Un aperc¸u de mes principaux resultats

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Un aperc¸u de mes principaux resultats ... L'aperc¸u ci-dessous resume les principaux travaux que j'ai effectues depuis ma these (disons depuis 1985), en essayant de classer les resultats par grandes rubriques. De maniere generale, ces travaux concernent l'application des techniques d'Analyse et de Geometrie differentielle complexes a l'etude de questions de Geometrie algebrique ou analytique. A) Inegalites de Morse holomorphes Grace a une etude spectrale fine de l'operateur de Laplace-Beltrami complexe, j'ai pu demontrer des inegalites de Morse asymptotiques pour la ∂-cohomologie a valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe ([22], 1985). Ces inegalites m'ont permis d'obtenir une nouvelle demonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider sur la caracterisation des varietes de Moishezon, sous des hypotheses beaucoup plus faibles que celles faites par Siu dans sa demonstration initiale de la conjecture (1984). Ces idees ont ete reprises dans les 2 ou 3 ans qui ont suivi par E. Getzler, J.-M. Bismut, Y.T. Siu, Tsuji-Nadel et par mes etudiants Thierry Bouche, G. Marinescu. Un regain d'interet sur le sujet est intervenu depuis 1995 (travaux de G. Marinescu, L. Bonavero, S. Takayama, ...). B) Theoremes d'annulation Dans une serie d'articles ([27,28], 1987 et [30], 1989), j'ai obtenu des theoremes d'annulation fins et optimaux pour les fibres lineaires ou vectoriels holomorphes.

  • estimations effectives de degre pour le plongement des varietes algebriques dans l'espace projectif

  • cone de kahler

  • fine de l'operateur de laplace-beltrami complexe

  • cohomologie

  • theorie de l'intersection des courants

  • inegalites de morse asymptotiques pour la ∂-cohomologie

  • version du theoreme de lefschetz difficile

  • conjecture des geometres algebristes de l'ecole

  • fibres tangent


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 56
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Unaper¸cudemesprincipauxre´sultats...
Laper¸cucidessousre´sumelesprincipauxtravauxquejaieectue´sdepuisma th`ese(disonsdepuis1985),enessayantdeclasserlesr´esultatspargrandesrubriques. Demani`erege´ne´rale,cestravauxconcernentlapplicationdestechniquesdAnalyseet deG´eom´etriedi´erentiellecomplexes`ale´tudedequestionsdeGe´om´etriealge´brique ou analytique.
A)In´egalite´sdeMorseholomorphes Graˆce`aune´etudespectralenedelope´rateurdeLaplaceBeltramicomplexe, jaipud´emontrerdesine´galite´sdeMorseasymptotiquespourlaco`ealogihomo valeursdansunbre´vectorielholomorphe([22],1985).Cesin´egalite´smontpermis dobtenirunenouvelled´emonstrationdelaconjecturedeGrauertRiemenschneider surlacaract´erisationdesvari´ete´sdeMoishezon,sousdeshypothe`sesbeaucoupplus faiblesquecellesfaitesparSiudanssade´monstrationinitialedelaconjecture(1984). Ceside´esont´ete´reprisesdansles2ou3ansquiontsuiviparE.Getzler,J.M.Bismut, Y.T.Siu,TsujiNadeletparmese´tudiantsThierryBouche,G.Marinescu.Unregain dinte´rˆetsurlesujetestintervenudepuis1995(travauxdeG.Marinescu,L.Bonavero, S. Takayama, ...).
B)The´ore`mesdannulation
Dansunes´eriedarticles([27,28],1987et[30],1989),jaiobtenudesth´eor`emes dannulationnsetoptimauxpourlesbr´esline´airesouvectorielsholomorphes.Les techniquesutilise´escombinentdestechniquesalg´ebriques(cohomologiedesvari´ete´s 2 dedrapeaux,suitespectrales),avecdesr´esultatsdexistenceLnderormadeH¨opru lope´rateur8],2tdonn´onieeleL.traselci72[s`alaTh`esedemonuutle´irueeremtn e´tudiantLaurentManivel,quiabeaucoupde´veloppe´l´etudedesvari´et´esdedrapeaux etlesthe´ore`mesdannulationdanslespritdelathe´oriedeBorelWeiletduth´eore`me deBott.Letravail[30]a,quanta`lui,de´bouche´surunepreuveduc´el`ebrethe´ore`me dannulationdeNadel(cf.[35,36]),obtenuind´ependammentparNadelen1989.Jai r´edig´ea`diversesreprisesdesnotesdecoursfaisantlepointsurcesquestions(CIME 1994, ICTP Trieste 2000, ...)
C)Courants,op´erateursdeMongeAmpe`re,NombresdeLelong Dans cette rubrique figurent ([23], [24], 1987) et ([37], [38], [39], 1992).L’objet principaldecestravauxestdutiliserlanotiondenombredeLelong(oudensite´)dun courantpositifferme´,commealternative`alanotiondemultiplicit´eenge´om´etrie alge´brique,etlesope´rateursdeMongeAmp`erepluricomplexescommealternative a`lintersectiondescyclesanalytiquesoualg´ebriques.Jaipuainside´velopperune the´oriedelintersectiondescourants,etobtenirdesin´egalite´sutilessurlesstrates desensemblesde(sur)niveauxdesnombresdeLelongduncourantpositifferme´.Les articles[38]et[39]de´criventunproc´ed´eg´en´eraldere´gularisationdescourants,qui permetdecalculerdemani`erepre´ciselapertedepositivit´esubieparlesre´gularis´esen fonctiondelag´eom´etrieglobaledelavari´ete´.Outremesproprestravaux,cethe´ore`me der´egularisationa´ete´utilise´parplusieursauteurs(S.JiB.Shiman,L.Bonavero, vers199495).Lathe´oriedelintersectiondescourantsquejaide´veloppe´eaaussie´te´ reprisedanslecontextedele´tudedessyste`mesdynamiquesholomorphes(construction de courants invariants par E. BedfordJ. Smillie, N. Sibony, S. Cantat,. . .) 1
´ D)Etudedessyste`meslin´eairesadjointsetconjecturedeFujita 2 Vers199091,jaie´tendulaporte´edestechniquesLen montrant qu’on pouvait lesutiliserpourge´ne´raliser`aladimensionquelconqueler´esultatdeBombierisurles plongementspluricanoniquesdessurfaces([35]):cere´sultatestobtenucommecas particulierduncrite`redegrandeamplitudequire´soutpartiellementuneconjecture desg´eom`etresalge´bristesdel´ecolejaponaise(Mori,Kawamata,Fujita).Leprototype desre´sultatsobtenusestque2KX+mLuettes`rsemalppeuovrquLsoit ample et mcuveboneenrn´eedasunemmargta,dnsrdiladeuetqanndpeeimerpel(noisnem n r´esultatobtenuparlame´thodeanalytiqueemploye´eestquem12nsuffit). Ce travailaeudesretombe´esconside´rables.Ilae´t´e`aloriginedenombreuxtravaux tournant autour de la conjecture de Fujita (qui affirme queKX+mLetsrte`aspmel pourmn94[i91,].)69rpeLl`obeem+2)etdugrnatd´hoe`rmedeMeatsusaka(cf.auss consisteinnea`obtenirdesestimationseectivesdedegre´pourleplongementdes vari´et´esalg´ebriquesdanslespaceprojectif.Citonssurcessujetslestravauxult´erieurs deKolla´r,EinLazarsfeld,Siu,AngehrnSiuauxEtatsUnis,Fujita,Kawamataau Japon,BeltramettiSommeseenItalie,Helmke,Ku¨chleenAllemagne. . . E)Travauxr´ecents Depuis1990,mestravauxontport´eprincipalementsurquatrethe`mes(bienque jaietravaill´eaussisurdautressujets,commeparexempledans[43],[44]et[45]). ´ 1)urtcaltsseavrudet´esri´el´erk¨ahodsennei´rbeltnntgeanetr´bleoueededEut canoniqueestsemipositifounum´eriquementeectif Cestravauxonte´t´epourlessentieleectue´sencollaborationavecThomasPeternelletMichaelSchneider(Bayreuth)danslap´eriode19901997,cf.[40],[41],[47]. Nosr´esultatsprincipauxsontdesthe´or`emesdebration:siXtk¨aese´lhneirocenm pacte`abr´etangentTX,esr`ipnevˆetement´etalenfea,olsr`,raXfibre sur son tore dAlbaneseaveccommebredesvarie´t´esdeFano,dontlebr´etangentestlui meˆmenef,etdontlebr´eanticanoniqueestample.Nousconjecturonsquecesbres sontenfaitdesvarie´t´esrationnelleshomoge`nes,cequinousdonneraitalorsuneclassicationcompl`etedesvari´et´esenquestion.Uneperspectiveprometteuse(travaux encours)estdexploiterlefaitquelesvari´ete´sdeFanoayantunbre´tangentnef sontpresqueKa¨hlerEinstein,i.e.,admettentdesm´etriquesk¨ahle´riennesve´riant daussipre`squelonveutlaconditiondEinstein. Danslasituationplusge´ne´raleou`KXovsnedrse´ustltaestnef,nousaeltiarsps: leth´eore`medebration(modi´edemani`ereade´quate)abienlieuaumoinssiKXest hermitien`acourburesemipositive,tandisquelemorphismedAlbaneseesttoujours surjectif siXseorptusNoonavctjee.ivenucsobtnierederluat´rsemineetdnonsi3 pardesme´thodesdege´ome´triedi´erentiellecomplexe([41]),tandisquelecasg´ene´ral a´ete´obtenuparQiZhangen1995grˆace`alutilisationdeme´thodesdecaract´eristique positive. ´ 2)rivat´´eudEtesedues,enreperboliqiruqseyhsela´gbedeirte´mseavontilaeog´laec espacesdejetsetleursproprie´t´esden´egativit´edecourbure. Ilsagitdestravauxr´ef´erence´s[50],[52],[53].Notreobjectifprincipalestl´etude duneimportanteconjecturedeS.Kobayashi,armantquunehypersurfacege´ne´rique dedegre´assezgrand(plusgrandqueledoubledeladimension),danslespaceprojectifcomplexe,esthyperboliqueausensdeKobayashi.Laproprie´t´edhyperbolicite´en questioneste´quivalentea`lanonexistencedecourbeenti`erenonconstantetrace´edans lavari´ete´;elleimpliqueenparticulierlanonexistencedecourbesrationnellesetelliptiques(etplusg´ene´ralementlanonexistencedemorphismesnontriviauxayant 2
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