Sur les déformations des systèmes complètement intégrables classiques et semi classiques

Publié par

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Sur les déformations des systèmes complètement intégrables classiques et semi-classiques Nicolas Roy 19 septembre 2003

  • laborieuses dé- couvertes

  • bases du calcul pseudo-différentiel

  • attitude juste dans les moments


Publié le : lundi 1 septembre 2003
Lecture(s) : 47
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 184
Voir plus Voir moins

Surlesdéformationsdessystèmescomplètement
intégrablesclassiquesetsemi-classiques
NicolasRoy
19septembre2003L’Hommeabesoinderite(s) et
derythme(s).
RyszardArciszewskiRemerciements
⋆ Jetienstoutd’abordàremerciervivementmesdeuxrapporteursHorstKnörreretDidier
Robert d’avoir accepté de lire mon manuscrit, de ne pas (trop) s’être énervé de toutes les
imperfectionsouerreursquis’ytrouvaient,etdem’avoirautoriséàsoutenirmathèse!Leurs
remarques concernant la première version du manuscrit ont mis en lumière de nombreux
pointsàmodifierouàcorriger,etj’espèreavoirsutirerprofitdeleursconseilspouraméliorer
quelquepeumontexte.
C’est de plus un honneur pour moi d’avoir eu pour rapporteurs Horst Knörrer, dont
certainsarticlessontàl’originedelamotivationdeladeuxièmepartiedemathèse,etDidier
Robert, qui fut un des premiers à poser les bases du calcul pseudo-différentiel dépendant
d’unpetitparamètre.
⋆ Je voudrais aussi remercierMonique Combescure et Alain Joyed’avoir accepté de faire
partiedemonjury.Jelesremercieaussipourleursremarquesconcernantlemanuscript.
1⋆ JetiensàremercierYvesColindeVerdièred’avoirpris,ilyadecelaquelques années,le
2 3pariquelquepeurisqué dedirigermathèse.Aprèsdiversesdéceptions ,ceprojetdethèse
avec Yves est arrivé en sauveur et, je dois dire, de manière un peu inespérée.Yves Colin de
Verdièrefaisait eneffetpartiedelalistedesdirecteursdethèsepotentielsque,parmodestie
ouréalisme,jen’aurais jamais osécontacter,sionnem’yavait paspoussé!
Je tiens d’abord à le remercier pour son investissement personnel dans ce rôle de di-
4recteur. Dès le début de ma thèse, il m’a accordé une grande part de son temps pour me
5former sur les domaines mathématiques assez nouveaux pour moi et, tout au long de ces
6quelquesannées , il atoujoursétédisponible pourm’écouter parlerdemes laborieuses dé-
couvertesoudemesangoissesthésardo-existentielles.
Ensuite, il a souvent eu l’attitude juste dans les moments où ma thèse m’apparaissait
commeunmirageinaccessible.Mêmesicessituationsdedoutesétaientdéstabilisantespour
7luiaussi,ilatoujourssutrouverlemotoulesilenceapproprié .
Je sais que récemment il était quelque peu travaillé par l’idée qu’il ne savait finalement
toujours pas ce qu’était le travail de directeur de thèse. A ces questions, je souhaiterais lui
1Non,jenediraipascombien.
2Cequ’ilnesavaitpeut-êtrepasencore...
3Undirecteurdethèseprévuquimefaitfauxbond,unepetiteamiequimelâche,unegrand-mèrequis’éteint.
4Letemps,quiestunedesrichesseslesplusprécieusesdanscemétier,ilmesemble.
5Jenemerendsprobablementpasencorecomptedel’étenduedeschosesquej’aiapprisesauprèsdelui.
6Maisenfin!!J’aiditquejenediraipascombien!
7Celan’apas empêchélefaitqu’ilaeuaussiparfoisdesremarqueshautement non-appropriéesàmonsens.
Maisj’appréciebeaucoupavoirpuleluidire,demanièresimpleetsincère.8répondre qu’il a, pour moi, rempli sa fonction de directeur de thèse de manière quasi -
exemplaire.
⋆ Le parcours de tout homme est fait de rencontres. S’il en est qui n’infléchissent que
très légèrement le cours de notre vie, il en est aussi d’autres dont l’influence est telle qu’on
imaginemalcommentauraitéténotreviesanselle.
9J’airencontréscientifiquement FrédéricFaureenSeptembre1993prèsdelaphotocopieuse
de l’Institut des Sciences Nucléaires où j’effectuais un stage d’été. Après quelques “salut,
comment ça va va?” et autres “tiens, toi aussi tu es là?!”, la discussion a insidieusement bi-
furquéverslamécanique classiqueetje merappelleencorel’étrangesensationquime resta
après cettediscussion,ainsi que les précieusesfeuilles de brouillon peupléesde toresKAM
etautresstructuresôcombienmystérieusesetexcitantes.
10Deparmonparcoursdephysicien,j’avais desmathématiquesunevueassezrestreinte
etmarencontreavecFredfutaussimarencontreaveclagéométriedifférentielle.Apartirde
cemoment,ilmedistillaaucompte-gouttediverslivresde“mathématiquespourphysicien-
s”quejedévoraisàvitessed’escargotetquidevinrentrapidementlesensetl’essencedema
motivation pour les sciences. Pendant longtemps, je n’ai eu que Fred comme interlocuteur
scientifique, les collègues d’études montrant un intérêt tout à fait tiède pour les sujets “ne
tombant pas à l’examen”, et la passion, la modestie et la générosité dont il a toujours fait
preuve lors de nos nombreux échanges ont changé ma vision des sciences, de la nature, de
11lavie,dumonde !
S’il est une personne sans qui rien de ceci ne serait arrivé, c’est bien lui! Je tiens à le re-
mercierpourcequ’ilestetcequ’ildonne,toutsimplement,etpourmefairel’honneurd’être
dansmonjury.
⋆ Depuis le début de ma thèse, San VuNgoc a été mon interlocuteur privilégié à l’Insti-
tut Fourier. Il n’a jamais rechigné à me consacrer du temps, pour m’écouter, discuter et me
transmettre ce qu’il savait. C’est grâce à lui (et son incroyable faculté à ses remémorer les
référencesbibliographiques)quej’aidécouvertlaplupartdesarticlesetouvragesquiontété
importantsvoiredécisifspourmoi.
Même si je ne peuxcacher une certaine déceptionde n’avoir jamais été à la hauteur suff-
12isante pour l’attirer et l’embarquer dans un projet commun , je ne peux que le remercier
pourtoutesonaideaussibiensurleplandesmathématiquesquesurceluidusoutienmoral
lorsque,exténuéparunediscussiondeplusieursheurespendantlaquellejen’avaispascom-
pris un traître mot à ce que m’avait raconté mon chef qui estimait que “tout est trivialement
13fini,il nereste plusqu’àl’écrire”, ilmerépondait “t’inquiète pas, j’connais!”.
⋆ Jevoudraisremercieraussil’ensembledescollèguesdel’InstitutFourieretenparticulier
ceuxquim’ontaccordédesinstantsdediscussion,toujoursgénéreusement,avecsympathie
etsansjamaiss’énerverdemesquestionsdébutantes,floues,malposéesetmalformulées!Je
14penseenparticulier ,exceptélespersonnesdéjàcitées,à:AlainJoye,MarcJoyeux,Roland
8Unpeudemodérationpermetd’éviterlesenflementsexcessifsdechevilles.
9Nousnousétionsdéjàrencontrésmusicalement6moisplustôt.
10Tablesd’additions,matrice2x2,...
11N’ayonspaspeurdelagrandiloquence,lorsqu’elles’impose!
12Jeveuxdire,écrirequelquechoseensemble.
13Cette tirade est bien entendu entièrement fictive et toute ressemblance avec des personnages ou des faits
réelsestpurementfortuite.
14Je vais forcément en oublier... Pour porter réclamation concernant un nom manquant, merci de contacterBacher, Patrick Bernard, Laurent Bonavero, Emmanuel Ferrand, Thierry Gallay, Sylvestre
Gallot,Jean-LouisVerger-Gaugry,EricLombardi,Paul-EmileParadan,BernardParisse,Em-
manuelPeyre,GaëlRémond.
⋆ Jesouhaiteremercierdemêmel’ensembledupersonneladministratifdel’InstitutFourier
qui,ayantpleinementconsciencedufaitquelesmathématicienssontparfois(souvent?)des
infirmesadministratifs,nousfacilitegrandementlatâcheetnousépargnebeaucoupdetravail
fastidieux ennous préparant les multiples pièces de cet océan de documentsadministratifs
danslequel,sanscetteaide,nousnousnoierionsinéluctablement.
En particulier, je remercie Arlette Guttin-Lombard pour son aide durant toute la thèse
jusqu’à la couverture même de celle-ci (!), Myriam Charles pour ses conseils concernant
l’anglais, Jannick Joukoffpourm’avoirfait venirdesquatrecoinsdelaFrancedesouvrages
mathématiques, Mick Marchand pour les innombrables et inestimables sauvetages de vie in-
formatiques.
⋆ Je voudrais remercier aussi les camarades de galère, toujours prêts à discuter, à écouter
15ouà compatir, suivant les besoins,j’ai nommé lesthésards .Lemondedesmathématiques
étantparfoisfroidetsolitaire,lecontactaveclesthésardsfutunbienprécieuxetréconfortant.
MercienparticulieràFreddyBouchet,OlivierBourget,LaurentCharles,LaurentChaumard,
EricDumas dit Granchveu,Franck Doray,AdrienDubouloz, LucHillairet, SébastienJansou,
David Pinel,MatthieuRomagny,VidianRousse,KonstantinVernicos.
⋆ Il serait injuste de ne pas remercier les enseignants qui m’ont marqué durant mes an-
nées universitaires, mais aussi au lycée. Il est bien connu qu’à un certain âge, la motivation
pourune matière à l’école estfortementinfluencée parle charisme de la personnequinous
l’enseigne.Laplupartdemesenseignantsenmatièresscientifiquesétaientdesgenspassion-
nésparleurdomaineettrèssoucieuxdefaire partagercettepassionavecleursétudiants.Je
voudrais remercier tous ceux qui ont su éveiller, maintenir ou alimenter en moi la flamme
scientifique. Tentative de remémoration chronologique (depuis le lycée) : Jean Bizouard,
Christiane Rimbaud, Mireille Durand, Robert Arvieux, Claude Gignoux, Antoine Delon,
Thierry Dombre, Pierre Salati, Gérard Sajot, Pascal Degiovanni, Patrick Iglesias, Robert Co-
quereaux.
⋆ On ne peut évidemment oublier les parents sans qui rien ne serait. Tout au long de
mes études et notamment pendant la thèse, ils m’ont toujours soutenu avec une confiance
aveugleethautementexagéréeenmaréussitefuturecertaine,commeilsedoitdelapartde
parents.
16Cette confiance remonte même en fait beaucoup loin, au jour où ma mère m’a fait le
plaisir de croire que j’avais réellement inventé cette petite “machine” en papier servant à
transformer les nombres binaires en nombres décimaux, que j’avais intégralement pompée
dansunerevuegenreScienceet VieJunior.
Cette confiance battait aussi son plein lorsque, au début du collège, mon père commen-
taitavecmoicesorganigrammesquidécriventlesystèmeéducatiffrançaissousformed’une
pyramidecontenantl’éventaildesdiplômespossiblesetcouronnéetoutenhautdelafeuille
parlefameuxDoctorat.Lorsquemescamaradesmedemandaient“et toi,kestuveuxfaire plus
roy.nico@free.fr
15etlesfraîchementthésés
16Jedevaisavoirdansles12ans,àvuedenez.tard?”, je répondaisavecune certitudesansfaille “un doctorat”, ce à quoij’ajoutais immédi-
atement,pourlesincultes,“c’est celuiqu’est tout en haut de lafeuille”.
⋆ Pourfinir,jesouhaiteremerciermafemmeMałgosiapourl’inestimableetpatientsoutien
dontelleafaitpreuveàmonégard,duranttoutecettethèse.Elleasupportétousmes“jen’y
arriverais jamais”,“j’enaimarredemonchef”etautres“c’esttropdurlesmaths”,etaréussipetit
àpetitàmefaireprendredureculsurmasituationdethésard,etmemontreroùsetrouvent
leschosesvéritablementimportantesdelavie.
Grenoble, le 2septembre 2003Tabledesmatières
A Systèmeshamiltonienscomplètementintégrables 21
1 Rappelsdegéométriessymplectiqueetaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1 Conventionsengéométriedifférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Conventionsengéométriesymplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Feuilletageslagrangiensetconnexionsaffines . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Systèmeshamiltonienscomplètementintégrables . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Applicationsmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Fibrationsentoreslagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Quelquespropriétésélémentairesdesfibrationslagrangiennes 29
2.2.2 Structureaffinesurlesfibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Lefibrédespériodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.4 Structureaffineetmonodromiesurl’espacedebase . . . . . 35
2.2.5 SériesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Actiontoriquesemi-globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Fibrétorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Actiontorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Moyennisationparl’action torique . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Théorème de décomposition des champs de vecteurs sym-
plectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Dynamiquecomplètementintégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Modulesderésonanceetfeuilletagesentiers . . . . . . . . . . 45
2.4.2 Moyennisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Hamiltoniensnon-dégénérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1 Différentesconditionspossibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Conditionsplusfortesetplusfaibles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Applicationsmomentsdeshamiltoniensnon-dégénérés . . . . . . . . 53
3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Remarquesfinales:Liouville vsDuistermaat . . . . . . . . . . . . . . . 57
B Déformationsdesystèmescomplètementintégrables 61
1 Déformationsrégulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.1 Déformationsglobalementhamiltoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1.1 Champsdevecteursdépendantdutemps . . . . . . . . . . . 63
1.1.2 Théorèmededéformationglobalementhamiltonienne . . . . 65
1.2 Fonctionsnon-résonantesetéquationhomologique . . . . . . . . . . . 69
1.2.1 Fonctionsrésonantesetnon-résonantes. . . . . . . . . . . . . 69
910 TABLEDESMATIÈRES
1.2.2 Lemmededivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.2.3 Équationhomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3 Déformationsrégulièresformelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3.1 Complèteintégrabilitéformelleenε. . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3.2 Déformationsrégulièresformelles . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 Déformationssingulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

22.1 Déformationsd’applicationsmomentsàO ε . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.1 ApplicationsmomentsV-déformables . . . . . . . . . . . . . 80
2.1.2 Petitretoursurlecasrégulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 Déformationssingulièresavec1résonance . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2.1 Formenormalerésonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.2 Déformationsingulièreavec1résonance . . . . . . . . . . . . 86
2.3 Déformationssingulièresavecnrésonances . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.1 Formenormalerésonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3.2 Déformationsingulièreavecnrésonances . . . . . . . . . . . 91
C Outilssemi-classiques 95
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.1 Commentlirecechapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.2 Fibrationlagrangiennenaturelleassociéeàuntoreaffine . . . . . . . . 95
2 Opérateurpseudo-différentielssurletore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1 Quelquesrappelsetquelquesnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1.1 SériesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1.2 Quelquestrucsetastuces... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 Espacesdesymboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.1 Symbolesordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2.2 SymbolesàlaSjöstrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.3 Développementsasymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3.1 Lemmedephasestationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3.2 ProduitdeMoyaletcompositiond’OPD . . . . . . . . . . . . 111
2.3.3 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
22.4 ContinuitéL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
22.4.1 ContinuitéL desOPD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4.2 Adjointsd’OPD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.5 Calcul fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.5.1 Symboleselliptiquesetparamétrixes . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5.2 Symbolesdépendantuniformémentd’unparamètre . . . . . 120
2.5.3 Résolvanteapprochée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5.4 Exponentiellesetconjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
α3 ~ -Microlocalisation dansl’espacedestores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1 OpérateursJ-platsuruntore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
α3.2 ~ -Microlocalisation autourd’untore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
α3.3 Fonctions~ -microlocalisées suruntore . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.