UFR S T M I A Ecole Doctorale IAE M

De
Publié par

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UFR S.T.M.I.A. Ecole Doctorale IAE + M Universite Henri Poincare - Nancy I D.F.D. Mathematiques These presentee pour l'obtention du titre de Docteur de l'Universite Henri Poincare, Nancy-I en Mathematiques par Pierre DEBS Penalisations de marches aleatoires Soutenue publiquement le 9 Novembre 2007 Membres du jury : Jean Bertoin Examinateur Professeur, Universite Paris VI Dominique Lepingle Examinateur Professeur, Universite d'Orleans Bernard Roynette Examinateur Professeur, Universite Nancy I (Directeur de These) Pierre Vallois Examinateur Professeur, Universite Nancy I Rapporteurs : Michel Emery Directeur de Recherche CNRS, Strasbourg Marc Yor Professeur, Universite Paris VI Institut Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-les-Nancy Cedex 1

  • variable aleatoire uniforme

  • evenement de probabilite nulle

  • processus de bessel de dimension

  • principe de la penalisation

  • penalisation de la marche aleatoire

  • universite de paris

  • penalisations de marches aleatoires

  • docteur de l'universite

  • penalisation


Publié le : jeudi 1 novembre 2007
Lecture(s) : 91
Tags :
Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 134
Voir plus Voir moins

UFR S.T.M.I.A.
´Ecole Doctorale IAE + M
Universit´e Henri Poincar´e - Nancy I
D.F.D. Math´ematiques
Th`ese
pr´esent´ee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e Henri Poincar´e, Nancy-I
en Math´ematiques
par
Pierre DEBS
P´enalisations de marches al´eatoires
Soutenue publiquement le 9 Novembre 2007
Membres du jury :
Jean Bertoin Examinateur Professeur, Universit´e Paris VI
Dominique L´epingle Examinateur Professeur, Universit´e d’Orl´eans
Bernard Roynette Examinateur Professeur, Universit´e Nancy I (Directeur de Th`ese)
Pierre Vallois Examinateur Professeur, Universit´e Nancy I
Rapporteurs :
Michel Emery Directeur de Recherche CNRS, Strasbourg
Marc Yor Professeur, Universit´e Paris VI
´Institut Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Math´ematiques, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-l`es-Nancy Cedex
1Table des mati`eres
Introduction 5
Premi`ere partie 7
Deuxi`eme partie 11
Chapitre 1. P´enalisation de la marche al´eatoire sym´etrique 13
1. Introduction 15
2. Principe de la P´enalisation : Quelques r´esultats g´en´eraux 20
3. P´enalisation par une fonction du maximum unilat`ere 25
4. P´ion par une fo de S 36gp
5. P´enalisation par une fonction de S 54dp
∗6. P´ion par une fo de S 60gp
7. P´enalisation par une fonction du temps local 73
8. P´ion par la longueur des excursions 82
9. P´enalisation par le nombre de descentes entre a et b 99
Chapitre 2. P´enalisation de chaˆınes et processus de naissance et de mort 111
1. Introduction 113
2. Notations et r´esultats principaux 114
3. D´emonstration des r´esultats principaux 117
4. Chaˆınes de Bessel et autres exemples 127
Conclusion et perspectives 131
Bibliographie 133
3Introduction
W
+Soit Ω =C(R→R ), (B,F, t≥ 0),F = F, (x∈R) le mouvement brownient t ∞ t xt≥0
canonique, ou`F :=σ{X ,s≤t}, t≥ 0 d´esigne la filtration naturelle.t s
Consid´erons `a pr´esent le processus de Bessel de dimension 3 issu de x > 0, not´e (R,t≥ 0).t
Ce dernier peut ˆetre obtenu en conditionnant le processus (B,t≥ 0), lorsqu’il est issu de x, `at
atteindre 0 en un temps infini. Cependant il existe bien d’autres fa¸cons de le construire :
1 2 3(1) Soit(W = (W ,W ,W ),t≥ 0)unmouvementbrowniendedimension3telqueW =t 0t t t p
1 2 2 2 3 2(x,0,0). Si on pose R :=kWk = (W ) +(W ) +(W ) , alors (R,t≥ 0) est unt t tt t t
processus de Bessel de dimension 3 issu de x.
(2) Le processus de Bessel de dimension 3 issu de x est la solution de l’EDS :
Z t 1
R =x+ ds+W (0.1)t t
R0 s
ou` (W,t≥ 0) est un mouvement brownien standard issu de 0.t
(3) Soit (W,t≥ 0) un mouvement brownien issu de x et posons S = sup{X ,s≤t}. Sit t s
l’on pose :
∀t≥ 0, R = 2S −X, (0.2)t t t
alors (R,t≥ 0) d´esigne un processus de Bessel de dimension 3 issu de x.t
Comme annonc´e plus haut, le processus de Bessel (R,t≥ 0) peutˆetre obtenu en conditionnantt
un mouvement brownien issu dex a` atteindre l’´etat 0 en un temps infini. Cependant, il n’existe
pas de mani`ere canonique de conditionner par un ´ev´enement de probabilit´e nulle.
L’une d’entre elles consiste en la construction d’une mesure de probabilit´e Q sur (Ω,F ),∞
”proche” de la mesure au sens suivant :
il existe une (F, ) martingale positive (M, t≥ 0), avecM = 1 et telle que, pour toutt≥ 0 :t t 0
Q =M , Q(X > 0,∀u≥ 0) = 1.|F t |F ut t
Pluspr´ecis´ement,supposonsalorsque(B,F, t≥ 0)soitissudex> 0,posonsI := inf{B ,s≤t}t t t s
BtetsoitM := .Ilest´evidentque(M,t≥ 0)estunemartingalearrˆet´eelorsque(B, t≥ 0)t I >0 t ttx
atteint le niveau 0. D´efinissons maintenant la probabilit´e Q sur (Ω,F ) par :x ∞
∀t≥ 0,∀Λ ∈F, Q (Λ ) = (M Λ ) (0.3)t t x t x t t
Posons pour tout a∈R, T := inf{t≥ 0,X =a}. En utilisant le Th´eor`eme d’arrˆet de Doob,a t
il est ´evident que :
Q (I < 0) =Q (T <∞) = [M ] = 0 (0.4)x ∞ x 0 x T0
et pour x>a> 0 :
a
Q (I <a) = [M ] = (0.5)x ∞ x Ta x
loi
Ainsi, sous Q : I =U ou`U est une variable al´eatoire uniforme sur [0,x].∞ [0,x] [0,x]
2Si l’on consid`ere f∈C (R,R), en utilisant la formule d’Itoˆ et la d´efinition de la probabilit´e
5
PPEPPEP16 INTRODUCTION
Q , on obtient :x

Bt∧TQ 0[f(B )] = f(B )t∧T x t∧Tx 0 0 x
Z Z Zt∧T t∧T t∧T0 0 0 0 0 00f (B )B +f(B ) f (B ) B f (B )s s s s s s
= f(x)+ dB + ds+ dsx s
x x 2x0 0 0
Z Z
t∧T 0 t∧T 000 0f (B ) B f (B )s s s
= f(x)+ ds+ dsx
x 2x0 0
Z Zt∧T t∧T0 0 0 00f (B ) f (B )s sQ= f(x)+ ds+ dsx B 2s0 0
et comme sous Q (T <∞) = 0 :x 0
Z Zt t0 00f (B ) f (B )s sQ Q[f(B )] = f(x)+ ds+ ds (0.6)tx x B 2s0 0
Sous Q , le g´en´erateur infinit´esimal du processus (B,t≥ 0) est donc :x t
01 f (r)
00Lf(r) = f (r)+ (0.7)
2 r
Par ailleurs, c’est celui d’un processus de Bessel de dimension 3.
La martingale (M,t≥ 0) s’obtient de mani`ere naturelle en ´etudiant la limite quandt→∞ det
la quantit´e :
[Λ ] [Λ [ ]]x s T >t x s T >s X T >t−s0 0 s 0= (0.8)
[ ] [ ]x T >t x T >t0 0
ou` s≥ 0 et Λ ∈F . En remarquant que :s s
x
√(T >t) ∼ (0.9)x 0
t→∞ 2πt
et en utilisant la propri´et´e de Markov, il est facile de montrer que (0.8) converge vers [Λ M ].s s
Remarquons que cela revient `a conditionner par l’´ev´enement de probabilit´e nulle I > 0.∞
L’exemple pr´ec´edent est une illustration de la m´ethode de p´enalisation : nous avons favoris´e
les trajectoires qui ne passent pas sous 0 en mettant un poids sur la mesure , c’est le rˆolex
jou´e ici par h(I ) = .t I >0t
La p´enalisation, si l’on se restreint au cadre pr´ec´edent, est une m´ethode m´ecanique de
construction de martingales, puis de probabilit´es Q sous lesquelles I est fini p.s.x ∞
L’id´ee est de mettre un ”poids” sur la mesure , lorsque c’est possible, avec des fonctions de
l’infimum moins triviales que pr´ec´edemment et qui auront pour effet de favoriser les
trajectoires dont l’infimum ”ne descend pas trop bas”. Par exemple avec des fonctions h telles queR∞
h(y)dy<∞.
0
Cette th´eorie a ´et´e introduite par B. Roynette, P. Vallois et M. Yor dans [RVY06b] mais elle
a vraiment ´et´e d´evelopp´ee dans [RVY06a].
Danscetarticle,sesauteursconsid`erent,commedansl’exemplepr´ec´edent,lemouvementbrow-W
niencanonique (B,F, t≥ 0),F = F (x∈R) etconstruisentdesmartingales,puist t ∞ t xt≥0
desprobabilit´esQquinesontpasabsolumentcontinuesparrapport`a surF .Pluspr´ecis´ement,∞
B. Roynette, P. Vallois et M. Yor ont consid´er´e des fonctionnelles positives et adapt´ees Γ :
+R ×Ω→R et pour Λ ∈F , ont ´etudi´e la limite de la quantit´e :s s
[ Γ ]x Λ ts
(0.10)
[Γ ]x t
lorquet tend vers l’infini. Ils´etablissent que pour beaucoup de processus (Γ,t≥ 0) cette limitet
existe et est de la formeQ (Λ ) := M ou` (M,t≥ 0) est une martingale positive nonx s {Λ } s ts
uniform´ement int´egrable. Ensuite, ils ´etudient les propri´et´es du processus canonique sous la
EP1EEPEEEPE1EEE1EEE1EEP1PE111`PREMIERE PARTIE 7
nouvelle probabilit´e Q .x
Cette ´etude a ´et´e r´ealis´ee pour plusieurs fonctionnelles et avec d’autres processus que le
mouvement brownien unidimensionnel. Donnons un exemple : la p´enalisation par une fonction du
maximum unilat`ere du processus canonique not´e S := sup {B}. Ici, Γ = ϕ(S ) ou` ϕ estt s t ts≤t
+une fonction positive dont l’int´egrale surR vaut 1. Dans ce cas, le r´esultat obtenu est :
´ `Theoreme 0.1 (Th´eor`eme RVY).
(1) Pour tout s≥ 0 et tout Λ ∈F :s s
[ ϕ(B )]x Λ ts
lim = [ M ] (0.11)Λ ss
t→∞ [ϕ(B )]x t
La martingale obtenue est la martingale d’Az´ema-Yor. Plus pr´ecis´ement :
M =ϕ(S )(S −X )+1−φ(S ) (0.12)t t t t t
Rx
ou` φ(x) = ϕ(s)ds. Cette martingale est positive, non uniform´ement int´egrable : en
0
fait elle tend vers 0 lorsque t→∞.
(2) Sous la nouvelle probabilit´e Q :
(a) S est finie p.s. et sa densit´e de probabilit´e est ´egale a` ϕ.∞
(b) soit T := inf{t≥ 0,X =S }; (X,t≤ T ) et (S −X ,t≥ 0) sont deux∞ t ∞ t ∞ ∞ t+T∞
processus ind´ependants.
(c) Sachant que{S =a}, (X,t≤T ) est un mouvement brownien stopp´e lorsqu’il∞ t a
atteint le niveau a.
(d) (S −X ,t≥ 0) est un processus de Bessel de dimension 3 issu de 0, not´e∞ T +t∞
(R,t≥ 0), ind´ependant de (S ,T ).t ∞ ∞
(3) Soit R = 2S−X . Alors sous Q, (R,t≥ 0) est un processus de Bessel de dimensiont t t t
3.
Cette th`ese a pour objet d’´etablir une th´eorie semblable pour des processus discrets et se
d´ecompose en deux parties :
.dans la premi`ere, nous donnons une d´efinition g´en´erale du principe de p´enalisation puis nous
donnons le pendant discret de plusieurs r´esultats obtenus par B. Roynette, P. Vallois et M. Yor
(cf.[RVY06a],[RVY]).
.dansladeuxi`emepartie,nous´etudionslap´enalisationdanslecadredeschaˆınesetdesprocessus
de naissance et de mort.
Premi`ere partie
Dans cette partie, nous donnons la version discr`ete de r´esultats obtenus par B. Roynette,
P. Vallois et M. Yor, par p´enalisation du mouvement brownien unidimensionnel.
L’´equivalentdiscretdumouvementbrownienestlamarcheal´eatoiresym´etrique.Pluspr´ecis´ement,
soitΩl’ensembledesfonctionsX deNdansZ,tellesqueX(n+1) =X(n)±1,(X ,n≥ 0)lepro-n W
cessusdescoordonn´eesdecetespace,(F ,n≥ 0)lafiltrationnaturelleassoci´ee,F = Fn ∞ nn≥0
et (x∈N) la famille de probabilit´es sur (Ω,F ) telle que sous , X = (X ,n≥ 0) soit lax ∞ x n
marche al´eatoire standard issue de x. Lorsque x n’est pas indiqu´e, on consid`ere, pour all´eger
les notations, que la marche est issue de 0. Tout d’abord, nous donnons une d´efinition du
principe g´en´eral de la p´enalisation. Ce principe explique pourquoi lorque l’on ´etudie, pour des
+fonctionnelles G : Ω×N→R , des quantit´es du type :
[ G ]x Λ pn ,∀n∈N,∀Λ ∈F , (0.13)n n
[G ]x p
E1E1EEP1PE8 INTRODUCTION
lorque p tend vers l’infini, alors les limites sont de la forme [ M ] ou` (M ,n≥ 0) estx Λ n nn
une martingale non-uniform´ement int´egrable. Ainsi, lorsque l’on d´efinit la probabilit´e Q parx
Q (Λ ) := [ M ], cette probabilit´e sousF n’est pas ´equivalente `a , ce qui justifiex n x Λ n ∞ xn
l’int´erˆet de l’´etude de (X ,n≥ 0) sous Q .n x
D’autre part,dans cette partie, onessaie d’expliquerpourquoi, dans laformule (0.13), on prend
des ´ev´enements qui sont dansF et non pas dansF .n ∞
Ce principe une fois ´etabli, la suite de cette partie est constitu´ee de plusieurs exemples de
p´enalisations de la marche al´eatoire. Pour faire le lien avec l’exemple que nous avons donn´e
dans le cas continu, nous n’´enon¸cons dans cette introduction que le r´esultat obtenu lorsque
+nous p´enalisons par une fonction du maximum unilat`ere. Soit donc ϕ :N→R telle que :
X
ϕ(k) = 1,
k≥0
+et on d´efinit φ :N−→R par :
k−1X
φ(k) := ϕ(j)
j=0
Nous obtenons :
´ `Theoreme 0.2.
(1) (a) Pour tout n≥ 0 et tout Λ ∈F , la limite suivante existe et vaut :n n
[ ϕ(S )]0 Λ pn ϕlim = [ M ] (0.14)0 Λn n
p→∞ [ϕ(S )]0 p
ϕou` M :=ϕ(S )(S −X )+1−φ(S ).n n n nn
ϕ(b) (M ,n≥ 0) est une martingale positive, non uniform´ement int´egrable : en fait,n
elle tend vers 0 p.s. lorsque n→∞.
ϕ(2) Soit Q la probabilit´e sur (Ω,F ) caract´eris´ee par :∞
ϕ ϕ∀n∈N,Λ ∈F , Q (Λ ) = [ M ] (0.15)n n n 0 Λn n
ϕAlors sous Q , on a :
(a) S est fini p.s. et v´erifie pour tout k∈N :∞
ϕQ (S =k) =ϕ(k). (0.16)∞
ϕ(b) Soit T := inf{n≥ 0,X =S }; sous Q , T est fini presque surˆ ement et :∞ n ∞ ∞
(i) (X ,n≤T ) et (S −X ,n≥ 0) sont deux processus ind´ependants.n ∞ ∞ n+T∞
(ii) Sachant que{S =k}, (X ,n ≤ T ) est une marche al´eatoire standard∞ n k
stopp´ee lorsqu’elle atteint le niveau k.
(iii) (S −X ,n≥ 0) est une marche de Bessel de dimension 3 issue de 0,∞ T +n∞
not´ee (R ,n≥ 0), ind´ependante de (S ,T ).n ∞ ∞
ϕ(3) SoitR = 2S −X . Alors sousQ , (R ,n≥ 0) est une marche de Bessel de dimensionn n n n
3.
E1EEEPE111E1`PREMIERE PARTIE 9
Dans la premi`ere partie de cette th`ese, les autres r´esultats se pr´esentent tous sous une
forme analogue `a celle du Th´eor`eme 0.2 : on donne d’abord la martingale puis on pr´esente
les propri´et´es de (X ,n≥ 0) sous la nouvelle probabilit´e Q. Remarquons que dans tous nosn
exemples, il existe une variable al´eatoire temps T qui joue un rˆole central, intimement li´ee
a` la fonctionnelle (T pour l’exemple ci-dessus). D’autre part, sous Q, avant cette variable∞
al´eatoire T, le processus conditionn´e par un ´ev´enement de probabilit´e positive (sous et Q),
estlemˆemesous etsousQ,lesmodifications´etantr´ealis´eesapr`esT.Afind’all´egercer´esum´e,
nousr´ecapitulonsdansletableauci-dessousnosautresr´esultats.Pourchaquep´enalisationnous
donnons la fonctionnelleG consid´er´ee, les conditions impos´ees `aG , la martingale obtenue, lap p
variable al´eatoire T et une description du processus apr`es T. Dans ce tableau, nous donnons
une description du processus apr`es T, ce processus apr´es T ´etant ind´ependant du processus
avant T.
Dans le tableau, MB(3) d´esigne une marche de Bessel de dimension 3, i.e. une marche al´eatoire
i+2positive dont les sauts sont d’amplitude 1 et telle que p = , i≥ 0.i,i+1 2i+2
De la mˆeme fa¸con, MB*(3) d´esigne une marche de Bessel* de dimension 3, i.e. une marche
al´eatoire strictement positive, dont les sauts sont aussi d’amplitude 1 et telle que p =i,i+1
i+1, i≥ 1.
2i
PP10 INTRODUCTION
111E1111P1111
Notations, conditions Fonctionnelle martingale T Processus sous Q
1
g := sup{k≤p,X = 0} Avec probabilit´e /2
p k

P
k−1
1 +
φ(k) := ϕ(j) ϕ(S ),p≥ 0 ϕ(S )|X|+ϕ(S )(S −X ) g (X ,n≥g) (resp. (−X ,n≥g))
g g n n n n n
p n
j=0 n
2
g := sup{k≥ 0,X = 0} +1−φ(S ) est une MB(3) issue de 0.
k n
φ(∞) = 1

d = inf{k≥p,X = 0} ϕ(S ),p≥ 0 ϕ(S )(S −X )+1−φ(S ) T cf. thm 0.1
p k d n n n n ∞
p
P P
k−1 ∞
φ(k) := ϕ(j) ϕ(j) = 1
j=0 j=0


∗ ∗ ∗ ∗ ∗
1
S := sup{|X|,k≤p} ϕ S ,p≥ 0 ϕ S |X|+ϕ(S )(S −|X|) Avec probabilit´e /2, (X ,n≥g)
k n n n
p g g n n
p n
P P
k−1 ∞

φ(k) := ϕ(j) ϕ(j) = 1 +1−φ(S ) (resp. (−X ,n≥g)) est une MB(3).
n
j=0 j=0 n
P
1 +
L = 0 Avec probabilit´e h (k)
0
2 k≥1
P
1
+ + + − − −
L =L + sinon h (L ) X h (L )+X h (L ) g (resp. h (k))
n+1 n X =0 p X ≥0 n n
n p n n k≥1
2
P
k
1
+ − −
H(k) = (h (j)+h (j)) +h (L ) , +1−H(L ) (X ,u≥ 0) (resp.(−X ,u≥ 0)
p X ≤0 n g+u g+u
p
2 j=1
H(∞) p≥ 0 est une MB*(3) issue de 0.
1
Σ := sup{d −g ,d ≤n} Avec probabilit´e /2, (X ,n≥g)
n k k k n
n o

|X |
n
˜
[|X||τ >x] =θ(x) ,p≥ 0 + T ≤x−A g
x Σ ≤x X 0 n A ≤x Σ ≤x
p n n n
θ(x)
A =n−g (resp. (−X ,n≥g)) est une MB(3).
n n n
b>a, n≥ 0
σ = inf{k≥ 0,X =b} sachant que g<∞
1 k
σ = inf{k≥σ ,X =a} g (X ,u≥ 0) est une MB(3)
2 1 k g+u

G(D )
n b−X
n
σ = inf{k≥σ ,X =b} 1+ issue de b−a
2n+1 2n k σ +T ◦θ >n
2D b σ
n 2 b−a
2D
n

G(D +1)
n X −a
n
σ = inf{k≥σ ,X =a} +
2n+2 2n+1 k σ +T ◦θ >n
2D σ
n b 2 b−a
2D
n
P
D = (4G(D ),p≥ 0)
p {σ ≤p} p
n≥1 2n

G(D +1)
n b−X
n
G d´ecroissante + 1+
σ +T ◦θ ≤n
σ
2D b
n 2D 2 b−a
n

G(D )
n X −a
n
G(0) = 1,G(∞) := 0 + sachant que g =∞
σ +T ◦θ ≤n
2D b σ
n 2 b−a
2D
n
4G(n) =G(n)−G(n+1) g (b−X ,u≥ 0) est une MB(3)
g+u
g := inf{p≥ 0,D =D } issue de b−a
p ∞
g :={p≥g,X =b}
p

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.