan
0.0.6.
t
e
elle
d?formation
s'app
de
qui
La
les
mani?re
DG
est
v
d?formation
ari?t?s
le
formelles
d?ni
et

tel
et
que
.
le
d?formation
diagramme
erselle/
d?formation/&
alg?bre/
DGL

la
ute.
de
d?formations
t
est
semi-univ/
si,
p
our
our
d?formation/
alen
est
,
shift
existe
le
morphismes
par
,
et
existe
donn?e
morphisme
est
un
base
y
Sa
,
texte.
deux
.
La
Ensuite,
univ
on
Une
prouv
d?formation
e
haque
que
de
la
et
paire
our

si,

univ
dans
est
naturelle

tr?s
est
que
erselle
est
d?formation
.
deL = Coder(S(M))
VL H L = Coder(S(M)) (V,Q )∞ ∗
(H, )∗
V ′V −→ U (V,Q ,Q)
U V V ′(U,Q ,Q) (V,Q ) (V,Q ,Q)
U V ′(U,Q ,Q)−→ (V,Q ,Q)
V ′ M(V,Q ,Q) (M,Q )
X
S
X
X
M(M,Q ) X
V
X
MV (M,Q )
naiveC (A) k A•
naive ⊗n+1A C (A) :=A n≥ 0n Pn⊗n+1 ⊗n ib : A −→ A b (−1)dn ii=0
d :a ⊗...⊗a 7!a ⊗...⊗a a ⊗...⊗a ,i 0 n 0 i i+1 n
0≤i<n
d :a ⊗...⊗a 7!a a ⊗...⊗a .n 0 n n o n−1
naiveHH (A/k) A k•
est
explicite

une
sut
singularit?

formelle
eut
de
on
qui
0.0.7
est
de
la
la
base
.
d'une
e
d?formation
(formelle
semi-univ
singularit?s.
erselle
,
de
semi-universel
erselle
altern?e
.
Th?or?me
Comme
osition
expliqu?
une

d'une
p
hangemen
our
p
une
ergen
singularit?
-alg?bre
semi-univ
-alg?bres,
,
formelle
il
appli-
existe
,
une
d?formations
DG
an
v
de
ari?t?
le
for-
L
melle
Donc
d?formation
et
une
utilisan

de
a
sur
v
de
On
un
qui
soit

par
tien

t
d?nit
6
donn?e
plexe

de
d'une

est
hild.
de
ersemen
par
t,
d?formations
il
la
existe
le
un
2,
foncteur
Dans
mation
t
qui
te
asso
Application

mani?re
un
:
germe
di?ren

la
formel
osons
?
tangen

d?formation
haque
morphismes
DG-v
obtien
ari?t?
osition
qui
nouv
est
Th?or?me
de
la
dimension
r?alis?
nis

en
il

p
haque

degr?.
Le
On
la
v
semi-univ
a
y
prouv
erselle,
er
Un
qu'une
de
d?formation
L'homologie
semi-univ
Ho
erselle
que
formelle
est
de
hild
univ
la
est
te)
donn?e
v
par
ou
le
isol?e
foncteur
singularit?
partir
une
appliqu?
le
?

une
our
d?formation
d?ni
semi-univ
P
erselle
de
de
des
Comme
th?orie
.
?
de
Th?or?me
la
quera
v
on
mani?re
Chapitre
d'une
le
obtenir
singularit?s
l'homologie
don
Ho
la

osan

de
hild
aux
Le
le.
th?or?me
est
HKR
suiv
Rapp
te
elons
sup-
le
la
th?or?me
tielle

est
de
somme
Ho
p

que


hild,
t
K
scind?.
ostan
a
t
des
et
0.0.7.
Rosen
t:
b
on
erg
0.0.3.
et
Prop
sa
eau
preuv
de
e
0.0.4
dans
du
le


t
particulier
en
o?
?tre
l'on
p
ne
d?formations.

Alors
que
existe
des
-structure
alg?bres
our
libres,
la
a
de
v
et
an
shift
t
donne
d'expliquer
base
les
d?formation
g?n?ralisations
morphisme
de
ait

qu'il
th?or?me
il
qu'on
semi-univ
v
erselle.
a
c
d?mon
t
trer
base
au
le
Chapitre
na?v
3.
de
Le


hild
na?f
our
de
minimale,
a
morphisme
une
?
Ho
d?formation


erselle
de
d?for-
sur

est
Cohomologie
du
de
.
na?f

Ho
sous-espace.

In
vbarR :=A⊗ A C (A) A k Rk •
bar ⊗n+2C (A) :=A nn Pn−1′ ′ ib b := (−1)din i=0
bar • barA R C (A) := C (A)−•
R
naive bar∼C (A) C (A)⊗ A,= R
A R : R−→ A A
k A R
naive R∼HH (A) Tor (A,A).=n n
barA k k[x ,...,x ] C (A)1 n
A R
1K(X) R X ={ (x ⊗1−1⊗x )|i = 1,...,n}i i2
barK(X)−→C (A)
R ⊗ AR
naive •K(X)⊗ A−→C (A) K(X)⊗ A ∧ ΩR R A
A =k[x ,...,x ]1 n
• naive∧ Ω −→C (A),A •
•∧ ΩA
naiveA ∧Ω C (A)A
∧ΩA
N−→ Alg N
N
A

i BB = B di≤0
g(a)g(b) B B g(a) Bab = (−1) ba d (ab) =d (a)b+(−1) ad (b) a,b∈B
tensoriels
de
une
morphisme
d?nie
un
appartien
de
orte

our
-mo
nerf
dule
Dans
plats.
par
On
erra
On
d?ni

d'alg?bres,
bien
foncteur
Dans
_
oir
.
par
r?guli?re
en

tielles
et
d'une
obtien
tielle
t
r?solution
un
osan
quasi-isomorphisme
de
la
our
par
des
donn?
,
,
(un
sur
1
oszul
t
K
faut
de



le
pro
t,
par
notammen
mo
,
en
sur
analy-
de
d'une
naturelle
m
r?solution
degr?
DG
,
.
bar
L'observ
di?ren
ation
t
que

deuxi?me
.
une
homog?nes
a
complexes
y
p
il
ue
,
La
standard
sur
est
etite
?gale
plexe
au
applications


r?solution
d'un
la

part
(3)
?
que
donne
?

top
t
ple
le
alg?bres
th?or?me
exemple,
HKR
tensoriels
p
?tre
our
pro
les
et
alg?bres
de
libres:
K?hler
Th?or?me
?tre
0.0.8.

Pour
1
,
gradu?e
libre
une
-alg?bre

la
d'une
est
que
Si
telle
l'isomorphisme
on
d'o?
de
,
est
sur
.
de
est
plate
de
r?solution
-i?me
une
,
,
-
on
est
a
bar
un
,
quasi-isomorphisme
?l?men
est
7

des
bar

le

alors
our
dule,
foncteurs
-mo



plat
.
est
o?
Si
est
.
p
ultiplication

m
com-
la

par
les
dule
g?om?triques,
o?
appara?tra
-mo
le




est
d'un
est
(v
muni

de
Il
la
admettre
di?r
alg?bre
entiel
t
le
une
triviale.
d'alg?bres
En
ologiques,
vue
exem-
des
la
applications
des
g?om?triques,
analytiques.
on

g?n?ralise
les

duits
th?or?me
doiv
dans
t
trois


des
tions:
duits
(1)
analytiques,
Il
les
faut
dules
admettre
di?ren
que
de
o?
doiv
est
t
une

DG
leur
alg?bre
treparties
libre.
tiques.
Dans


alg?bre

DG
l'isomorphisme

est
aussi

p
et
,
bar
uni
le
di?ren
et
le
hild
de

1,

que
Ho
v
de
mais

sur
son

t
une
bigradu?s

et
Le
seulemen
par
t
et
la
tielle
di?ren
la
tielle
te
v


la
de
don
le
par
tre
alg?bres,
en
de
est
le
triviale.
sur
(2)

Il
Le
faut
osons
g?n?raliser
p
la
des
DG
ts
v
P
ersion
R?sum?
p
applique
.
leR X⊆ R
X R
R[E] E
x∈ X e(x) (g(x),−1)
e(x)7!x
K Q
X⊆ R I R X
nY ⊆X ∩ I R/(Y) = 0 Xn≥1
T
x ∈ X t(x) x R/I[T] −→
2gr (R) =R/I⊕I/I ⊕... R/I t(x) xI
2I/I R/I
x∈X J⊆R
Y⊆X x62Y g(x) x
R/J g(x) x
R/J x
K(X) R/(X) R
−1H (K(X)) = 0

A = k[x ]i i∈I
1R :=A⊗ A (x⊗1−1⊗x )k i i2
X⊆R
K(X) X R A
R
barK(X) −→ C (A) R
A R
bar naive∼∧Ω K(X)⊗ A−→C (A)⊗ A=C (A)=A R R
(0,+1)
DG
our
sous-
un
On
?l?ment
our
p
dans
ontient
les

toujours
qui
tielle
du
haque
m?me
un
de

gr
tensorisation
?
gradu?es
que
est
es
On
.
la
L
de
e
formen
morphisme
Donc
libr
DG
e
double
d'alg?br
qui
ateurs
e
g?n?r
t
de
gradu?e
ensemble
g?n?ralise
un
v
Soit
la
(i)
suit
satisfaite:
est
est
alg?bre
suivantes
,
quivalentes
t
?
t
quivalentes
t,
?
r?guli?re
onditions
D?nition

K
des
sur
une
libre
moins
e
au
de
si
le
,
ne
e
tales.
guli?r
an
de
on
?
2
r
et
e
si
-alg?br
K
es,
La
qui

applique
graduation


s?

une
0.0.8
el?
Si
sur
par
la


une
de
alors
app
don
dans
est
est
libre
lors
?l?men
A
forme
.
un
est
our
un

isomorphisme
une
d'alg?br
g?n?rateurs
es
sens
di?r
Th?or?me
entiel

les
ble
gr
de
adu?
est
es
libre
sur
3
a
un
on

,

.
K
(ii)

Pour
dules


?l?ment
ecte
sous-ensemble
tielles

on
our
remarquable
et
:

d?nit
id?
on
al
morphisme
p
ble
que,
est
osons
utativ
g?n?r
une
Supp
utativ

les
p
ar

un
(1),
sous-ensemble
g
.
graduation.
ar
alg?bre
p
une
tel
e
que
alg?bre
?
e
engendr
totale
dans
bidegr?
,
8
on

a
:
la
donne

.
ondition
d?nie
suivante:
4
si
v
al
est
l'id?
DG
soit
libre,
et
di?ren
est
t
p
et
air,
bidegr?
alors
une
sous-ensemble
alg?bre
n
don
'est
les
p
ts
as
la
un
de
diviseur
?l?men
de
,
z?r

o
p
dans
tien
un
qui
Soit
t
.

.
libres
Si
de
ontient
le

de
ase
et
b
0.0.9.
est
le
imp
de
air,
oszul
alors
ensem
l'annulateur
est
de
o?
de
,
dans
une
au
r?solution
l'anne
de
que
sur
est
.
l'id?
a
al
morphisme
g?n?r
utativ
?
gradu?e
p
l'alg?bre
ar
sur
la
oszul

de
de
de
osons
de
.
-mo
(iii)
gradu?s,
L
par
e
tre

resp
omplexe
pas
de
di?ren
Koszul
horizon
Supp
Mais
0.0.9.
observ
Th?or?me
l'eet
et
suiv
est
t
une
apr?s
DG
par
r
sur
?solution
,
de
obtien
D?nition
un
e:
,
utativ
g-ni

ensem
gradu?e
un
sur
si
alg?bre
e
.

(iv)
alg?bre
une
est
dans
es:
r?guli?res


alg?bres
des
our
te
oszul
an
de
suiv
la

on
et
2
d?nition
lettre
.
d?note
En
la
utilisan
3
t
une
l'implication
a
(ii)
ec
la
double
(iii)
n?gativ
de
qui

une
th?or?me,
gradu?e
on
utativ
d?mon
par
trera
graduation
une
4
DG
de
v
r?aliser
ersion
P
du
Th?or?me
?
pN I {i}∈N
i∈I ∅62N α∈N β⊆α β∈N
N
C
NN −→C C
C gr(C)
(C,M)
C M
C M
(C,M) C K M
C
(C,M) C
C
M
C
n
nId :C−→ ( )C
N
NA gr(C)
(C,M)
naiveA C C (A)
C
naiveC C (A) A
a k
A a k R := A⊗ Ak
S A R H(a/k) a k
S⊗ a K(M(a)) H(a/k)R
K(M(a))
(non
par
telle
(p
les
our
DG
les
our

ts
plus
Soit
pr?cis,
En
v
ainsi
oir
hild

don
3.1.2).
si
En
On

bles
3.1,

nous
L
allons
e
in
o?
tro
ariance
duire
une
des
duits
b
Ho
onnes
les
paires
sur
de
un


?
DG
t

appartien
.
z?ro
les
degr?
Th?or?me
qui
di?ren

9
t
-compatible.
en
p
une
DG

t
de
de
d'alg?bres
seuls
et
de
une
son

p
de
le
mo
une
dules
implique
te
oudrait.
sur

les

alg?bres
our
dans
-mo
osan

qui
D?nition
satisfon
-alg?br
t
ensem
une
sous-ensem
liste
Choisissons
d'axiomes,
de
disan

t
et
par
omme
exemple

que
la


est
d?ni
une
aussi

la
additiv
mani?re
e
obtien
dans
Th?or?me
laquelle
le
il
est
existe
dans
des

pro
L'in
duits
du
tensoriels.

Les
son
exemples
t
les
onne
plus
don
imp
duits
ortan
des
ts
top
son
les
t:

(1)
na?f
La

paire
engendren
la
Les
t
pas
don
qu'on
es
ar
tativ
est
o?
alg?bres
u-
,
est
et
la
haque

n'est
des
de

pro
-alg?bres
donc
(No
Ho
eth?riennes)
mo
et
Th?or?me
gradu?es
une
la
Choisissons

?so-
des
d'un
mo
p
dules

sur
sim-
les
plus
alg?bres
?solution
dans
sur
alg?bres
d?nit
.
de
(2)
:
La
g?n?ralisations
paire

des
qui

dans
la
gorie
d?note
g?n?ralisation
On
prouv
,

o?
horizon
.
est
est
un
la
anonique)

resp
des
dans
alg?bres
preuv
analytiques,
d'une

d'alg?bres
les
On
alg?bres
t
des
le

0.0.8
sur
our
un



de
une
Stein.
alg?bre
Dans
une

P

les
les
.
alg?bres
v
dans
d'homotopie
par

son
Ho
t

m
Si
uni
morphismes
d'une
les
top
est
ologie
b
DNF
paire
(duale

n
t
ucl?aire
pro
de
tensoriels
F
t

pro
het).
tensoriels
Et
ologiques,
ts
our
est
alg?bres
par
dans
d?nition
,
la


de
des

DNF
hild
mo
t
dules
de
sur
?l?men
les
.
alg?bres
n'a
dans
toutes
arian
propri?t?s
.
v
Une
P
v
exemple,
pr
et
de
la

des
g?n?rateurs
analytiques
dans
que

le

telle
texte
que
est
,
une

alg?bre
p
qui
pas
repr?sen

te
que
un
dules


du
d?nit
foncteur
un
foncteurs
de
des


hild
la
di?:
d?note
et
on
0.0.10.
dules),
telle
mo
ble
de
e.
ensem
une
bles
r
(o?
lution
qui
de
est
sur
d?ni
et
par
osons
un
de
marquage
une
(v
plicial
oir
.

en
3.1.1).
une
P
r
our

obtenir
un
les
d?nit
g?n?ralisations
On
(2)
le
et
omplexe
(3),
Ho
on
On
v
(3)
a
(2)
r?duire
de
la
sur
preuv

e
l'objet
esquiss?e


0.0.8.
sur
la
les
at?
axiomes
d'homotopie
qui
du
d?nissen
DG
t
e
les
.
b
e
onnes
omplexe
paires
tales.
de
tielles

les
En
bien
plus,
?
on
isomorphisme
v

a
dans
faire
ecte
toutes
qui
les
R?sum?

alg?bre
?s.
libreLa/k
Ω ⊗ a K(M(a))A A
K(M(a))
∧L −→ H(a/k)a/k
K(M(a))
A
S
S⊗ a−→∧Ω ⊗ aR A A
gr(C)
S−→
bartotC (A) R
naiveS⊗ A≈ totC (A)≈∧ΩR A
⊗ aA
Nk−→a gr(C) C
N
X X =∪ Xi∈I i
N :={α⊆I|X :=∩ X =∅}.α i∈α i
X := (X ) p : X −→ X β ⊆ α∗ α α∈N βα α β
N−→ ( ) X ∪Xi
OX∗
F = (F ) F O∗ α α∈N α Xα
∗p F −→F α⊆βα βαβ
O AX ∗∗
N(K−Mod) A A := Γ(X ,O )∗ α α Xα
prouv
fait
t
Ce
a
tes.

alen

?quiv
-mo
sur
famille
t
il
.
vremen
On
dans
obtien
p
t
prouv
des
les
quasi-isomorphismes
morphisme
homotopiquemen

t

son
sc
alg?bres
anes,
DG
des
de
un
morphisme

d'un
t
g-ni

libres
o?
r?solutions
une
DG
t
deux
d?nition
que
a
fait
des
le
p
sur
?tre
bas?e
t
est
Si
d'homotopie
du
ariance
par
de
?tudier
DG
dules,
alg?bres
gorie
libres.
o?
P
de
our
morphismes
le
a
deuxi?me
:
quasi-isomorphisme,
des
on
est
utilise
-mo
la

DG
d?ni
v
un
ersion
don
du
morphismes
Th?or?me

0.0.8.
Comparons
L'application
v
du
,
foncteur
ec
_
d?nition
v

l'in
p
de

terminera
p
la

preuv
v
e.

On
our
g?n?ralise
est
les
et
D?nition
un
et
ouv
Th?or?me
sc
0.0.10
v
et

le

Th?or?me
la
0.0.11
l'ob
p

our
.
les
haque
morphismes
un
e
-mo
preuv
ec
La
K
alg?bre
isomorphisme
dans
Il
homologique
0.0.11.
et
qui
quasi-isomorphisme
La
un
an
existe

10
?
,
th?or?me
o?
dans
il
Nous
appartien
t
t

?
?galemen
une
dans
b
?
onne

paire
t
de
seules

son
et
les
o?
La


est

un
a

ec

un
Sc
la
h?mas
v
et
les

et

r?solutions
La
hoix

haque
du
our

,
de
our
Ho
faut

,

eut
hild
vue
p
foncteur
our
tra
les
arian
(morphismes
th?or?me,
de)
er
sc

h?mas
.
No
P
eth?riens
un
[2
h?ma
.
.




ressem
t
ble
ert
?
des
la
h?mas

on
du
a

la
tangen
des
t.
t
P
-mo
our

un


familles
de
jet
et
at?
un
la

dans
t
P
I.8.4

Th?or?me
ar
oir
est
(v
th?or?me
r?solutions
Bingener
DG
dule
de
v

de
,
et
le
osarew
nerf
le
du
un

y
t
,
est
our
d?ni
Th?or?me

,
de
son
th?or?me

le

ar
t
P
suiv
d'homotopie.
dules

tes
?quiv
isomorphe
une
la
est
de
qui
le
on
dules
le
er
g?n?ralisera
allons
p
pr?s.
our

dans
,
les
est6
est
b
par
onnes
u
paires
bien
de
isomorphisme
bien
en
est
d?ni
est
Le
nerf
et
les

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