Solutions auto similaires et espaces de donnees initiales pour l'equation de Schrodinger

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Solutions auto-similaires et espaces de donnees initiales pour l'equation de Schrodinger Fabrice Planchon ? Resume. On demontre que pour des petites donnees initiales dans B˙ 1 2 ,∞ 2 (R 3), l'equation de Schrodinger non lineaire cubique admet des solutions bornees en temps a valeur dans cet espace de Besov. Ces solutions sont autosimilaires lorsque la donnee initiale est homogene de degre ?1. Abstract. We show that for small initial data in B˙ 1 2 ,∞ 2 (R 3), the cubic nonlinear Schrodinger equation has solutions which are bounded in time taking values in the same Besov space. these solutions are self-similar when the initial data is homogeneous of degree ?1. Introduction On considere dans cette note le probleme de Cauchy pour l'equation de Schrodinger non lineaire cubique suivante : { i∂u∂t + ∆u = |u| 2u, u(x, 0) = u0(x), x ? R3 , t ≥ 0, (1) ou est indifferemment 1 ou ?1. Dans des travaux recents ([3, 4]) il a ete montre comment construire des solutions auto-similaires pour ce systeme, en considerant des donnees initiales (assez petites) telles que sup t t 18 ?S(t)u0?4 < ∞,(2) S(t) etant le groupe de Schrodinger et ? · ?4 la norme L4.


  • paire d'exposants duaux

  • donnees initiales

  • profil de la solution

  • meme esprit

  • equation

  • integrations en temps


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Solutions auto-similaires et espaces de donn´ees initiales
pour l’´equation de Schr¨odinger
∗Fabrice Planchon
1 ,∞ 32˙R´esum´e. On d´emontre que pour des petites donn´ees initiales dansB ( ), l’´equation de Schr¨odinger2
non lin´eaire cubique admet des solutions born´ees en temps `a valeur dans cet espace de Besov. Ces solutions
sont autosimilaires lorsque la donn´ee initiale est homog`ene de degr´e−1.
1 ,∞ 3˙ 2Abstract. We show that for small initial data inB ( ), the cubic nonlinear Schr¨odinger equation has2
solutions which are bounded in time taking values in the same Besov space. these solutions are self-similar
when the initial data is homogeneous of degree−1.
Introduction
Onconsid`eredanscettenoteleprobl`emedeCauchypourl’´equationdeSchr¨odingernonlin´eaire
cubique suivante:
(
@u 2i +Δu = juj u;
(1) @t
3u(x;0) = u (x);x2 ; t 0;0
ou` est indiff´eremment 1 ou 1. Dans des travaux r´ecents ([3, 4]) il a ´et´e montr´e comment
construiredessolutions auto-similairespource syst`eme,en consid´erantdes donn´eesinitiales (assez
petites) telles que
1
8(2) supt kS(t)u k <1;0 4
t
4S(t) ´etant le groupe de Schr¨odinger et kk la norme L . Les auteurs montrent que la classe4
fonctionnelle d´efinie par (2) n’est pas vide, et contient en particulier les donn´ees initiales u de la0
k+1forme P (x)=jxj , ou` P est un polynoˆme harmonique. Dans [7] il est montr´e en outre que lesk k
1 2fonctions de la forme (x=jxj)=jxj ou` 2 C (S ) v´erifient (2). Enfin, dans [9], cette condition
3 2est relax´ee a` 2 C (S ), avec une modification de la classe fonctionnelle utilis´ee. Remarquons
d’embl´ee que toutes ces donn´ees initiales sont homog`enes de degr´e 1, et qu’ainsi les solutions
1 xp passoci´ees sont auto-similaires, c’est a` dire de la forme u(x;t) = U( ). D’autre part, les espaces
t t
utilis´es dans [3, 4, 9] sont tous construits a` partir du groupe de Schr¨odinger. Aussi il est naturel
de se demander s’il existe un espace fonctionnel B, qui ne soit pas construit `a l’aide du groupe de
1Schr¨odinger, tel que pour une donn´ee petite dans B on obtienne une solution u 2 L (B) (Il net
peut y avoircontinuit´e forte en z´eropour des donn´eesinitiales homog`enes.Nous r´ef´eronsle lecteur
a` [3] pour une explication a` ce sujet). Sachant que le probl`eme (1) est bien pos´e dans l’espace
1
2de Sobolev H , et afin de pouvoir admettre des donn´ees homog`enes, il est naturel de consid´erer
1/2,1˙l’espace de Besov B , et S(t) est born´e uniform´ement en temps sur ce dernier espace, ce qui2
en fait un bon candidat pour notre espace B.
∗Laboratoire d’Analyse Num´erique, URA CNRS 189, Universit´e Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu BP 187,
75 252 Paris Cedex
1
R
R
RR´esultats et d´emonstrations
1/2,1˙Nous allons montrer que l’espace B est bien adapt´e a` l’´etude de 1.2
´ `Theoreme 1
1/2,1˙Il existe et tels que, si u 2 B est telle que ku k < , alors il existe une solution1/2,10 1 0 0 02 ˙B
2
1/2,11 ˙globale u(x;t) de (1) telle que u2 L (B ). De plus cette solution est unique sous la conditiont 2
kuk 8,1 4,1) < .1L (Lxt
Nous allonsnous restreindrepour la d´emonstrationaux seulesdonn´esinitiales homog`enesde degr´e
1. La preuve dans le cas g´en´eralparaitra dans [8], dans un contexte plus large (dimension n2,
αnon-lin´earit´e de type juj u). Lorsqu’on se restreint aux donn´ees homog`enes, les solutions sont de
1 xp pla forme u(x;t) = U( ), et nous ne travaillerons d´esormais qu’avec U, le profil de la solution.
t t
Celui-ci v´erifie en outre de nombreuses estimations suppl´ementaires
Proposition 1
Si U est le profil obtenu dans le th´eor`eme 1, alors
1 1 3 3,q2˙(3) U 2 B ; avec + = ;r
q 2r 4
ou` 2 r 6 (soit1 q 2).
On se propose de proc´eder de la mani`ere suivante: dans un premier temps, on va montrer la
proposition 1 pour le probl`eme lin´eaire. Ceci est essentiellement une r´e´ecriture des estimations
de Strichartz ([5]) sur des blocs dyadiques. Dans un second temps, on montrera comment les
estimations (3)sontconserv´eesparle terme non-lin´eairequi apparaˆıtdans la formulationint´egrale
de (1)
Z t
2(4) u(x;t)= S(t)u + S(t s)juj u(x;s)ds:0
0
Ceci reposera sur un lemme de produit dans les espaces de Besov similaire `a ceux de [9]. Ces deux
´etapes achev´ees, on conclut par un simple lemme de point fixe pour obtenir le th´eor`eme 1.
Avant d’entamer les d´emonstrations, il convient de faire deux remarques. La dimension et la
puissance de la non-lin´earit´e ont ´et´e arbitrairement choisies comme ´etant 3, essentiellement pour
fixer les id´ees et avoir un changement d’´echelle et des exposants familiers au lecteur (l’´equation
1
2(1) est bien pos´ee dans H , cf [2]), mais l’ensemble des r´esultats se transposent `a d’autres plages
d’indices ([8]). Enfin, on peut remplacer l’´equation (1) par une ´equationd’ondes non-lin´eaire, dans
le mˆeme esprit que [10].
On rappelle les estimations de Strichartz [12] dans leur forme la plus g´en´erale, incluant les
points extr´emaux comme r´ecemment d´emontr´e dans [5].
2´ `Theoreme 2 ([5])
1 3 3 1 3Si deux paires (r;q), (r˜;q˜ sont telles que + = = + , avec 2 r;r˜ 6, et si toutes lesq 2r 4 q˜ 2r˜
int´egrations en temps sont a` prendre sur un intervalle [0;T], ou` T est arbitraire et peut ˆetre +1,
alors
(5) kS(t)u (x)k q r,2 Cku k ;0 0 2L (L )xtZ
1 2 0 0(6) k S(t s)f(x;s)dsk Ckf(x;t)k q˜ r˜ ,2L (L )t x L (L )xts<tZ
q r,2 0 0(7) k S(t s)f(x;s)dsk Ckf(x;t)k q˜ r˜ ,2L (L )x L (L )t xts<t
0 0ou` les constantes C sont ind´ependantes de T. La notation (r˜;q˜) d´esigne la paire d’exposants duaux
r,2 rde (r˜;q˜), et L est l’espace de Lorentz, inclus dans L car r2.
Cette forme pr´ecis´ee utilisant un espace de Lorentz n’est pas n´ecessaire pour d´emontrer la pro-
position 1 sur la partie lin´eaire, mais sera utile par la suite, et r´esulte du th´eor`eme 10.1 dans [5].
rPour le moment, on ”oublie” l’indice 2 et on utilise l’espace L . Montrons la proposition 1 pour le
1/2,1˙probl`eme lin´eaire, autrement dit U = S(1)u . On sait que u 2 B est ´equivalent `a0 0 2
1
2(8) sup kΔ u k <1;η 0 2
η
1ou` Δ est un op´erateurde localisation autour de la fr´equencejj = . Ainsi, `a fix´e, si u(x;t)=η
S(t)u (x)0
qkΔ u(x;t)k r CkΔ u k :η η 0 2L (L )t x
1 xp pOr grˆace `a l’homog´en´eit´e de u , u(x;t)= U( ), et ainsi, par changement de variable0 t t
3p 1+r
η(9) kΔ u(x;t)k =kΔ U(x)k t :η r p r
t
1 η
2 pCeci permet, apr`es multiplication par et changement de variable = d’obtenir
t
Z 1
11 d 1q q2 2(10) ( ( kΔ U(x)k ) ) Csup kΔ u k :τ r η 0 2
η0
1,q
2˙On reconnaˆıt alors au premier membre la norme de U = S(1)u dans l’espace B . Notons que la0 r
propri´et´e pour U se traduit apr`es changement d’´echelle par
1
q(11) supt ku(x;t)k 1 <1:,q
2˙Bt r
Nous venons donc de prouver la
Proposition 2
1,12˙Si (p;q) est une paire admissible d’indices au sens du th´eor`eme 2, alors pour u 2 B homog`ene0 2
de degr´e 1,
1,q2˙(12) S(1)u 2 B et kS(1)u k 1 Cku k 1 :0 r 0 ,q 0 ,1˙ 2 ˙ 2B Br 2
3s,q˙On se propose maintenant de montrer le lemme suivant, ou` la notation B d´esigne l’espace
(p,p˜)
p,p˜ pde Besov construit sur l’espace de Lorentz L au lieu de l’espace de Lebesgue L (voir [1] pour
une d´efinition des espaces de Lorentz et de Besov).
Lemme 1
1 1 1,1 ,2 ,23˙ 2 2 2˙ ˙Soit f 2 B \B . Alors f 2 B , et62 (6,2) ( ,2)5
3 2
1 1(13) kf k Ckfk kfk 1 :,2 ,2 ,12 2˙ ˙ 2B B ˙B6 (6,2) 2( ,2)
5
Pourd´emontrerle lemme, on utilise la caract´erisationdes espaces de Besov utilisant les diff´erences
finies, suivant [11, 10].
Z 1
1dtq qs,q(14) kfk = ( supkf(x+y) f(x)k ) ;˙ pB 1+sqp tjyjt0
avec 0 < s < 1. Par ailleurs, on obtient, par interpolation ([1]), l’injection de Sobolev
3 3s,q p˜,q˙(15) B ,! L ; ou` s = ;p p p˜
1 3,12 2 ,1˙ 2et ainsi, dans notre cas, f 2 B nous donne f 2 L . Ceci ´etant,2
Z 1 dt23 2 2 2kf k 1 C supkf(x+y) f(x)k kf k3 ;,2 (6,2) ,12˙ 2 2tB jyjt6 0( ,2)
5
ou` l’onautilis´el’in´egalit´ede Ho¨lderg´en´eralis´ee([6]), p;p ;p ´etantreli´esparlarelationhabituelle:1 2
kfgk Ckfk kgk ;(p,2) (p ,2) (p ,1)1 2
p,2 3ou` la notationkk d´esigne la norme L . Enfin, il convient de remarquer que consid´erer f ou(p,2)
2fjfj ne modifie en rien la preuve. Notonsque ce lemme n’est qu’un exemple de lemmes de produit
plus g´en´eraux. Sur la base de tels lemmes, il est par exemple facile de faire un point fixe pour
1
4l’´equation (4), dans l’espace des fonctions telles que sup t ku(x;t)k 1 : En effet, un lemmet ,42˙B3
1,43 2 2˙de produit similaire au p´ec´edent montre que U (ou jUj U) est dans B , et S(t s) renvoie la
3/2
1,42˙non-lin´earit´edansB .C’estcetypedepointfixequiestfaitdans[3,4,9].Cependant,iln’estpas3
1 4,3 2 3˙possible de d´eduire le th´eor`eme1 d’un tel calcul, carceci n´ecessiteraitU 2 B . C’estpour cette3/2
raison que l’on fait intervenir le point extr`emal des estimations de Strichartz (la d´emonstration
du cas g´en´eral donn´ee dans [8] permet de s’en passer et donc de traiter la dimension 2 au prix de
1 1,2 ,12 2˙ ˙complications techniques). Supposons pour le moment que U 2 B \B = F, l’espace ou`2(6,2)
l’on souhaite effectuer un point fixe, et montrons que la non-lin´earit´e pr´eserve F. En utilisant le
1,23 2˙lemme 1, on obtient que U appartient a` B . On veut montrer que6( ,2)
5
1
2sup kΔ Γk <1;μ 2
μ
2ou`, si V =jUj U
Z 1 1 x
Γ = S(1 s) V(p )ds:3
2 ss0
4Pour cela, on remarque que
Z 1 1 x
Δ Γ(x) = S(1 s)Δ V(p ) dsμ μ 3
2 ss0
alors, on applique l’in´egalit´e (6) sur l’intervalle de temps [0;1], pour obtenir
1 Z 1 2
1 1 x1 22(16) kΔ Γk C kΔ ( V(p ))k ds6μ 2 μ 3 ( ,2)
52 ss0
et, en utilisant le mˆeme changement de variable que pour (9) pour transformer la seconde expres-
sion, on obtient
1
2 kΔ Γk CkVk 1 :μ 2 ,2˙ 2B 6( ,2)
5
1,12˙Ceci montre donc que Γ2 B . Il reste a` montrer l’autre point extr´emal, (6;2). Pour ce faire, on2 h i
1 1 x2 p papplique maintenant la derni`ere in´egalit´e de Strichartz, (7), `a Δ Γμ t t
Z Z1 1
1 1 x 1 x2 1 22(17) k Δ p Γ p k ds C kΔ ( V(p ))k dsμ μ 63(6,2) ( ,2)
52 st t s0 0
et de nouveau, par changement de variable dans les deux membres, on obtient le r´esultat
kΓk 1 CkVk 1 :,2 ,22 2˙ ˙B B(6,2) 6( ,2)5
(n) (n) (n)Le calcul pr´ec´edent montre qu’une suite d’it´er´ees U (ou` U est le profile associ´e `a u ) pour
(0)l’´equationint´egrale(4)resteborn´eedansF,lorsqueU = S(1)u estassezpetit.Unemodification0
tr`es simple de l’argument pr´ec´edent montre qu’en fait l’op´erateur Γ est une contraction sur F. Il
3 3suffit en effet de modifier le lemme de produit, pour contrˆoler U V par U V. Ceci ach`eve la
d´emonstration de la proposition 1, et donne l’existence pour le th´eor`eme 1. Dans le cas particulier
des solutions autosimilaires auquel on s’est restreint ici, on peut obtenir l’unicit´e du profil sous
4,1la condition U 2 L de la facon suivante: la solution obtenue par la d´emonstration pr´ec´edente
1,8 8,12 4,8 4,1 4,1˙v´erifie U 2 B ,! L . Ainsi U 2 L , et par changement d’´echelle u(x;t)2 L (L ), avec12 t x
5
une petite norme. Alors, si v(x;t) est une autre solution,
3 3ku vk 8,1 4,1 Cku v k 8 4,1 ,1L (L )x 3 3t L (L )xt
2˜ C ku vk 8,1 4,1 :1 L (L )xt
Ceci donne l’unicit´e, quitte a` changer le choix d’ pour rendre assez petit.0 1
R´ef´erences
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