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Surfaces`acourburemoyenneconstantevialeschampsdespineurs
BenoıˆtDanieletOussamaHijazi
Lessurfacesminimaleseta`courburemoyenneconstante(CMC)constituentunsujetd´etude classiqueeng´eom´etriedie´rentiellefaisantappel`adestechniquesprovenantdedisciplinestre`sdie´ren-tes.Dansceprojetdeth`esenoussouhaitonsaborderdesproble`mesconcernantcessurfacespardes techniquesdeg´eom´etriespinorielle. Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales(cest-a`-dire`a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l’aire pour toutes les transformations fixant leur bord,etplusge´n´eralementlessurfacesCMCsontlespointscritiquesdelairepourlestransformations xantleurbordetpr´eservantlevolumerenferm´eparlasurfaceetunesurfacexedonne´e.Lorsquon conside`reunesurfacecomple`tesansbord,ondemandequelespetitsdomainesdecettesurfaceve´rient cespropri´et´es.Lessolutionsduprobl`emeisop´erim´etriquesonte´galementdessurfacesCMC. 3 Lathe´oriedessurfacesminimalesdeR´eauebutad´lustudacclsdlebu´eleececavme`i`ise-xidtiuh desvariationsetlestravauxdEuler,deLagrangeetdeMeusnier.Ilsontde´couvertlespremiers exemples(he´lico¨ıde,cat´eno¨ıde)et´etabliles´equationsdessurfacesminimales.Audix-neuvi`emesi`ecle, lephysicienPlateauamontr´eexpe´rimentalementlexistencedesurfacesminimales,obtenuescomme pelliculesdesavonsappuyantsuruncontour.Parlasuite,desmathe´maticienscommeRiemann, Weierstrass,EnneperetSchwarzsesontinte´ress´esauxsurfacesminimales.Denouveauxexemplesont e´t´ede´couverts,etWeierstrassaobtenuunedescriptiondessurfacesminimalesentermesdedonn´ees m´eromorphes:cestlarsastrrsieWenoedatitsenepe´r. Danslapremie`remoiti´eduvingti`emesie`cle,lesmath´ematicienssesontinte´resse´sauprobl`eme dePlateau,cest-`a-diretrouverunesurfacedaireminimaled´elimit´eeparunecourbeferm´eedonn´ee. Lexistencedunesolutiona´ete´d´emontre´eparlestravauxdeRado´,DouglasetCourantnotamment. Lesproble`mesdere´gularite´ontensuitee´t´e´etudi´esentreautresparOsserman,GulliveretHildebrandt. Plusr´ecemment,lesrecherchessesontfocalise´essurlessurfacesminimalessansbordproprement plong´ees:probl`emesdeclassicationetdunicite´(enparticuliercaracte´risationsdesexemplesclas-siquesparP.Collin[5],W.MeeksetH.Rosenberg[23],W.Meeks,J.Pe´rezetA.Ros[20]),construction dexemples.Lath´eoriedeColding-Minicozziaconstitu´euneavanc´eemajeurepourcela.Parall`element, 3 3 lathe´oriedessurfacesCMCdansRe(nttansererh`spedno,danslesautresespcasea`ocruuberocS 3 et espace hyperboliqueHcleuuqnoaibmqetnibssuceaeesaustolppe´euodpe´ev)oudenavnaus´taeire´ etconstitueunth`emederecherchetr`esactif. Aucoursdesdixdernie`resann´ees,l´etudedecessurfacessestbeaucoupde´velopp´eedansdautres ] 2 2 varie´te´shomog`enes(H×R,S×R, Nil3, PSL2(R) et Sol3trapedriartsxuav)ot,nmeam`antd.U AbreschetH.Rosenberg[1,2].Onrappellequunevari´ete´estditehomog`enesisongroupedisom´etries agittransitivementdessus.Autrementdit,touteslesr´egionsdunevarie´t´ehomog`enesontsem-blables.Cesespacessontlesplussimplesapr`eslesespaces`acourbureconstante,etconstituent  uncadrenaturelpoure´tablirdesre´sultatsdeclassicationetdunicite´desurfacesCMC(`aisome´tries ambiantespr`es). Cette´etudeae´galementeudesapplicationsimportantesetassezinattenduesa`lacompr´ehension desdie´omorphismesharmoniquesentresurfaces[6].Denombreuxnouveauxexemplesdesurfaces
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minimalesetCMCdanslesvarie´te´shomog`enesont´ete´de´couvertsetleurg´eom´etrieglobalecommence a`eˆtrecomprise[22,21,8].Cesnouveauxr´esultatsontmisenvaleurunautrepointdevuesurces ge´om´etries. Dimportantsprobl`emesrestentouvertsdanscettethe´orie,etplusieursapprochesquiontfaitleurs 3 preuves dansRprochem´eorietleelg´stnempaln,sematoettepromlentsembonvuecsadsnsuse   spinorielle.Lag´eom´etriespinorielle(sortederacinecarr´eedelage´ome´trieriemannienne)[18,12,13] apermisded´etecterdeslienssubtilsentrelage´om´etrieetlatopologiedesvarie´t´esspinorielles.Plus re´cemment,lage´ome´triespinorielleextrins`eque[3,11,15,16,14,24]sestmontre´eunoutilecace pourl´etudedelag´eom´etrieetdelatopologiedessous-varie´te´s(enparticulierdeshypersurfaces oriente´es)desvari´ete´smode`lesoudesvarie´te´sspe´ciales.Parexemplelapreuvespinorielleduth´eor`eme dAlexandrovquiditquetoutehypersurfacecompacteCMCplong´eedanslespaceeuclidienestune hypersphe`re[15]. Denombreuxproble`mesdege´om´etrieextrins`equerestentouvertsetonpeutesp´ererquelesoutils spinorielspourrontpermettredesavanc´ees.Voiciquelquesproble`mesenvisage´s.
Construction d’anneaux minimaux dansSol3.mi-eauxsannredeNcsuocrehrohe`ansnscouitr nimauxplonge´s(cat´eno¨ıdes)dansSol3rfacesmiiredessuolgne´seinamelpsherps´dimoeod-a`-tsec,   aucylindre.Lavarie´te´homoge`neSol3plimtsesontcenemseir;peud3etam´etisod,deenexisnomine les seuls exemples actuellement connus de surfaces minimales dans Sol3sont simplement connexes, contrairementaucasdesvarie´t´esambiantesayantplusdisome´tries.Letraitementdeceprobl`eme permettradesefamiliariseravecdiversestechniques.Pourcelaonpourrautiliserlarepre´sentation deWeierstrassentermesdapplicationsharmoniques[17]etsinspirerdestechniquesde[7]o`udes cat´eno¨ıdesont´ete´construitsdansNil3. Il s’agit de trouver l’application de Gauss (champ unitaire normal)ad´equatepuisdere´soudreunproble`medepe´riodepourobtenirunesurfacedie´omorpheau cylindre.Larepre´sentationdeWeierstrass´etanttr`eslie´eauxchampsdespineurs[11,25],onpourra cherchersilexisteunerepr´esentationspinorielledecessurfaces.
´ Etude des surfaces minimales stables dansNil3etSol3.tionLanoruope´tilibatsedscefaurssle minimalesestunenotiondeminimisationdelairea`lordre1.Celae´quivaut`alapositivit´edun   op´erateurli´ea`lasecondevariationdelaire(op´erateurdeJacobi).Unthe´ore`meclassique[4,10] 3 e´noncequelesseulessurfacesminimalescompl`etesstablesdanslespaceeuclidienRsont les plans. Leproble`meestbeaucouppluscomplexedansdautresvari´et´eshomoge`nescommeNil3et Sol3,u`o desexemplesdenaturesdie´rentessontconnus.DansNil3annoltıˆlpsevsnancoerticauxetles graphesminimauxentiers(quisontclassi´es[9];lanotiondegrapheentierestli´ee`alexistence 2 d’une submersion riemannienne Nil3Rarspatltntsoelti.)use´rseDuqseseethcinenuspard´et´eobt analytiquesdanslecasou`lasurfaceestsuppos´eeˆetredetypeconformeparabolique[19].DansSol3le proble`meestencoreplusouvertcartr`espeudexemplesdesurfacesminimalesstablessontconnus.On cherchera`aobtenirdesinformationssurlessurfacesminimalesstables`alaidedesoutilsspinoriels.
R´ef´erences
2 [1] U.Abresch and H. Rosenberg. A Hopf differential for constant mean curvature surfaces inS×R 2 andH×R.Acta Math., 193(2) :141–174, 2004. [2] U.Abresch and H. Rosenberg.Generalized Hopf differentials.Mat. Contemp., 28 :1–28, 2005. [3]C.B¨ar.Metricswithharmonicspinors.GAFA, 6 :899–942, 1996.
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