Sur la dis rétisation des déterminants d'opérateurs de

De
Publié par

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Sur la dis rétisation des déterminants d'opérateurs de S hrödinger Laurent CHAUMARD 22 dé embre 2003

  • fon tions

  • déterminant

  • ette

  • remer ier

  • déterminants d'opérateurs

  • atmosphère dé

  • bourbier des opérateurs pseudo-diérentiels

  • pleines pages de remer iements


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 138
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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22
Sur
Lauren
la
hr?
discr?tisation
CHA
des
bre
d?terminan
dinger
ts
t
d'op
UMARD
?rateurs

de
2003
Scmon
2

Remerciemen
paru
ts
qui
A
t
l'issue
et
d'un
d'Y
tra
enirs
v
t
ail

de
soutien
trois
remercier
ann?es,

on
t
a
ourbier
p
ici
eine
mon
?
et
mesurer
de
quelle
?
dettes
math?matique,
on
qu'ils
a
t

on
tract?es

aupr?s
pu
de

p
sur
ersonnes
me
sans
seron
lesquelles
ann?es

nouv
a
lui
v
Je
en
aid?
ture
Je
n'aurait
p
pas
la
ab
?t?
outi,
m'on
soit
endammen
parce
b
que
l'am
l'id?e
instaurer
de
en
s'y
tiens
lancer
T.
n'aurait
les
pas
m'on
germ?,
bre
soit
heureux
parce
re-
qu'elle
De
aurait
th?sards
?t?

priv
p
?e
?clair?
des
t
tuteurs
pseudo-di?ren
qui
doute
l'on
ulan
t
pas
pr?serv
ressource
?e
un
de
p
nos
t
h?sitations
une
ou
emen
de
m'a
nos
le
doutes.
Colb
Charge
suis
?
naissan
moi
la
aujourd'h
?coute
ui
de
de
aide
rendre
protable
solde
questions
de
long-
tout
tables.

du
non
?galemen
pas
appr?ci?
?
ainsi
la
tr?s
totalit?
t
de
tre
mes
th?sards.

t
puisque
!
le
t
temps
Carron
et
eler,
la

place
orteurs
me
et
manquen
aid?
t

p
Plus
our
je
en
v
faire
?
l'in
des
v
es
en
erdi?re.
taire,
bre
mais
t
au
place
moins
?
?
page.

?
et
litt?ralemen

que
don
v
t
le

op
fut
Ses
d?terminan
sans
te.
les
D?j?
plus
le
de
remords
th?se.

o
que
an,

tarissable
liste
id?es,
ne
B?n?cier
soit
tourage
pas
sonne
exhaustiv

e.
t?r?t
Non
aura
que

je
remercie
sois
Merci
aect?
Arlette
par
timen
la
guid?

y-
d'une
Bruno
prop
ois.
ortion
leur
d'en
extr?memen
tre

v
t
ous,
our
que

j'ose
leur
esp
et
?rer
qualit?
maigre,
leurs
qui
Leur
ne
m'a
se
tr?s
passionne

pas

outre
qui
mesure
t
par
temps
le
insurmon
fond
Ind?p
de
t

domaine
tra
j'ai
v
t
ail,
eaucoup
mais
leur
que
moral,
l'extr?me
que
gen

tillesse
agr?able
a
on
p
su
ouss?
en
?
eux
assister
leurs
?
Qu'ils
ma
soien

innimen
et
remerci?s
qui
Je
esp
?galemen
?rait
?
bien
G.
y
et
tuer
Kapp
le
qui
temps
t
en
d'?tre
se
rapp
rassasian
de
t
th?se,
de
qui
pleines
t
pages
?
de
un
remerciemen
nom
ts.
d'erreurs.
La
p
parade
t,
est
suis
bien
d'a

oir
ue,
proter
et
plusieurs
p
prises
our

l'a
v
v
Colin
oir
V
main
Un
tes
nom
fois
de
pratiqu?e,
on
je
?galemen
ne
une
m'en
de
ousquerai
hoix
pas.
tenir
Ma

g?ne
Je
pro
ense
vien

t
m'a
da
t
v
alors
an
je
tage
d?battais
de
ainemen
toutes
dans
les
b
p
des
ersonnes
?rateurs
que,
tiels.
par
explications
omission,
t
par


parmi
par
souv
manque
les
de
stim
place
ts
ou
mes
de
de
temps,
Ne
je
?v
ne
quer
nommerai
Erw
pas
ma
ici.
in
A
de
d?faut
elles
de
serait

d?lit.
leurs
dans
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en
je
d'une

er-
donc

pas

les
autan
remercier
d'in
bien
?

sujet
t.
?t?
Ma
grande
plus
hance.
grande
l'en
gratitude
viv
s'adresse
t.
tout
?galemen
naturellemen
?
t
qui
?
gen
mes
t

et
de
dans
th?se
lab
G?rard
Besson
3
fon
rin
b
the

administratif.
aise
Je
de
lui
on
suis
qui
tr?s
mani?re

p
t
vre
d'a

v
sans
oir
breuses

tra
de

r?gler
esan
les

probl?mes
Marion.
d?s
de
?
etit
mon
?t?
d?part
d?die
an
Carion


?

de
au
Grenoble.
p
On
ter
ne
est
louera
t
jamais
?
assez
dev

oir
v
qui
ertueuse
mes
d'une
innimen
atmosph?re
des
d?-
our

est
tract?e
a
et
hamp

t
haleureuse
protable.
sur
onheur
la

b
Ra
onne
Ga?l,
marc
partie
he
tres
d'un
je
tra
le
v
insidieusemen
ail.
de
Ceux
v
qui
sur
l'on
de
t
ers
suscit?e,
ail.
et
p
ils
un
son
particulier
t
m'a
nom
ader
breux,
he
Grenoblois
trop
ou
?
Neuc
vie
h?tellois,
l?g?re,
m?riten
eu
t
supp
ici
de
une
umeur.
place
?
de
et

j'ai
hoix
particuli?re
:
mem
je
famille.
p
que
ense
h
aux
du
pauses
lage

un
a
l?g?ret?
v
ressource
ec
d'une
Eric
remerciemen
D.,

Guillemette,
je
Matthieu,
destemen
Man

u,

Sophie,
ymond
Vincen
et
t,
qui
Eric
t
G.,
de
Costia,
rencon
Xa
qui,
vier,
que
Souley
sois
e,
de
ou
justier,
aux
t
soir?es
t


hez
nom
Delphine

et
ersations,
Christophe,
es?
ou
mon
Anne,
hoix
V
m'orien
alery
v
et

Mik
v
e.
Il
Resten
une
t
ersonne
les
m?rite
tributs
remerciemen
qui
tout
ne
:
s'imp
qui
osen
aid?
t
m'?v
pas
de
d'eux-m?mes,

tan
lorsqu'elle
t
enait
les
p
p
te,
ersonnes
v

la
sem
de
blen
plus
t
et
soit
a

la
hronologiquemen
de
t
orter
?loign?es,

soit
mauv
?trang?res
h
?
Merci

t
tra
toi,
v
Enn,
ail.
non
G?rard
moindres,
Beureux
une
appartien
ens?e
t
p
?
les
la
bres
premi?re
ma

Il
Ils
ind?niable
m'a
leur
mis
onne
t?t
umeur
le
fait
pied
p
?
vil-
l'?trier

;
enois
et
ha
sans
de
lui
don
le
la

m'a
de
plus

fois
histoire
En
aurait
t
?t?
tout
di?ren
b
t.
partag?,
P
leur
our
mo
la
t
deuxi?me,
th?se.
je

rends

hommage
?4.
T
.
able
50
des
t
mati?res
.
1
.
La
.
fonction
d?terminan

.
et
.
le
.
d?terminan
.
t
.
17
.
1.1
.

2.2
d?terminan
.
t
.
.
.
.
.
.
discr?tes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sp
.

.
Le
.
.
.
.
.
des
.
.
.
.
.
Suites
.
.
.
.
.
Quelques
.
.
.
.
.
ergences
.
.
.
2.3
.
.
18
.
1.2
.
Les
Une
puissances
.

.
.
2.3.2
.
.
.
.
.
.
.
propres
.
.
.
v
.
.
.

.
.
.
.
.
93
.
.
.
m?tho
.
ts
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
24
.
1.3
.
Les
.
fonctions
.

.
g?n?ralis?es
46
.
utiles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Con
.
quan
.
.
.
.
.
.
.
tores
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
.
.
30
.
1.3.1
.
V
.
ariations
.
de
.

dmissibilit?
A
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
78
.
et
.
Laplaciens
.
.
.
2.3.4
.
ergence
.
du
.
.
.
86
.
d'une
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
.
de
.
.
.
.
31
43
1.3.2
La
V
de
ariations
?l?men
du
nis

.
d?terminan
.
t
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.1
.
admissibles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
.
1.4
.
Les
.
op
.
?rateurs
2.2.2
de
lemmes
Sc
.
hr?
.
dinger
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.2.3
.
v
.
des
.
tit?s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
52
.
Les
.
plats
33
.
1.4.1
.
Les
.
p
.
etites
.
dimensions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.1
.
triangulation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
.
1.4.2
76
Une
A
in?galit?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.3
.
ectre
.
fonctions
.
des
.
.
.
.
.
.
.
82
.
La
.
v
.
des
.
ariations
38
d?terminan
2
.
Discr?tisation
.
41
.
2.1
2.4
Laplaciens

sub
m?trique
ordonn?s
.
?
.
un
.
graphe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
88
.
Les
.
ts
.
laplaciens
.
5
.MA
6
DES
T
TI?RES
ABLEquan
In

tro
0

y
F
ann?es

th?orie


La
en
th?orie
Rosen
sp
fonction
ectrale
somme
des

op
.
?rateurs
t
de
e
t
?l?e
yp
sp
e
t
laplacien
?
p
:
ositifs
l'exp
sur
n
les
fonctions
v
une
a-
Pleijel
ri?t?s
t


r?v
par
?le
exemple,
d'imp
L'?tude
ortan
s'est
tes
our


en
le
tre
Un
la
elopp
top
Carleman
ologie
sp
et
d?nie
la
7!
g?o-
s
m?trie
signie
d'une
v
v

ari?t?
bres
M
exemples
.
p
P
v
ar
tr?
exemple,
fonction
la
th?oriquemen

le
d'Euler,
T
les

group
di-
es
utilisan
de



r?elle,
n
le
son
v
p
olume
t
de
fructueuse
M
er
son
g?om?triques
t
par
d?termin?s
(v
par
de
le
erg
sp
p
ectre
vue
des
d?s
la-
te
placiens


der
q
dans
sur

les

q
2
formes.
n
L'?tude
1
sp
;
ectrale
t
de
l'on
tels
sur
op
propres
?rateurs,
Ce
que

nous
des
noterons
de
g?n?riquemen
t
t
s?ries
A

,
en
a
de
ainsi
et
suscit?
t
l'in
ram
t?r?t
en
autan
sur
t
qu'il
des
?quiv
math?mati-


ectre
que
ou
des
e
ph
la
ysiciens,

p
informations
our
?
qui
m?tho
les
le
v
de
aleurs
P
propres
n
(
0

t
k
:
)
de
k
asymptotique
2
temps
N
etit
de
notammen
A
r?v
son
tr?s
t
p
des
exhib
quan
des
tit?s
tit?s

lo
exp
d?termin?es
?rimen
le
talemen
ectre
t.
oir
Il
livre
existe
R.
de
b
nom
[Ro]).
breuses
autre
appro
oin

de
hes
d?v
de
?
l'?tude
les
sp
tren
ectrale
par
des
[Carl
op

?rateurs

de
le
t
ectre
yp
une
e
m?romorphe
laplacien.
A
Celle
par
qui
A
nous
s

C
ici
X


?
0


le
n
sp
o?
ectre
osan
dans
0
son
que
ensem
ne
ble
que
et
les
?
aleurs
lui
non
asso
ulles.

pro
une
est
fonction
en
d'une
analytique
v
nom
ariable
o?
auxiliaire
telles
d?p
son
endan
des
t
de
sym?triquemen
de
t
hlet.
de
A
(
oss?de

particulier
k
abscisse
)

k
ergence,
2
s'?tend
N
l'on
.
mon
Dans
Minakshisunda-

et
optique,
[MP]
l'exemple
une
le
m?romorphe
plus
C

Alors
t
est
est
t

alen
t
de
la
der
trace
sp
de
dans
l'op
A
?rateur
dans
de

la
tA

,
haleur
fonction
asso
A

tien
?
des
A
g?om?triques
:

t
obtenir
>
des
0
des
7!
t
T
no

au
e
la
tA
haleur.

ar
=
7
X=
8
a
T
la
ABLE
Leur
DES
n'existe
MA
nouv
TI?RES
m
p
le
our
;
le
d?terminan
laplacien
.


asso
,

fournit
?
o
une
ln
m?trique
+
g
'
,
la

de
A
B.
(0)
ensuite
est
:
un

in
le
v
x?,
arian

t
(p

de
don
ph
t
?
le
'

M
en
+
p
Gauss
etites
2
dimensions

prouv
m
e

qu'il
de
est
ord.
hautemen
R.
t
publi?
non
p
trivial
arian
(v
on
oir
d?terminan
[Ro],
sur
pp
sans
148).
M
Cet
t
exemple
attein
est
l'unique
par

ailleurs
d?monstration
r?v
=
?lateur
sur
d'un
o
fait
du
in
l'in
t?ressan
la-
t
th?orie
:
0
les
0
v

aleurs
2
de
0
la
'
fonction
est

,
A
M
qui
Une
sem
en
blen
homoth?tie
t
induit
les
tiplication
plus
par

d?p
hes
top
en
et
informations
du
g?om?triques

et
o
top
et
ologiques
[OPS1
son
1988
t
?l?
situ?es
qu'orait
en
in
dehors
sp
de
au-
son
?tudi?
domaine
t
de
dans

de
v
surfaces
ergence.
ec
Ce
ord.
son
o?
t
=
des
mon
v
v
aleurs
d?terminan
asso
son

p

?
t
de
au

sp
nouv
ectre
th?or?me
mais
M
d?nies
2
de
est
mani?re
form
implicite.
oly
Il
arez
en
[AL
est
de
ainsi
don
de
p
la
t
notion
est
imp
applications
or-

tan
det
te
e
de
det
d?terminan
g
t
6

2
r?gularis?.
'

dv
d?terminan
M
ts
g
Remarquons
V
que
ol
p
K
our

une
our
matrice
V
hermitienne
l'aire
A
our
d'ordre
g
N
form

t
e,
sup
det
une
A
sur
=
m?trique
exp
une
(
ul-
d
du
ds
t
j
un
s
qui
=0
end

la
s
ologie
7!
M
N
de
X
r?gularit?
n
b
=1
Un
1
de

Osgo
s
d,
n
Phillips
!)
P
:
Sarnak
En

1973,
en
D.B.
a
Ra
r?v
y
les
et
ossibilit?s
I.M.

Singer
el

v
on
t
t
ectral
eu

b
teurs
esoin
t
d'une
le
notion
ortemen
de
du
d?terminan
t
t
les
p

our
m?triques
les
les
op

?rateurs
v
laplacien
ou

b
q
Dans
sur

les

q
6
formes.
;
Remarquan
ils
t
tren
la
qu'?
r?gularit?
olume
de
le

t

t
q
maxi-
en
um
0
our
,
m?trique
ils

euren
te
t
la
l'id?e

de
qui
p
une
oser
elle
det
du

d'uniformisation
0
our
(
6
q
S
)
).
:=

e
bas?
d
une
ds
ule
j
P
s
ak
=0
v-Alv

([P


q

(
nom
s
deux
)
ysiciens
;
t
o?
t?r?t
?
our
nouv
d?terminan
eau
du
l'exp
placien
osan
li?
t
ses
0
en
signie
des
que
:
l'on

a

r?gularis?

le
2
pro
g
duit

des

v

a-
1
leurs

propres
1
non
Z
n
kr
ulles.
k
Notons
0
que
g

Z
in
K
v
'dv
arian

t
ln
g?om?trique,
ol
qui
V
prend
0
en
o?

0
l'in
la
t?gralit?
de
du
p
sp
g
ectre
et
de
ol
A
est
est
de
non
p
trivial
e
:
'
dans
.
le
telle

ule
du
malheureusemen
laplacien
pas
sur
dimension
les
?rieure,
surfacesnot?e
T
e
ABLE
[0
DES
en
MA
Y
TI?RES
(0)
9
i
en
t
partie

?
lisse

+
du

fait
F
que
est
le
il
laplacien
app
lui-m?me
2
ne
f
se
7!

r?elles
orte
l'unique
plus
(
de
=
mani?re

agr?able
b

det
?
i
des

transformations
la

r?gularisation
de
de
m?triques.
de
D'autres
det
tra
V
v
f
aux
det
on
;
t
)
depuis
dans
?t?
et
r?alis?s
!
sur
d
le
)
d?terminan
0
t
Y

F
r?gularis?.
que
Citons-en

quelques-uns
end
:
F

det
B.
;
Osgo
dt
o
:
d,
exprime
R.
op
Phillips
t
et
1
P
une
.
d?-
Sarnak
op
[OPS2
hr?

d?terminan
on
eynman
t
F
d?duit

de
2
leurs
t
r?sultats

des
f
th?or?mes
g
de
v

(1)
p
o?
our
(
les
une
surfaces
v
isosp
matrices
ectrales.
N

v
K.
T
Okikiolu
N

de
a
dt
obten
(
u,
Y
lorsque
)
la
Y
v
0
ari?t?
v
est
:
de
[F
dimension
prouv
impaire,
deux
des
?
form
m
ules
qui
de

v
:
ariations
1
premi?res
0
et
A

A
du
o?
logarithme
d
du
+

t
d?terminan
form
t

de
d?terminan

laris?
g
di?ren
et
du
du
op
laplacien
dimension

,
L
existe
:=
autre

du
g
terminan
+
des
n
?rateurs
2
Sc
4(
dinger,
n
el?e
1)
t
s
F
,
et
o?
det
s
:
est
F
la
d

dt
scalaire
+
de
(
g
)
,

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