Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs Benoıt Daniel et Oussama Hijazi Les surfaces minimales et a courbure moyenne constante (CMC) constituent un sujet d'etude classique en geometrie differentielle faisant appel a des techniques provenant de disciplines tres differen- tes. Dans ce projet de these nous souhaitons aborder des problemes concernant ces surfaces par des techniques de geometrie spinorielle. Ces surfaces interviennent dans des problemes variationnels : les surfaces minimales (c'est-a-dire a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l'aire pour toutes les transformations fixant leur bord, et plus generalement les surfaces CMC sont les points critiques de l'aire pour les transformations fixant leur bord et preservant le volume renferme par la surface et une surface fixe donnee. Lorsqu'on considere une surface complete sans bord, on demande que les petits domaines de cette surface verifient ces proprietes. Les solutions du probleme isoperimetrique sont egalement des surfaces CMC. La theorie des surfaces minimales de R3 a debute au dix-huitieme siecle avec les debuts du calcul des variations et les travaux d'Euler, de Lagrange et de Meusnier. Ils ont decouvert les premiers exemples (helicoıde, catenoıde) et etabli les equations des surfaces minimales. Au dix-neuvieme siecle, le physicien Plateau a montre experimentalement l'existence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s'appuyant sur un contour. Par la suite, des mathematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et Schwarz se sont interesses aux surfaces minimales.

  • courbure moyenne constante via les champs de spineurs

  • varietes speciales

  • resultats partiels

  • surface d'aire minimale

  • techniques provenant de disciplines tres

  • theoreme classique

  • surface minimale

  • geometrie spinorielle


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 62
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 3
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Surfaces`acourburemoyenneconstantevialeschampsdespineurs
BenoıˆtDanieletOussamaHijazi
Lessurfacesminimaleseta`courburemoyenneconstante(CMC)constituentunsujetd´etude classiqueeng´eom´etriedie´rentiellefaisantappel`adestechniquesprovenantdedisciplinestre`sdie´ren-tes.Dansceprojetdeth`esenoussouhaitonsaborderdesproble`mesconcernantcessurfacespardes techniquesdeg´eom´etriespinorielle. Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales(cest-a`-dire`a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l’aire pour toutes les transformations fixant leur bord,etplusge´n´eralementlessurfacesCMCsontlespointscritiquesdelairepourlestransformations xantleurbordetpr´eservantlevolumerenferm´eparlasurfaceetunesurfacexedonne´e.Lorsquon conside`reunesurfacecomple`tesansbord,ondemandequelespetitsdomainesdecettesurfaceve´rient cespropri´et´es.Lessolutionsduprobl`emeisop´erim´etriquesonte´galementdessurfacesCMC. 3 Lathe´oriedessurfacesminimalesdeR´eauebutad´lustudacclsdlebu´eleececavme`i`ise-xidtiuh desvariationsetlestravauxdEuler,deLagrangeetdeMeusnier.Ilsontde´couvertlespremiers exemples(he´lico¨ıde,cat´eno¨ıde)et´etabliles´equationsdessurfacesminimales.Audix-neuvi`emesi`ecle, lephysicienPlateauamontr´eexpe´rimentalementlexistencedesurfacesminimales,obtenuescomme pelliculesdesavonsappuyantsuruncontour.Parlasuite,desmathe´maticienscommeRiemann, Weierstrass,EnneperetSchwarzsesontinte´ress´esauxsurfacesminimales.Denouveauxexemplesont e´t´ede´couverts,etWeierstrassaobtenuunedescriptiondessurfacesminimalesentermesdedonn´ees m´eromorphes:cestlarsastrrsieWenoedatitsenepe´r. Danslapremie`remoiti´eduvingti`emesie`cle,lesmath´ematicienssesontinte´resse´sauprobl`eme dePlateau,cest-`a-diretrouverunesurfacedaireminimaled´elimit´eeparunecourbeferm´eedonn´ee. Lexistencedunesolutiona´ete´d´emontre´eparlestravauxdeRado´,DouglasetCourantnotamment. Lesproble`mesdere´gularite´ontensuitee´t´e´etudi´esentreautresparOsserman,GulliveretHildebrandt. Plusr´ecemment,lesrecherchessesontfocalise´essurlessurfacesminimalessansbordproprement plong´ees:probl`emesdeclassicationetdunicite´(enparticuliercaracte´risationsdesexemplesclas-siquesparP.Collin[5],W.MeeksetH.Rosenberg[23],W.Meeks,J.Pe´rezetA.Ros[20]),construction dexemples.Lath´eoriedeColding-Minicozziaconstitu´euneavanc´eemajeurepourcela.Parall`element, 3 3 lathe´oriedessurfacesCMCdansRe(nttansererh`spedno,danslesautresespcasea`ocruuberocS 3 et espace hyperboliqueHcleuuqnoaibmqetnibssuceaeesaustolppe´euodpe´ev)oudenavnaus´taeire´ etconstitueunth`emederecherchetr`esactif. Aucoursdesdixdernie`resann´ees,l´etudedecessurfacessestbeaucoupde´velopp´eedansdautres ] 2 2 varie´te´shomog`enes(H×R,S×R, Nil3, PSL2(R) et Sol3trapedriartsxuav)ot,nmeam`antd.U AbreschetH.Rosenberg[1,2].Onrappellequunevari´ete´estditehomog`enesisongroupedisom´etries agittransitivementdessus.Autrementdit,touteslesr´egionsdunevarie´t´ehomog`enesontsem-blables.Cesespacessontlesplussimplesapr`eslesespaces`acourbureconstante,etconstituent  uncadrenaturelpoure´tablirdesre´sultatsdeclassicationetdunicite´desurfacesCMC(`aisome´tries ambiantespr`es). Cette´etudeae´galementeudesapplicationsimportantesetassezinattenduesa`lacompr´ehension desdie´omorphismesharmoniquesentresurfaces[6].Denombreuxnouveauxexemplesdesurfaces
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minimalesetCMCdanslesvarie´te´shomog`enesont´ete´de´couvertsetleurg´eom´etrieglobalecommence a`eˆtrecomprise[22,21,8].Cesnouveauxr´esultatsontmisenvaleurunautrepointdevuesurces ge´om´etries. Dimportantsprobl`emesrestentouvertsdanscettethe´orie,etplusieursapprochesquiontfaitleurs 3 preuves dansRprochem´eorietleelg´stnempaln,sematoettepromlentsembonvuecsadsnsuse   spinorielle.Lag´eom´etriespinorielle(sortederacinecarr´eedelage´ome´trieriemannienne)[18,12,13] apermisded´etecterdeslienssubtilsentrelage´om´etrieetlatopologiedesvarie´t´esspinorielles.Plus re´cemment,lage´ome´triespinorielleextrins`eque[3,11,15,16,14,24]sestmontre´eunoutilecace pourl´etudedelag´eom´etrieetdelatopologiedessous-varie´te´s(enparticulierdeshypersurfaces oriente´es)desvari´ete´smode`lesoudesvarie´te´sspe´ciales.Parexemplelapreuvespinorielleduth´eor`eme dAlexandrovquiditquetoutehypersurfacecompacteCMCplong´eedanslespaceeuclidienestune hypersphe`re[15]. Denombreuxproble`mesdege´om´etrieextrins`equerestentouvertsetonpeutesp´ererquelesoutils spinorielspourrontpermettredesavanc´ees.Voiciquelquesproble`mesenvisage´s.
Construction d’anneaux minimaux dansSol3.mi-eauxsannredeNcsuocrehrohe`ansnscouitr nimauxplonge´s(cat´eno¨ıdes)dansSol3rfacesmiiredessuolgne´seinamelpsherps´dimoeod-a`-tsec,   aucylindre.Lavarie´te´homoge`neSol3plimtsesontcenemseir;peud3etam´etisod,deenexisnomine les seuls exemples actuellement connus de surfaces minimales dans Sol3sont simplement connexes, contrairementaucasdesvarie´t´esambiantesayantplusdisome´tries.Letraitementdeceprobl`eme permettradesefamiliariseravecdiversestechniques.Pourcelaonpourrautiliserlarepre´sentation deWeierstrassentermesdapplicationsharmoniques[17]etsinspirerdestechniquesde[7]o`udes cat´eno¨ıdesont´ete´construitsdansNil3. Il s’agit de trouver l’application de Gauss (champ unitaire normal)ad´equatepuisdere´soudreunproble`medepe´riodepourobtenirunesurfacedie´omorpheau cylindre.Larepre´sentationdeWeierstrass´etanttr`eslie´eauxchampsdespineurs[11,25],onpourra cherchersilexisteunerepr´esentationspinorielledecessurfaces.
´ Etude des surfaces minimales stables dansNil3etSol3.tionLanoruope´tilibatsedscefaurssle minimalesestunenotiondeminimisationdelairea`lordre1.Celae´quivaut`alapositivit´edun   op´erateurli´ea`lasecondevariationdelaire(op´erateurdeJacobi).Unthe´ore`meclassique[4,10] 3 e´noncequelesseulessurfacesminimalescompl`etesstablesdanslespaceeuclidienRsont les plans. Leproble`meestbeaucouppluscomplexedansdautresvari´et´eshomoge`nescommeNil3et Sol3,u`o desexemplesdenaturesdie´rentessontconnus.DansNil3annoltıˆlpsevsnancoerticauxetles graphesminimauxentiers(quisontclassi´es[9];lanotiondegrapheentierestli´ee`alexistence 2 d’une submersion riemannienne Nil3Rarspatltntsoelti.)use´rseDuqseseethcinenuspard´et´eobt analytiquesdanslecasou`lasurfaceestsuppos´eeˆetredetypeconformeparabolique[19].DansSol3le proble`meestencoreplusouvertcartr`espeudexemplesdesurfacesminimalesstablessontconnus.On cherchera`aobtenirdesinformationssurlessurfacesminimalesstables`alaidedesoutilsspinoriels.
R´ef´erences
2 [1] U.Abresch and H. Rosenberg. A Hopf differential for constant mean curvature surfaces inS×R 2 andH×R.Acta Math., 193(2) :141–174, 2004. [2] U.Abresch and H. Rosenberg.Generalized Hopf differentials.Mat. Contemp., 28 :1–28, 2005. [3]C.B¨ar.Metricswithharmonicspinors.GAFA, 6 :899–942, 1996.
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