These de Doctorat de Mathematiques de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de Doctorat de Mathematiques de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Quelques applications des methodes effectives en geometrie analytique Dan Popovici soutenue a Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury : Laurent Bonavero (Universite de Grenoble 1) Jean-Pierre Demailly (Universite de Grenoble 1) (directeur) Christiaan Peters (Universite de Grenoble 1) Nessim Sibony (Universite de Paris Sud) Henri Skoda (Universite de Paris 6) (President) au vu des rapports de : Bo Berndtsson (Universite de Goteborg) Nessim Sibony (Universite de Paris Sud) 1

  • coherence des faisceaux d'ideaux multiplicateurs avec estimations

  • demonstration du theoreme

  • faisceau d'ideaux multi- plicateurs

  • correspondance de kobayashi-hitchin sur les varietes kahleriennes compactes

  • courant

  • theoreme de prolongement l2 de jets de sections holomorphes

  • version effective de la generation globale des faisceaux d'ideaux multiplicateurs


Publié le : mercredi 1 octobre 2003
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Th`ese de Doctorat de Math´ematiques de
l’Universit´e Joseph Fourier (Grenoble I)
Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan Popovici
soutenue a` Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury:
Laurent Bonavero (Universit´e de Grenoble 1)
Jean-Pierre Demailly (Universit´e de Grenoble 1) (directeur)
Christiaan Peters (Universit´e de Grenoble 1)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
Henri Skoda (Universit´e de Paris 6) (Pr´esident)
au vu des rapports de:
Bo Berndtsson (Universit´e de Go¨teborg)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
1Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan POPOVICI
2R´esum´e. On g´en´eralise d’abord le th´eor`eme de prolongement L d’Ohsawa-Takegoshi-
Manivel au cas des jets de sections holomorphes d’un fibr´e en droites hermitien au-dessus
d’unevari´et´eka¨hl´erienne faiblementpseudoconvexe. Ondonneensuiteuned´emonstration
simple, en ´etudiant un courant de type (1,1), d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau qui avait
permis d’´etablir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les vari´et´es ka¨hl´eriennes
compactes. Dans la troisi`eme partie on ´etudie une conjecture sur l’existence de r´egu-
larisations des courants quasi-positifs ferm´es, avec controˆle des masses deMonge-Amp`ere,
qui permettrait d’obtenir une nouvelle caract´erisation des vari´et´es de Moishezon g´en´e-
ralisant celles de Siu et de Demailly qui r´epondaient a` la conjecture de Grauert-Riemen-
schneider. Ondonneuneestimationuniformedelapertedepositivit´edansleth´eor`emede
r´egularisationdescourantsdeDemaillyetonobtientuneversioneffective delag´en´eration
nglobale des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe deC .
Mots-cl´es: Courant quasi-positif ferm´e, ensemble analytique, faisceau d’id´eaux multi-
plicateurs, faisceau de jets, fibr´e holomorphe hermitien, fonction plurisousharmonique,
masses de Monge-Amp`ere, nombre de Lelong, sous-fibr´e faiblement holomorphe, vari´et´e
ka¨hl´erienne faiblement pseudoconvexe
2Abstract.WegeneralizefirsttheOhsawa-Takegoshi-ManivelL extensiontheoremtothe
case of jets of sections of Hermitian holomorphic line bundles on weakly pseudoconvex
Ka¨hler manifolds. Then we give a new simple proof of a theorem of Uhlenbeck and Yau
that was the main technical difficulty in their proof of the Kobayashi-Hitchin corres-
pondence on compact Ka¨hler manifolds. This is done via a (1,1)-current interpreted a
posteriori as the curvature current of some quotient bundle. Thirdly, we investigate a
conjecture on the existence of regularizations of closed almost positive currents whose
Monge-Amp`ere masses are under control on a compact not necessarily Ka¨hler manifold.
This would yield a new characterization of Moishezon manifolds generalizing those of Siu
and Demailly given in response to the Grauert-Riemenschneider conjecture. We give a
uniform estimate of the loss of positivity in Demailly’s regularization-of-currents theorem
and an effective version of the global generation property of multiplier ideal sheaves on
npseudoconvex open sets ofC .
´CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32J25, 32U05, 32U40, 32J27, 14C30, 53C05
2Jedoisa`mondirecteurdeth`eseJean-PierreDemaillytoutemaformationmath´ematique
de recherche. Les mots ne pourraient assez exprimer ma reconnaissance.
Je remercie ´egalement les rapporteurs et les membres du jury qui m’honorent par leur
participation.
Jepenseaussi`amafamilleeta`mesamisdontj’aitoujoursappr´eci´elesencouragements.
34Table des mati`eres
0 Introduction 6
21 Un th´eor`eme de prolongement L de jets de sections holomorphes d’un
fibr´e en droites hermitien 14
1.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.0.2 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.0.3 D´emonstration du th´eor`eme 1.0.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.0.4 Estimation de la solution dans le th´eor`eme 1.0.1.5 . . . . . . . . . . 33
1.0.5 Un th´eor`eme de comparaison de type Rauch . . . . . . . . . . . . . 35
1.0.6 Estimation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.0.7 Le cas d’une sous-vari´et´e singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau 47
2.0.8 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
∞2.0.9 Rappels et pr´eliminaires: cas C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.0.10 Le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.0.11 Un lemme sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.0.12 D´emonstration du th´eor`eme 2.0.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmassesdeMonge-
Amp`ere 76
3.0.13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.0.14 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.0.15 Estimation de la perte de positivit´e pour les courants r´egularisants 88
3.0.16 Coh´erence des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs avec estimations . 98
3.0.17 Annexe A: Un probl`eme de th´eorie du potentiel en une variable
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.0.18 Annexe B: Controˆle local des masses de Monge-Amp`ere . . . . . . 112
4 Bibliographie 117
5Chapitre 0
Introduction
L’objectif de cette th`ese est d’´etablir des r´esultats effectifs en g´eom´etrie analytique
complexe en vue d’applications a` l’´etude des vari´et´es compactes, non n´ecessairement
ka¨hl´eriennes,parexempleentermesd’existencedecourantspositifsferm´es.Lamotivation
premi`ere´etaitdepoursuivrel’´etudedecertainesquestionssoulev´eesparlasolutiondonn´ee
par Y. T. Siu ([Siu84, 85]) a` la conjecture de Grauert-Riemenschneider ([GR70]) et
par la g´en´eralisation, via des in´egalit´es de Morse holomorphes, due a` J.- P. Demailly
([Dem85]). Malgr´e des avanc´ees importantes dans cette direction, comme celles de L.
Bonavero ([Bon93]), de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]), ou celle plus r´ecente et spectaculaire
de J.- P. Demailly et M. Paun ([DP01]), beaucoup reste `a faire et un certain nombre de
conjectures semblent encore hors de port´ee.
Deux types de m´ethodes effectives sont au coeur de cette th`ese. D’une part, il est fait
2un ample usage d’estimations L , notamment le th´eor`eme de prolongement d’Ohsawa-
Takegoshi-Manivel([OT87],[Man93]),leth´eor`emededivisiondeSkoda([Sko72b],[Sko78]),
2et les estimations L de H¨ormander pour l’op´erateur de Cauchy-Riemann ([H¨or65]).
D’autrepart,lath´eoriedescourants(quasi)-positifsferm´es,initi´eeparP.Lelong([Lel57]),
est au centre des pr´eoccupations de la derni`ere partie. Le th´eor`eme de r´egularisation des
courants deJ.-P.Demailly([Dem92])constitue `alafoisl’instrument etle pointded´epart
des investigations dans cette partie.
Voici une description des probl`emes abord´es dans la th`ese.
Premi`ere partie: une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Ohsawa-Takegoshi
Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension n, munie d’une
m´etrique ka¨hl´erienne ω, et Y ⊂X une sous-vari´et´e lisse ferm´ee de codimension r d´efinie
0comme le lieu des z´eros d’une section holomorphe s ∈ H (X,E) d’un fibr´e holomorphe
hermitien E →X de rangr. T. Ohsawa et K. Takegoshi ([OT87]) ont r´esolu le probl`eme
2du prolongement des fonctions holomorphes, avec estimations de la croissance L , de la
sous-vari´et´eY `alavari´et´eambianteX.Ult´erieurement, L.Manivel ([Man93])ag´en´eralis´e
ce r´esultat dans le cadre plus g´eom´etrique des sections holomorphes d’un fibr´e hermitien
satisfaisant certaines conditions de positivit´e.
Lepremierobjectifdecetteth`esea´et´eceluideg´en´eraliserleth´eor`emedeprolongement
62L d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel aucasdesjetsdesectionsd’unfibr´ehermitien.SoitLun
fibr´eendroiteshermitiensatisfaisantcertainesconditionsdepositivit´e,etk≥ 0unentier.
k+1Alors, tout “k-jet transverse `aY,” a` savoir toute section du faisceau de jetsL⊗O /I ,X Y
2qui satisfait une certaine condition de croissance L , peut ˆetre prolong´ee en une section
2holomorphe globale de L sur X, avec controˆle de la norme L sur un compact arbitraire
de X.
k+10 n ⋆Pourunk-jetf ∈H (X,Λ T X⊗L⊗O /I )etunefonctionρ>0,nousd´efinissonsX Y
en tout pointy∈Y la norme ponctuelle pond´er´ee parρ et associ´ee a` la sections, comme
1 2 k 2˜ ˜|∇ f| |∇ f|2 2˜|f| (y):=|f| (y)+ (y)+···+ (y),s,ρ,(k) 1 k2 2r 2(r+1) r 2(r+k)r r|Λ (ds)| ρ |Λ (ds)| ρ
0 n ⋆˜ou` f ∈H (U,Λ T ⊗L) est un prolongement local de f a` un petit voisinage U ⊂X deX
j ∞ n ⋆ j ⋆˜y, et∇ f ∈C (U,Λ T ⊗L⊗S N ) est construit `a l’aide de la connexion de ChernX Y/X
n ⋆du fibr´e vectoriel holomorphe Λ T X ⊗L, canoniquement muni de la m´etrique induite
2par la m´etrique deL et parω. Nous d´efinissons ensuite la normeL pond´er´ee def par:(k)
Z
2 2 r −2||f|| = |f| |Λ (ds)| dV .Y,ωs,ρ,(k) s,ρ,(k)
Y
Pour tout entier k≥ 0, on note ´egalement
k+1k 0 n ⋆ 0 n ⋆J :H (X,Λ T ⊗L)→H (X,Λ T ⊗L⊗O /I )XX X Y
k+1lemorphismedegroupesdecohomologieinduitparlaprojectionnaturelleO →O /I .X X Y
Avec ces notations, notre premier r´esultat s’´enonce de mani`ere pr´ecise sous la forme
suivante.
Th´eor`eme 0.0.0.1 SoitX une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension
n, munie d’une m´etrique ka¨hl´erienneω,L un fibr´e en droites holomorphe hermitien,E un
0fibr´e holomorphe hermitien de rang r sur X, et s∈H (X,E) une section g´en´eriquement
transverse a` la section nulle. On d´efinit:
rY :={x∈X; s(x) =0,Λ (ds)(x) = 0},
une sous-vari´et´e de X de codimension r. Supposons aussi que, pour un entier k ≥ 0,
′ ′′ 2la (1,1)-forme iΘ(L) + (r +k)idd log|s| est semipositive et qu’il existe une fonction
continue α≥ 1 sur X telle que les deux in´egalit´es suivantes soient satisfaites sur X:
{iΘ(E)s,s}′ ′′ 2 −1(a) iΘ(L)+(r+k)idd log|s| ≥α ,
2|s|
−α(b) |s|≤e .
Si Ω⊂X est un ouvert relativement compact, on d´efinit une fonction poids ρ = ρ > 0Ω
1
par ρ(y)= , ou` D d´esigne la connexion de Chern de E.
−1 2||Ds || sup(||D s ||+||Ds ||)ξ ξy
ξ∈Ω
7
6Alors, pour tout ouvert Ω ⊂ X relativement compact et pour tout k-jet
k+10 n ⋆f ∈H (X,Λ T ⊗L⊗O /I ) tel queXX Y
Z
2 r −2|f| |Λ (ds)| dV <+∞,Y,ωs,ρ,(k)
Y
0 n ⋆ kil existe F ∈H (X,Λ T ⊗L) tel que J F =f etk kX
Z Z
2|F |k (k) 2 r −2dV ≤C |f| |Λ (ds)| dV ,ω Y,ωr s,ρ,(k)2r 2|s| (−log|s|)Ω Y
(k)
ou` C > 0 est une constante ne d´ependant que de r, de k, de E, du diam`etre de Ω, etr
de sup||iΘ(L)||.
Ω
Laprincipale difficult´e dans lad´emonstration dece r´esultatconsiste `aobtenirl’unifor-
mit´e de la constante dans l’estimation finale. Comme pour le th´eor`eme d’Ohsawa-Take-
goshi, l’int´erˆet r´eside dans la partie quantitative du r´esultat. La d´ependance par rapport
`a s des estimations finales est compl`etement explicit´ee dans le choix de la fonction poids
(k)
ρ. La constanteC est ind´ependante des. Nous appliquons essentiellement les in´egalit´esr
de Cauchy dans des cartes. Pour ´eviter l’apparition dans les estimations de croissance du
rayon (incontroˆlable) des cartes de coordonn´ees holomorphes locales deX, nous utilisons
l’applicationexponentielleetunth´eor`emedecomparaisondetypeRauchpourdesvari´et´es
riemanniennes compl`etes.
Deuxi`eme partie: une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau
Soit (E,h) un fibr´e vectoriel holomorphe de rang r muni d’une m´etrique hermitienne
∞C au-dessusd’unevari´et´eka¨hl´eriennecompacteX.Unsous-faisceauanalytiquecoh´erent
F ⊂ O(E) du faisceau localement libre O(E) associ´e a` E peut ˆetre vu comme un fibr´e
avec singularit´es. En fait, F est localement libre dans le compl´ementaire d’un ensemble
analytiqueS ⊂X decodimension≥ 2.Ilcorrespondainsi a`unfibr´e vectoriel holomorphe
F sur X\S. Le sous- fibr´e F ֒→E peut ˆetre muni de la m´etrique d´eduite deh, et la|X\S
∞projection orthogonaleπ :E −→F d´efinit une sectionC surX\S du fibr´evectoriel|X\S
holomorphe EndE, satisfaisant les relations:
⋆ 2 ′′(⋆) π =π =π , (Id−π)◦D π =0
′′surX\S,ou`D estlapartiedetype(0,1)delaconnexiondeChernsurEndE associ´eea`la
m´etrique induite parh. La deuxi`eme relation exprime le fait que la structure holomorphe
de F est la restriction de la structure holomorphe de E . Un argument standard de|X\S
∞ ′ ′′th´eorie des courants implique que les 1-formesC surX\S,Dπ etD π, d´efinissent des
21-formes L sur X apr`es prolongement par 0 sur S.
Par cons´equent, tout sous-faisceau analytique coh´erentF deO(E) d´efinit une section
2 2π∈L (X,EndE) de l’espace de Sobolev des sections L dont les d´eriv´ees premi`eres sont1
2 ∞encore L , qui est C dans le compl´ementaire d’un ensemble analytique de codimension
≥ 2 et qui v´erifie les relations (⋆).
8Le deuxi`eme objectif de la th`ese a´et´e celui de red´emontrer l’affirmation r´eciproque de
fa¸con relativement ´el´ementaire. Cette r´eciproque avait ´et´e ´enonc´ee et d´emontr´ee par K.
Uhlenbeck etS.T.Yau([UY86,89])commeune´etapeessentielle dansleurd´emonstration
del’existenced’uneuniquem´etriqued’Hermite-Einsteindanstoutfibr´eholomorphestable
au-dessus d’une vari´et´eka¨hl´erienne compacte. K. Uhlenbeck etS. T. Yauprouvaient ainsi
la correspondance de Kobayashi-Hitchin entre les fibr´es holomorphes d’Hermite-Einstein
et les fibr´es holomorphes semi-stables sur une vari´et´e ka¨hl´erienne compacte.
Il ´etait d´ej`a connu, graˆce `a des r´esultats de S. Kobayashi et M. Lu¨bke, que tout fibr´e
d’Hermite-Einstein est semi-stable et se scinde en une somme directe de fibr´es stables.
Le r´esultat important de K. Uhlenbeck et S. T. Yau affirme la r´eciproque, beaucoup
plus d´elicate, a` savoir que tout fibr´e holomorphe stable E sur une vari´et´e ka¨hl´erienne
compacte admet une unique m´etrique d’Hermite-Einstein. La subtilit´e technique dans
leurd´emonstration consiste a`produireunsous-faisceau destabilisant deE,siunecertaine
suite de m´etriques construites surE ne converge pas pour d´efinir `a la limite une m´etrique
d’Hermite-Einstein. Ce probl`eme ´etait r´esolu par le th´eor`eme suivant dont nous donnons
une nouvelle d´emonstration.
Th´eor`eme 0.0.0.2 Soit(E,h)unfibr´eholomorphederangr munid’unem´etriquehermi-
∞ 2tienneC au-dessus d’une vari´et´ecomplexe k¨ahl´eriennecompacteX etπ∈L (X,EndE)1
⋆ 2 ′′tel que π =π =π et (Id −π)◦D π = 0 presque partout.E EndE
Alors il existe F ⊂ O(E) sous-faisceau analytique coh´erent de O(E) et S ⊂ X sous-
ensemble analytique de codimension≥ 2 tels que:
∞1) π ∈C (X\S,EndE)|X\S
⋆ 2 ′′2) π =π =π et (Id −π)◦D π = 0, sur X\SE EndE
3)F =π (E )֒→E est un sous-fibr´e holomorphe de E .|X\S |X\S |X\S |X\S |X\S
Lad´emonstrationdonn´eeparK.UhlenbecketS.T.Yaua`ceth´eor`emeestextrˆemement
technique et n’est pas tr`es instructive. Notre approche est assez ´el´ementaire et ´etudie un
(1,1)-courantquicorrespondaposterioriaucourantdecourbured’unfibr´equotientdeE.
Troisi`emepartie:versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmasses
de Monge-Amp`ere
Leseffortsderecherche danscette directiontrouvent leuroriginedanslaconjecturede
Grauert-Riemenschneider([GR70])etdanssessolutionsetg´en´eralisations.Lebutestcelui
de comprendre la g´eom´etrie des vari´et´es complexes compactes en termes de l’existence de
fibr´es holomorphes (ou, plus g´en´eralement, de classes de cohomologie de type (1,1) non
n´ecessairement enti`eres) satisfaisant des conditions de positivit´e.
Le crit`ere de projectivit´e de Kodaira, caract´erisant la projectivit´e des vari´et´es com-
pactes en fonction de l’existence de fibr´es en droites amples, est peut-ˆetre le premier
r´esultat fondamental dans cette direction, datant des ann´ees 1950. La notion d’amplitude
elle-mˆeme illustre les liens profonds entre les aspects alg´ebrique et analytique de la
9g´eom´etrie des fibr´es vectoriels. En fait, d’un point de vue alg´ebrique, un fibr´e en droitesL
⊗ksurunevari´et´ecompacteX estditamplesil’espacedessectionsglobalesdeL d´efinitun
Nplongement deX dans un espace projectifP , pourk>> 1. L’amplitude est ainsi d´efinie
par l’abondance des sections globales. Du point de vue de la g´eom´etrie diff´erentielle, le
∞fibr´eendroitesLestditamples’ilposs`edeunem´etriquehermitienneC dontlaformede
courbure est d´efinie positive. Ces deux d´efinitions sont en fait ´equivalentes, et l’existence
d’un fibr´e en droites ample sur une vari´et´e compacte X est une condition n´ecessaire et
suffisante pour que X soit projective.
La notion de projectivit´e peut ˆetre affaiblie en une version bim´eromorphe donnant
lieu a` la notion de vari´et´e de Moishezon. Une vari´et´e compacte X est dite de Moishezon
si sa dimension alg´ebrique (i. e. le degr´e de transcendance du corps K(X) des fonctions
m´eromorphes surX) est maximale, ´egale `an =dim X. De mˆeme, la notion d’amplitudeC
d’un fibr´een droites aun correspondant bim´eromorphe plus faible,lanotiondefibr´e gros.
Alg´ebriquement, le fibr´e en droites L sur la vari´et´e compacte X, dimX =n, est dit gros
0si la dimension h (X,mL) des espaces de sections globales de ses puissances tensorielles
⊗m nL est de l’ordre de croissance maximal, `a savoir m , pour m >> 1. Ainsi, l’espace
0 ⊗m ⊗mH (X,L ) des sections globales de L d´efinit un plongement bim´eromorphe de X
dans un espace projectif, pour m>>1. La` aussi, des ´equivalents analytiques existent.
Le plus remarquable est celui donn´e par Y. T. Siu ([Siu85]) en d´emontrant une
version g´en´eralis´ee de la conjecture de Grauert-Riemenschneider. Elle affirme qu’un fibr´e
en droites L sur une vari´et´e compacte X est gros d`es que L poss`ede une m´etrique
∞hermitienne C dont la forme de courbure est semi-positive partout et d´efinie positive
en un point. Un r´esultat compl´ementaire de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]) affirme que
l’existence d’une m´etrique hermitienne, ´eventuellement singuli`ere, dont le courant de
courbure est strictement positif (courant ka¨hl´erien dans leur terminologie), est une condi-
tion n´ecessaire et suffisante pour qu’un fibr´e en droites L→X sur une vari´et´e compacte
soit gros. Cette deuxi`eme caract´erisation ne demande plus la r´egularit´e de la m´etrique
hermitienne, mais demande en contrepartie une condition plus forte de positivit´e.
Un progr`es substantiel dans cette direction a ´et´e fait en 1985 par J.- P. Demailly
([Dem85])peuapr`esler´esultatdeY.T.Siu([Siu85]).Sesin´egalit´esdeMorseholomorphes
ontpermisdeg´en´eraliserencoredavantageleth´eor`emedeSiu,enaffaiblissantl’hypoth`ese
de positivit´e sur la courbure du fibr´e L. Un autre progr`es important, le th´eor`eme de
r´egularisation des courants, duˆ ´egalement a` J.- P. Demailly ([Dem92]), a permis a` S. Ji et
B. Shiffman d’obtenir le r´esultat mentionn´e ci-dessus, simultan´ement avec un travail de
L. Bonavero ([Bon93]) qui obtenait ind´ependamment un r´esultat ´equivalent.
Notre travail dans la derni`ere partie de la th`ese s’est concentr´e sur une g´en´eralisation
du th´eor`eme de r´egularisation des courants de J.- P. Demailly, qui n’existe encore que
conjecturalement, et qui permettrait de faire un autre progr`es substantiel dans la conti-
nuation de ceux d´ecrits ci-dessus. Elle permettrait, entre autres, d’obtenir une version
singuli`ere des in´egalit´es de Morse holomorphes de J.- P. Demailly (une telle version, due
a` L. Bonavero ([Bon93]), existe d´ej`a dans le cas particulier d’une m´etrique ayant un type
sp´ecial de singularit´es, appel´ees analytiques). Elle permettrait aussi d’obtenir le r´esultat
10

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