SUR LES INVARIANTS TOPOLOGIQUES DES ACTIONS DE GROUPES MOYENNABLES DISCRETS

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Fabrice Krieger SUR LES INVARIANTS TOPOLOGIQUES DES ACTIONS DE GROUPES MOYENNABLES DISCRETS

  • entropie topologique

  • invariants topologiques des actions de groupes moyennables discrets

  • classification mathematique par sujets


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : scd-theses.u-strasbg.fr
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Fabrice Krieger
SUR LES INVARIANTS
TOPOLOGIQUES DES ACTIONS DE
GROUPES MOYENNABLES DISCRETSFabrice Krieger
Institut de Recherche Math´ematique Avanc´ee, Universit´e Louis Pasteur et CNRS,
7, rue Ren´e Descartes, 67084 Strasbourg Cedex, France.
E-mail : krieger@math.u-strasbg.fr
Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/~krieger/
Classificationmath´ematiqueparsujets (2000). — 37B40,37B05,43A07,37B10,
37B50, 28C10, 20E26, 20F65.
Motsclefs. — Dimensiontopologiquemoyenne,entropietopologique,groupemoyen-
nable, d´ecalage, syst`eme minimal, syst`eme de Toeplitz.a` mes parents,SUR LES INVARIANTS TOPOLOGIQUES DES ACTIONS
DE GROUPES MOYENNABLES DISCRETS
Fabrice KriegerREMERCIEMENTS
Mes premiers remerciements vont `a mes parents, Betty et Jean-Paul,
qui m’ont fait confiance et m’ont soutenu tout au long de mes ´etudes.
Un grand merci va tout droit `a Michel Coornaert qui a guid´e mes pas
vers la recherche math´ematique. Sa g´en´erosit´e, sa rigueur et ses pr´ecieux
conseils ont ´et´e d’une importance primordiale pour l’accomplissement de
ce travail.
Je remercie Laurent Bartholdi, Tullio Ceccherini-Silberstein, Patrick
Foulon et Alain Valette d’avoir accept´e de faire partie de mon jury.
Je tiens aussi a` remercier toutes les personnes avec qui j’ai pu discuter
de math´ematiques mais aussi celles qui m’ont conseill´e ou aid´e d’une
quelconque autre mani`ere.INTRODUCTION
Cetteth`eseestconsacr´eea`l’´etudedecertainsinvariantstopologiquesdessyst`emes
dynamiques.Ons’int´eresseplusparticuli`erementa`ladimensiontopologiquemoyenne
et `a l’entropie topologique d’actions de groupes moyennables discrets.
Les groupes moyennables ont ´et´e introduits en 1929 par J. von Neumann [Neu].
Un groupe est dit moyennable si l’ensemble de ses parties admet une mesure finie qui
est finiment additive et invariante par translation. La classe des groupes moyennables
contient les groupes finis et les groupes commutatifs. Elle est stable par passage aux
sous-groupes, par passage aux quotients, par extensions et par limites inductives. Un
groupe moyennable ne peut pas contenir de sous-groupe isomorphe au groupe libre `a
deux g´en´erateursF mais il existe des groupes non moyennables ne contenant pas de2
sous-groupe isomorphe a` F . On trouve dans la litt´erature de nombreuses d´efinitions2
´equivalentesa`lamoyennabilit´e.NotonsF(G)l’ensembledespartiesfiniesnonvidesde
G. Le crit`ere de Følner donne une caract´erisation combinatoire de la moyennabilit´e :
ungrouped´enombrableGestmoyennablesietseulementsiilexisteunesuite(F )n n∈N
d’´el´ements deF(G) telle que
|(gF )4F |n n
lim =0 quel que soit g∈G,
n→∞ |F |n
ou` A 4 B =(A∪B)\(A∩B) d´esigne la diff´erence sym´etrique entre les ensembles
A et B, et |A| est le cardinal de A. Une telle suite (F ) est appel´ee suite de Følnern
de G.
Leth´eor`emesuivantestunr´esultatdeconvergencepourlesfonctionssous-additives
invariantes d´efinies sur les parties finies d’un groupe d´enombrable moyennable G :
Th´eor`eme A (Ornstein-Weiss). — SoitG un groupe d´enombrable moyennable et
h:F(G)→R une fonction v´erifiant les propri´et´es suivantes :
(a) h est sous-additive, c’est-`a-dire
h(A∪B)≤h(A)+h(B) quelles que soient A,B∈F(G) ;
(b) h est invariante a` droite, c’est-`a-dire
h(Ag)=h(A) quels que soient g∈G et A∈F(G).x INTRODUCTION
Alors il existe un r´eel λ=λ(G,h)≥0 tel que
h(F )n
lim =λ
n→∞ |F |n
pour toute suite de Følner (F ) de G.n n∈N
Ce th´eor`eme se d´eduit d’un r´esultat g´en´eral duˆ a` D. S. Ornstein et B. Weiss sur les
quasi-pavages (voir [OrW, Section I.2, Th. 6], [LiW, Th. 6.1]). On donne [Kr1] une
d´emonstration directe de ce r´esultat en suivant des id´ees esquiss´ees par M. Gromov
dans [Gro, Section 1.3].
Leth´eor`emeAestutilis´edanslad´efinitiond’invariantsd’actionsdegroupesmoyen-
nables discrets comme l’entropie topologique, l’entropie m´etrique et la dimension to-
pologique moyenne.
´Etant donn´e un groupe d´enombrable discret G, on appellera syst`eme dynamique
ou encore G-syst`eme la donn´ee d’un espace topologique compact m´etrisable X muni
d’une action continue de G. On dit qu’un G-syst`eme X est minimal si toutes les
orbites sont denses dans X.
Soit K un espace compact m´etrisable et munissons
GK ={x=(x ) : x ∈K}g g∈G g
de la topologie produit. Un exemple fondamental de G-syst`eme est le G-d´ecalage
G 0
0sur K d´efini par (gx) = x . On appelle sous-d´ecalage toute partie G-invarianteg gg
GX ⊂K .
Si X et Y sont des G-syst`emes, on dit que le G-syst`eme X se plonge dans Y s’il
existe un plongement topologique G-´equivariant de X dans Y.
Ladimensiontopologiquemoyenneestuninvarianttopologiqued’actionsdegroupes
moyennables introduit par M. Gromov en 1999 dans [Gro]. C’est une variante dyna-
ˇmique de la dimension topologique classique de Cech Lebesgue qui permet de distin-
guer des syst`emes de dimension et d’entropie topologique infinies.
´Etant donn´e un groupe d´enombrable moyennable G, on donne la d´efinition de
la dimension topologique moyenne mdim(X,G) d’un G-syst`eme X et l’on ´etablit
quelques r´esultats sur la dimension topologique moyenne des sous-d´ecalages ferm´es
GdeK , ou` l’espace des symbolesK est un espace compact m´etrisable. LorsqueX est
Gun sous-d´ecalage ferm´e de K , alors on a mdim(X,G)≤ dim(K), ou` dim(K) est la
Gdimension topologique usuelle de K, avec ´egalit´e si X = K ou` K est un poly`edre
(c’est-`a-dire un espace topologique hom´eomorphe a` un complexe simplicial fini). Une
question naturelle qui se pose alors est de savoir quelles sont les valeurs possibles que
Gpeut atteindre la dimension topologique moyenne des sous-d´ecalages ferm´es de K ,
lorsque K est fix´e. On d´emontre le th´eor`eme suivant [CoK] :
Th´eor`eme B. — Soient G un groupe d´enombrable moyennable contenant des sous-
groupes d’indice fini arbitrairement grand (c’est-`a-dire tel que pour tout entierN ∈N,
il existe un sous-groupe H ⊂ G tel que N ≤ [G : H] < ∞) et P un poly`edre. Alors
Gpour tout r´eel ρ tel que 0≤ρ≤dim(P), il existe un sous-d´ecalage ferm´e X ⊂P tel
que mdim(X,G)=ρ.

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