These de doctorat de l'Universite de Neuchatel

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de doctorat de l'Universite de Neuchatel Specialite : Mathematiques Presentee par Aline KURTZMANN Pour obtenir le grade de docteur es sciences de l'Universite de Neuchatel Sujet de la these : COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE de DIFFUSIONS RENFORCEES SUR Rd Soutenue le 22 mai 2007 devant le jury compose de : M. Michel BENAIM (directeur de these) M. Patrick CATTIAUX (rapporteur, Toulouse) M. Thomas MOUNTFORD (examinateur, E.P.F. Lausanne) M. Olivier RAIMOND (rapporteur, Paris Sud Orsay) M. Alain VALETTE (president, Neuchatel) M. Cedric VILLANI (examinateur, E.N.S. Lyon)

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Publié le : mardi 1 mai 2007
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Nombre de pages : 198
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Thèse de doctorat de l’Université de Neuchâtel

Spécialité :
Mathématiques

Présentée par
Aline KURTZMANN

Pour obtenir le grade dedocteur ès sciencesde l’Universitéde
Neuchâtel

Sujet de la thèse :
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE
de
d
DIFFUSIONSRENFORCÉESSURR

Soutenue le 22 mai 2007 devant le jury composé de :

M.
M.
M.
M.
M.
M.

Michel BENAIM (directeur de thèse)
Patrick CATTIAUX (rapporteur, Toulouse)
Thomas MOUNTFORD (examinateur, E.P.F. Lausanne)
Olivier RAIMOND (rapporteur, Paris Sud Orsay)
Alain VALETTE (président, Neuchâtel)
Cédric VILLANI (examinateur, E.N.S. Lyon)

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Michel Benäım pour avoir accepté
d’encadrer ma thèse et m’avoir proposé un joli sujet. Merci également de
m’avoir permis de travailler dans des conditions fort agréables à l’université
de Neuchâtel.
Je suis très reconnaissante à Patrick Cattiaux et Olivier Raimond d’avoir
accepté d’être les rapporteurs de ce travail. Je remercie en particulier Pa
trick Cattiaux de m’avoir décrypté le monde, alors inconnu pour moi, des
inégalités fonctionnelles ainsi que Olivier Raimond pour m’avoir proposé le
travail qui constitue la première partie de cette thèse.
Je suis également très honorée de la participation de Thomas Mount
ford, Alain Valette ainsi que Cédric Villani au jury. Je remercie tout par
ticulièrement Cédric Villani pour son enthousiasme débordant et pour les
discussions que nous avons pu avoir.
La première partie de cette thèse fait suite à un travail en commun avec
Sébastien Chambeu. Ce fut un réel plaisir que de faire ces petites virées
parisiennes afin de venir travailler avec toi.
J’aimerais également exprimer toute ma reconnaissance à Victor Kleps
tyn (bien que notre travail ne figure pas dans ce manuscrit). Travailler avec
toi est extrêmement passionnant, enrichissant (et fatiguant aussi !) Je te
remercie pour ton soutien, ton optimisme et tes conseils éclairés.
Je tiens aussi à remercier Pierre Tarrès ; à la fois pour ta disponibilité
permanente lors de ton année à Neuchâtel, nos discussions mathématiques
(entre autres !), ton amitié et pour m’avoir constamment encouragée. Je me
réjouis de venir travailler avec toi.
Merci à toute l’équipe de mathématiques, profs, postdocs et thésards
de l’université de Neuchâtel pour leur bonne humeur. Je pense en particu
lier à Tatiana et Ola pour nos sorties sportives à la piscine, Erwann pour
m’avoir aidé à faire mes premiers pas dans la recherche, ainsi que Roger,
puis Kola pour avoir mis une ambiance à la fois si chaleureuse et studieuse
dans le bureau. J’exprime également ici toute ma reconnaissance à Christine
Vuilleumier pour sa gentillesse et sa capacité à régler dans la bonne humeur
tous les problèmes, petits ou gros.
Un grand merci également à tous mes amis. Je pense à ceux de très
longue date, Marie, Delphine et Nicolas, mais aussi aux “Strasbourgeois”
comme Béatrice, Marie et Manu, et bien entendu aux “Parisiens” à l’image

i

ii

REMERCIEMENTS

d’Ashkan et Delia, Najat, Marc, Sylvain et Anne, ou encore à Adeline et
Jérôme qui forment un savant mélange des deux.
Enfin, je tiens à exprimer toute mon affection envers mes grandparents,
parents, frères et nièce. Merci surtout à mes parents, à qui je dois tout.
Pour finir, toutes mes pensées sont pour JeanFrédéric. Merci pour ta
patience et tout ce que tu m’as apporté.

“ Et alors, cela va durer encore longtemps ? interrogea Wo
land. Echec au roi.
 J’ai sans doute mal entendu, mon maˆıtre, lui répondit le
chat, il n’y a pas et il ne peut y avoir échec au roi.
 Je répète : échec au roi.
 Messire, fit le chat sur un ton faussement inquiet, vous de
vez être surmené : il n’y a pas échec au roi !
 Le roi est sur la case D2”, dit Woland sans regarder l’échiquier.
“Messire, vous me faites peur !” gémit le chat en affectant
une mine épouvantée. “Il n’y a pas de roi sur cette case !
 Que distu là ?” et Woland, interloqué, regarda l’échiquier
où l’officier qui se tenait sur la case du roi détournait la tête
et se dissimulait le visage derrière sa main.
“Tu es un beau gredin, dit pensivement Woland.
 Messire ! J’en réfère derechef à la logique’, dit le chat en
pressant ses pattes contre son poitrail. “Si un joueur annonc
echecauroialorsqueleroi,déepuislongtemps,n’estplussur
l’échiquier, l’échec est déclaré nul.
 Tu abandonnes, oui ou non ? cria Woland d’une voix ter
rible.
 Laissezmoi le temps de réfléchir”, lui répondit humblement
le chat ; il s’accouda sur la table, se boucha les oreilles avec
ses pattes et réfléchit profondément. Au bout d’un long mo
ment il finit par déclarer : “J’abandonne.”
“Cette tête de mule est à tuer, murmura Azazello.
 Oui, j’abandonne, dit le chat, mais uniquement parce que
je ne peux pas jouer dans une atmosphère de harcèlement,
entretenue par des envieux !” Il se leva et les pièces du jeu
rentrèrentd’ellesmêmesdansleurboıˆte.

Le Maˆıtre et Marguerite,M. Boulgakov

Remerciements

Table des matières

Introduction
1. Notions provenant de la théorie des systèmes dynamiques
2. Application aux algorithmes stochastiques
3. Quelques inégalités fonctionnelles
4. Diffusions renforcées par la moyenne de la mesure d’occupation
normalisée
5. Diffusions renforcées par la mesure d’occupation normalisée

Bibliographie

i

1
4
10
17

19
24

35

partie 1. Diffusions renforcées par la moyenne de la mesure
d’occupation normalisée41

Chapitre 1. Comportement ergodique et convergence presque sûre de
certaines diffusions autointeractives
1. Introduction
2. Notation, hypotheses and existence
3. A motivating example: the quadratic case
4. Study of the processY
5. Asymptotic behavior ofY
6. Behavior ofXin the case of a general potential

Bibliography

Chapitre 2. Convergence en loi de certaines diffusions auto
interactives : la méthode du recuit simulé
1. Introduction
2. Notation, hypothesis and existence
3. Former results
4. Asymptotic behavior ofY
5. The processX: convergence in law
6. Concluding remarks

Bibliography

v

43
43
45
47
53
59
65

69

71
71
73
74
74
86
87

89

vi

TABLEDESMATIÈRES

partie 2. Diffusions renforcées par la mesure d’occupation
normalisée91
Chapitre 3. Panorama des processus avec renforcement 93
1. Introduction 93
2. Processus renforcé par ses extrema 96
3. Diffusions renforcées par la mesure d’occupation non normalisée 101
4. Diffusions renforcées par la mesure d’occupation normalisée 106
Bibliographie 115
Chapitre 4. Diffusions renforcées sur un espace non compact 119
1. Introduction 119
2. Motivation 122
3. Preliminaries and Tools 125
4. Main results 130
5. Study of the dynamical system Φ 133
µ
d
6. Study of the family of semigroups (P
t, t≥0, µ∈ Mβ(R;V)) 140
7. Behavior of the occupation measure 147
8. Some ideas for diffusions in a Riemannian manifold 156
9. Conclusion 158
Bibliography 161
2
Chapitre 5. Exemple de diffusion renforcée surR163
1. Introduction 163
2. Notation and background 165
3. Example 168
Bibliography 179
Annexe A. Diffusions attirées par leur maximum 181
Annexe B. Décomposition d’une fonction strictement convexe à l’infini 185
Résumé 187

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