These de Doctorat de l'Universite Paris VI

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de Doctorat de l'Universite Paris VI Spcialite : Mathematiques presentee par Pierre-Emmanuel Jabin pour obtenir le grade de Docteur de l'Universite Paris VI EQUATIONS DE TRANSPORT MODELISANT DES PARTICULES EN INTERACTION DANS UN FLUIDE ET COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES

  • interaction

  • question de l'existence de solutions

  • resultat habituel pour le systeme de vlasov-poisson

  • equation

  • particule

  • membres du departement de mathematiques de l'ecole normale


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 33
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 44
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Th`esedeDoctorat delUniversite´ParisVI Spcialit´e:Mathe´matiques pr´esent´eepar Pierre-Emmanuel Jabin pour obtenir le grade de Docteur de lUniversite´ParisVI
´ EQUATIONS DE TRANSPORT ´ MODELISANT DES PARTICULES EN INTERACTION DANS UN FLUIDE ET COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES
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Remerciements Enpremierlieu,jevoudraisexprimermagratitude`amondirecteurdethe`se, BenoˆıtPerthamedontjaipuappr´ecierlavaleurscientiqueetlesqualite´s humaines. Je remercie chaleureusement P. Degond et F. Poupaud pour l’attention avec laquelleilsontlumath`ese. Jesui´egalementreconnaissant`aY.Brenier,L.Desvillettes,F.GolseetD. s Lhuillier d’avoir bien voulu faire partie de mon jury. Jetiensennaremerciertousceuxquimontaid´e`aunmomentouun ` autreetnotammentmafamilleettouslesmembresdud´epartementde ´ mathe´matiquesdelEcoleNormaleS´rieure. upe
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Resume ´ ´ Cettethe`seconsistea`e´tudierdesmodeles,principalementcin´etiques,pour ` d´ecrirelesinteractionsdeparticulesquised´eplacentdansunuide.Ces interactionssefontparlebiaisduuide:uneparticule,enbougeant,de´place le fluide qui agit alors sur toutes les autres particules. Les particules sont suppose´esrigidesetsph´eriquesetleuideestd´ecritparun´ecoulementde Stokes. Lapremi`eree´tapeconsistea`mod´eliseretsimplierlesinteractionspour arrivera`oublierleuideet`aexprimerdirectementlesforcesquisexercent sur les particules en fonction de leurs position et vitesse uniquement. Cela permetdobtenirunee´quationpourlafonctiondedistribution.Laprincipale dicult´e,pourobtenirdesde´rivationsrigoureuses,estdecontroˆlerladistance minimaleentrelesparticules.EncollaborationavecF.Otto,ceproble`mea pueˆtrer´esolupourdesparticulessansinertiemaisresteouvertpourla principale´equationd´erivee. ´ Ilestensuitepossibled´etudiercettee´quationetdiversesasymptotiques. ` A cause des effets dissipatifs dus au fluide, le comportement en temps grand sansforcesexte´rieuresfaitainsiapparaıˆtreuneconcentrationenvitessede lasolutionautourdunemassedeDirac.Pourlameˆmeraison,lafonctionde distributiondevientaussimonocin´etiquelorsquelinertiedesparticulestend verszeroenpr´esencedunchampdepesanteur. ´ Onpeutsint´eressera`lare´gularite´dessolutionsdele´quationparune ´ethodedepropagationdemomentsenvitesse.Cetteme´thodepermetdailleurs m dame´liorerler´esultathabituelpourlesyst`emedeVlasov-Poisson.Ennse poselaquestiondelexistencedesolutionsa`le´quationlorsqueladensit´ema-croscopiquenetendpasversze´roalinni.Lapprochepropos´eefonctionne ` danslecasdusyste`medeVlasov-Poissonmaissembledicilea`g´ene´raliser `al´equationcin´etique´etudie´eici.
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Abstract This thesis consists in the study of models, mainly kinetic equations, which describe the interactions of particles moving in a fluid. The interactions are due to the fluid : as one particle moves, it pushes away the fluid which then influence all the other particles. The particles are supposed rigid and spherical and the fluid is described by the Stokes system. The first step is to modelize and simplify these interactions in order to forget the fluid and to express the forces on the particles directly in terms of their positions. With this approximation, we can derive an equation for the distribution function of the particles. The main obstacle to rigourous derivations is to obtain a control on the minimum distance between any two particles. In collaboration with F. Otto, this has been shown for particles without inertia but it is unknown in the other cases. After that, it is possible to study the kinetic equation we obtained for different asymptotic behaviours. Due to the dissipative effects of the fluid, in large time and without external force, the solution concentrates in velocity around a Dirac mass. For the same reason, the distribution function also becomes monokinetic when the inertia of the particles vanishes, and with a gravity field. The regularity of the solution is interesting. It can be obtained by a method of propagation of moments which also gives better estimates for the Vlasov-Poisson system than what was obtained before. The last question is to try to get the existence of solutions, in a sense to be precised, to the equation with a constant and non zero macroscopic density at infinity. We propose a method which works well for Vlasov-Poisson but seems difficult to extend to the kinetic equation studied here.
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Table des Matieres `
Introduction 1Mode´lisation....................................................... 2 Description de deux asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Probl`emesdexistenceetder´egularite´.............................. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mode´lisationdeladynamiquedesparticules 1Remarquessurlesproble`mesmathe´matiqueslie´s`aladynamiquede particulesdisperse´eseninteractiondansunuide.................. 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dynamics of balls in a potential flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Kinetic theory for the hamiltonian syatem of bubbly flows . . . . . . . . 4 Interaction of particles in a Stokes flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Kinetic and macroscopic eq. for particles in a Stokes flow . . . . . . . . . 6 Appendix 1. Numerical simulations in the case of a potential flow and short range effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Appendix 2. Numerical simulations for a Stokes flow . . . . . . . . . . . . . References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Contrˆolesurlafonctiondedistributiondeparticulesdansunuide de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 From theorem 1.2 to theorem 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Proof of the theorem 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Asymptotiquespourlaformulationcin´etique 3Concentrationsentempsgrandpourdessolutionsd´equationscin´etiques avecdissipationde´nergie........................................... Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 12 20 24 29 33 35 36 39 45 49 54 58 63 71 75 76 82 89 96
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1 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2 Proof of theorems 1 and 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3 An example of application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4Limitemacroscopiquede´quationsdutypeVlasovavecfrottement119 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 1 Main theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2 Proof of theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3 Proof of theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4 Proof of theorem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Proble`mesdexistenceetdere´gularit´e145 5R´egularit´eetpropagationdemomentspourdessyste`mesdeVlasov nonlin´eaires.......................................................147 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2 Proofs of the main theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3 Estimates on the force fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6Unproc´ede´derenormalisationpourlesyst`emedeVlasov-Poisson167 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2 Proof of lemma 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3 Proof of the theorem 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4 Proof of the theorem 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
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