THÈSE DE DOCTORAT DE MATHÉMATIQUES

De
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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
THÈSE DE DOCTORAT DE MATHÉMATIQUES DE L'UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER (GRENOBLE I) préparée à l'Institut Fourier Laboratoire de mathématiques UMR 5582 CNRS-UJF SUR QUELQUES ASPECTS DES CHAMPS DE REVÊTEMENTS DE COURBES ALGÉBRIQUES Matthieu ROMAGNY Soutenue à Grenoble devant le jury : José BERTIN (Université de Grenoble I), Dire teur Mi hel BRION (Université Grenoble I, CNRS) Pierre DÈBES (Université de Lille I) Laurent MORET-BAILLY (Université de Rennes I), Président Emmanuel PEYRE(Université de Grenoble I) Au vu des rapports de Pierre DÈBES et Laurent MORET-BAILLY

  • retrouve au bout du hemin ar

  • revêtements modérés de ourbes stables

  • bout de hemin mathématique

  • déformations des revêtements modérés

  • remer ie

  • champs algébriques

  • ation du hamp des revêtements modérés


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 170
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 120
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est
de

elle-m?me.
de
eut
la
group
th?orie

des
r?sultats
mo
dans
dules.
et
Plus
les
pr?cis?men
p
t,
Oort-V


tra
?tudier
v
t
ail

a
d?duire
p
des
our

but
aux
de
mon
d?nir

et
erse
d'?tudier
En
en
ried
d?tail
dulaires
les
de

p
hamps
n
de
.
rev
on
?temen
Hurwitz
ts
dules
de
leur

des
es,
g
tan
de
t
de
en


tes
0
de
qu'en
ts


p
son
>
age
0
arithm?tiques
.
les
Le
forts
parti
dules
pris
les

aider
hnique
tra
est
Jong-Pik
d'utiliser
7
?
armi
plein
p
le

v
premi?re
o


ulton
des
>

t
hamps

alg?briques,
mo
et
es
de

s'in
de
t?resser
tra
aux
F

on
mo
qu'ils
dulaires
ob
grossiers
dans
seulemen
in
t
Galois
ensuite.
questions
Une
a

questions,
p
sugg?r?
our
tours

de

les
hoix
es
(sans
1
doute
)
la
(
meilleure
et
p
n
ossible)

est
de
que
eut
les


extensions
hamps
des
alg?briques

son
l'id?e
t
p
particuli?remen
les
t
v
bien
our
adapt?s
on
aux
?tudier
probl?mes
onnes
mo
les
dulaires
;
:
de
ils
leur
on

t
;
?t?
leur

w...
p
rev
our
d?r?s

t
Ce
tr?s
son

t



qui
p
re?ten
des
t
sp
le
ts).
mieux
de
la
des
g?om?trie
v
des
de
ob

jets
eau
qu'ils
es,

en
t,
approfondir
et
dans
ils
aux
son
Geemen,
t
Abramo
nalemen
oir
t
u
aussi
P
simples
les
(ou
ations

our
:
les
selon
de
le
la
p
historiquemen
oin
est
t

de
F
vue...)
(en
?
p

g
que

les
?

la
mo
de
dulaires
des
grossiers
dules
asso


M
Une
de
de
de
leurs


Hurwitz.

les
est
v
de
de
garder
ried
la
r]
trace
t
des
tr?
automorphismes
?taien
des
des
ob
jets
jets
traux
;
l'?tude
or
probl?me
pr?cis?men
v
t,
de

et
souv
d'autres
en
arithm?tiques.
t
liaison
parmi
v
les

ob
F
jets
a
qui
d'?tudier
on
de
t
mo
des

automorphismes
Hurwitz
que
t
se
tours
passen

t
mo
des
X

(
hoses
n
in
,
t?ressan
0
tes.
p
D'un
)
p
X
oin
p
t
)
de
D'un
vue
p

t
hnique,
vue
les
p

en
hamps
les
alg?briques
de
r?solv

en
naturelles
t

souv
mo
en
des
t
es.
bien
l?gitime
les
d'?tudier
probl?mes
g?om?trie
de
our
quotien
Sur
t
traces
et
tra
on
aux
t
p
une
M
description
,
souple
p
en
souhaiter
termes
l'existence
de
b
group

o?des.
our
Il

sem
Hurwitz
ble
leur
que
e
dans
Pi-
la
;
derni?re
nom

de
l'in
osan
t?r?t

de
leur
faire
;
de
anneau
la
Cho
g?om?trie
P

les
t
?temen
sur
mo
les
des

son
hamps
d?j?
soit
mais
largemen
p
t
de

hoses
u.
t
La
ues
premi?re
le

sauv
v
(qui
?ritablemen
ose
t
ailleurs
alg?brique
probl?mes

bien
de
?ciques,
mo
passionnan
dules
Enn
de

rev
Hurwitz
?temen
t
ts
liens
de
a

ec
es

(d?sign?s
mo
par
de
le
tures
terme
niv
g?n?rique
sur
d'

esp
et
ac
euv
es
t
de
?
Hurwitz
leur
dans

la
les
suite)
v
est
de
due
an
?
de
F
aart,
ulton
vitc
dans
(v
sa
bibliographie).
th?se
[Fpr?sen
***
M

le
ons
de
main
ts,
tenan
muni
t
de
le
supp

M
ten
la
u
est
de
G
la
quotient
th?se.
nis
Chapitre
il
I
e
Le

langage
(v
des
ts

de
hamps
o?des.
alg?briques
:
est
oup
largemen
pr
t

utilis?.
fait,
Dans
g?
le
est

situation
hapitre
d'action
I
est,
on

rapp
qui
elle
en
tout
ond
d'ab

ord
ts
les
ord?s
d?nitions
hamp
de
torseurs,
base
de
et
sur
les
t
propri?t?s
un
essen
S
tielles
On

?,
p
S
our
S
la
M
suite.
de
Ensuite
G
on
Si

M
la
duits,
th?orie
Deligne-Mumfor
par
s'in
des
di?ren
r?sultats
?
sur
hamp
les
group
op
sous-group
?rations
haque
de
a
group
endroits
es
hamp
sur

les
et

8
hamps.
l'in
Pr?cis?men
I.2.4.1).
t,
des
soit
p
une
vue
action
t
d'un
d'une
S
du

X=G
h?ma
par
en
d'autre
group
oin
es
des
G
r?sultat
sur
quotien
un
suiv
S
oir
-c
Soit
hamp
-champ
alg?brique
action
M
en
.
G
On
ose
mon
s?p
tre
et
tout
nie
d'ab
A
ord
est
(v
alg?brique
oir
M
I.2.2.1)
est
l'existence
at?
d'un
;

est
hamp
universel
alg?brique
=G
de
p
p
m?triques
oin
des
ts
r
xes
M
M

G
En
lorsque
hapitre,
G
?
est
p

dans
t
a
ni
t
(le
le

.
d'un
que
group
ni
e
mani?re
g?n?ral
du
sem
de
ble
jet
plus
Il
dicile)
une
:
?
Th?or?me
la
Soit
un
M
=
un

S
On
-champ
la
alg?brique
propri?t?s
(r
=G
esp.

de
?
Deligne-Mumfor
tuition
d)
oir
muni
Dans
d'une
?tude
action
quotien
d'un
deux
gr
oin
oup
de
e
di?ren
ni
son

ab
onstant
:
G
part
.
d?nition
A

lors
[
il

existe
Deligne-Mumford
un
des

et
de
part
p
p
oints
t
xes
vue
M
group
G
Le
qui

est
les
un
ts

le
alg?brique
an
(r
(v
esp.
I.2.3.4)
un
Th?or?me

M
de
S
Deligne-Mumfor
alg?brique
d),
d'une
et
d'un
le

morphisme
gr
M
es
G
.
!
supp
M
que
est
est
un
ar
morphisme
plat
r
de
epr
?sentation
?sentable,
sur
s?p
.
ar
lors
?,
=G
et
un

-champ
omp
et
act
:
(r
!
esp.
=G
et
un
non

r
gorique
ami?).
M
Ensuite,
en
on

mon
le
tre
-torseur
l'existence
au-dessus
d'un
M

.
hamp
les
quotien
oints
t
o-
M
de
=G
ont
p
stabilisateurs
our
et
G
?
s?par?,
alors
plat
=G
et
un
de
de
pr?sen
d.
tation
n
nie.

On
on
note
t?resse
que
une
lorsque
un
G
eu
est
te,

laquelle
t
n'y
et
pas
ni,
propremen
le
parler
quotien
sur
t

d'un
M

On
mo
ose
dulaire
le
grossier
e
p
G
our
de
M

donne
e
un
group

d'automorphismes
mo

dulaire
ob
grossier
du
p
hamp.
our
y
le
alors
quotien

t
te
M
quelques
=G
dans
;
litt?rature,
si
fournit
de

plus
M
l'action
=G
est
d?barrass?
libre,
de
la
automorphismes.
description
donne
des
d?tail
ob

jets
les
du
de

=
hamp
.
quotien
tau
Chapitre
(
I
somme
I
M
Dans
oser
le
)

Il
hapitre
n
I
.
I,
obtient
on
l'or
?tudie
I
div
une
ers
g
asp
)
ects
(
des


de
hamps
un
de
;G
rev
(
?temen
niv
ts
suiv
galoisiens
1
de
;

lisse
es
bir
:
G

ar
sur
lorsque
Z
mo
;
est

(non
;

?tude
;G
de
alors
la
oir
ramication.
?
On
pr
utilise
omme
fortemen
g
t

les
hamp
r?sultats
M

ondons
hniques
oir
du
L


hapitre
H
I.
(
Etan
ation
t
(
donn?e
morphisme
une
une

!
e

relativ
)
e
M
lisse
?sentable
C
nive
sur

une
ossier
base
Enn,
S
application
,
Hurwitz
et
b
une

action
t
d?le

bre

?
th?or?me
bre
p
d'un
temps
group
I.5.3.1)
e
3
ni
de
G
1
,

soit
1


:
2
C
G
!
p
C
ar
=G
G
le

quotien
de
t.
(
On
Nous
?tudie
le
tout
t
d'ab
notations
ord
:
les
Z
diviseurs
G
de
N
ramication
)
R
g

=
C
)
et
omp
de
dulair

M
hemen
)
t
a
B
opr

qui
C
gularisation
=G
G
,
g
sans
vers
faire
Deligne-Mumfor
d'h
(
yp
obtenu
oth?se
L
sur
(
les
r

ar
des
domine

ab
r?siduels
3
de
ac
S
e
.
N
Nous
)
prop

osons
par
une

expression
hamp

g
de
d?r?).
diviseurs


hamp
essen
en
tiels
qui

G
R
donnons

H
et
l'aide
B
de

eau.
qui
t

t
t
en
a
le
v

ec
dans
les
Th?or?me
diviseurs
n
r?duits
pr
R
dr
r
.

Z
ed

et
e
B
H
r
Z


ed
dense,
si
ant
le
a
rev
N
?temen
n
t
i
est
)
mo

d?r?.
les

qui
sugg?re
e
la
9
b
des
onne
de
expression
eau
du
Deligne-Mumford,
morphisme
g
discriminan
G
t,
.
qui
r?p
?
par
la
th?or?me

an
e
(v
C
les
a
de
v
I.4.3.4)
ec
Th?or?me
action,
e
asso
[

j
la
j

-champ
e
g
C
G
=G
:=
marqu?e
e
par
;G;
le
=
diviseur
Z
B
G

est
.

Ensuite
actic
nous
mo-
rapp
e
elons,
de
p
g
our
G
utilisation
.
ult?rieure,
y
le
un
pro
pr

e,
de
ationnel

est
de
d?sin-

N
de
(
Hurwitz
)
H
M
g
(
;G
)

le
Z
de
[
d
1
g
j
G
G
,
j
p

normalisation.
des
orsque
rev
g
?temen
G
ts
est
galoisiens
epr
mo
(p
d?r
exemple
?s
G
par
un
adjonction
au
des
?lien
rev
>
?temen
),
ts
l'esp
de
e

dulair
es
gr
stables.
de
Nous
g
a
G
joutons,
.
p
le
our
hapitre
?tre


une
la
de
description
r?sultat
lo


de
du
H
discriminan
;G
t
mo
(toujours

dans
onne
le
de


mo
n'est
d?r?).
ue
Ces
les
r?sultats

de
divisen
J.
j
Bertin
j
sur
Nous
la
une

de
cation
g
de
?

des
de
hamps
Hurwitz

mo
niv
d?r?
Le
son
pr?c?den
t
est
extraits
naturellemen
de
utilis?
la
our

prop
[BR
dans

m?me
Nous
une
donnons
(v
une
notations
application
I
de
:
la
Choisissons
th?orie
entier
de
>
Hurwitz
,
mo
emier
d?r?e
l'or
aux
e

G
de
On
ni-
un
v
[
eau
n
(quelconques),
-champ
utilisan
opr
t
qui
l'analogie
ontient
en
g
tre


[
et
n
les

rev
ouvert
?temen
en
ts
onsid?r
?tales.
la
La
suivante
question
i
a
I
?t?
i
p
(
os?e
)
par
Z
div
n
ers
G
auteurs
(En
de

trouv
e
er

une


act?ristiques

divisent
mo
dr
dulaire
de

.)
du
e
Chapitre
Ensuite
I
;
I
e
I
B
On
,
se
t
p
sur
ose
agit
la
la
question
questions
dans


r?sum?

es
hapitre
A
de
gr

)
lo
est

et
t,
s
l'action
universel
d'un
d'une
group
d'une
e
IV.2.1.6
sur
otts,
une
non

applique
e,
I
en
=
situation
,
de
!
ramication
;
sauv
?tale.
age.
Y
Pr?cis?men
la
t,
lo
soit
des
R
discr
un
ondante.
anneau
m
de
quotient
v
hapitre
aluation
ts.
discr?te,
ts
K
Ce
son
Le

des
des
tabilit?
fractions
du
et
t
k
10
son
donc

faut
r?siduel,
au
de
I

la
p
:
>
A
0
[
.

Soit

un
r
group
=
e
une
ni
et
G
Sp
don
normalisation
t
gr
l'ordre
On
est
?
m
L
ultiple
(
de
des
p
?
(par
anne
exemple,
Æ
un
l'extension
p
a
-group
1)
e).
;
Soit
et
une
ar

IV
e
exemple,
propre
les
et
l'?tude
plate
es,
sur
N
R
es
,
a
m
F
unie
ortan
d'une
group
action
P
g?n?riquemen

t
alg?brique
d?le

de

G
tes
.
.
P
oir
ar
)
exemple,
;

lo
p
X
eut
Puis
?tre

le
des
mo
oir
d?le
et
stable
p
d'une
du

m
e
Soit
lisse
ec
sur
,
K
R
.

On
germe
souhaite
e
donner
.
le
Y
plus
K
d'informations
galoisien
p
e
ossible
=p
sur
K
l'action
-
sur
lement
la
est
bre
Y
sp
(
?ciale
p
:
X
par
;
exemple,
e
que
Y
se
ose
passe-t-il
e
au
de
v
gr
oisinage
anne
d'un
aux
p
)
oin

t
oints
double
es
?
de
On
sont
s'autorise
de
donc
;
?
valuation

ente
la
orr

lors,
e
=
par
)(
un
our
v
f
oisinage
:
ane
g
d'un
est
p
Y
oin
m
t
d?lement.
de
dernier
la
l'?tude
bre

sp
ord?es
?ciale.
hapitres
On
s'agit
se
mo
place
de
dans
?te-
une
de
situation
P
plus
el?es
g?n?rale,
P
qui
v
ne
l'ob
se
de
limite
2001
pas
r?sultat
au
est

utieux
des
des

es
es.
(v
Soit
IV.2.2.2).
une
la
action

d'un
ondan
group
?tudions
e
dulaires
ni
hamp
G
de
sur
les
un

R
param?tre


h?ma
r?sultats
X
IV.4.1.2)
de
X
t
est
yp
rami?
e

ni
bien
(ou

lo
sur

qu'il
ou
regarder.

on
d'un

sc
hnique
h?ma

de

t
(v
yp
I
e
I.5.1,
ni).
I
On
I.1.4
supp
our
ose
d?nition
que
group
l'action
H
sur
)
la
Th?or?me
bre
X
g?n?rique
Sp
X
(
K
)
est
o?
d?le.
=
On
[
prop
t
ose

tout
un
d'ab
de
ord
ourb
un
lisse
pro
R

Soit
eectif
:
p
K
our
X
exhib
un
er,
ev?tement
lorsque
de
X
oup
est
G
ane
Z
et
Z
G
Y
ab
est
?lien,
R
un
alg?br
mo
formel
d?le
lisse
e

G
g?n?riquement
domin?
Soit
par
=
G
ec
(c'est-?-dire
B
qu'il
obtenu
existe
ar
un
de
morphisme
dans
de
K
R
le

oup
h?mas
G
en
sur
group
.
es
supp
nis
que
plats
br
G
sp
!

e
Y
G
int?
qui
e.
est
es
l'iden
aux
tit?

sur
A
la

bre
et
g?n?rique)
(
et
)
qui
p
agit
g?n?riques
univ
br
ersellemen
sp
t

d?le-
X
men
Y
t
des
sur
aux
X
valuation
(v
?te
oir
soit
th?or?me
la
I
de
I
di?r
I.4.1).
de
P

our
esp
y
A
parv
on
enir
Æ
on
(
utilise
m
la
p

p
hnique
un
des
2
?clatemen
0
ts
:
de
:
N?ron,
s
que
,
l'on
X
d?v
le
elopp
de
e
p
p
H
our
agissant
les
lement
actions
Chapitre
de
Le
group

es.
est
Le
d'un
b
au
on
des
fonctionnemen
ab
t
dans
du

pro-
pr?c?den

Il

de

des
est
dules

famille
par

une
rev
meilleure
men


du
degr?

de
ortemen
1
t
app
du

no
de
y
otts.
au
tra
des
ail
actions
fait
par
jet


?clatemen
l'Institut
ts.
ourier
Notons

qu'un
premier
r?sultat
imp
sem
t
blable
le
est
min
obten
du
u,
e
de
automorphismes
mani?re

plus
de
?l?men
otts
taire,
oir
lorsque
et
X
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