UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON I

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON I Etude de quelques problemes ouverts dans le domaine des quasicristaux aleatoires et deterministes These soutenue le 20 decembre 2004 par Jean-Baptiste GOUERE en vue de l'obtention du Diplome de Doctorat (arrete du 30 mars 1992) Specialite : Mathematiques Composition du jury : Enrique ANDJEL Professeur (Universite de Provence), President Franc¸ois BACCELLI Directeur de recherche INRIA (ENS), Rapporteur Andre GOLDMAN Professeur (Universite Lyon 1), Directeur de these Ilya MOLCHANOV Professeur (Universite de Berne, Suisse) Didier PIAU Professeur (Universite Lyon 1) Boris SOLOMYAK Professeur (Universite de Washington, USA), Rapporteur 297-2004

  • processus ponctuel

  • spectre du systeme dynamique

  • distribution invariante par translations et par la dynamique

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Publié le : mercredi 1 décembre 2004
Lecture(s) : 79
Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 135
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UNIVERSITÉCLAUDEBERNARDLYON Í Etude de quelques problèmes ouverts dans le domaine des quasicristaux aléatoires et déterministes
Thèse soutenue le 20 décembre 2004 par JeanBaptisteGOUÉRÉ
en vue de l’obtention du Diplôme de Doctorat (arrêté du 30 mars 1992)
Spécialité : Mathématiques
Compositiondujury: Enrique ANDJEL Franc¸oisBACCELLI André GOLDMAN Ilya MOLCHANOV Didier PIAU Boris SOLOMYAK
Professeur (Université de Provence), Président Directeur de recherche INRIA (ENS), Rapporteur Professeur (Université Lyon 1), Directeur de thèse Professeur (Université de Berne, Suisse) Professeur (Université Lyon 1) Professeur (Université de Washington, USA), Rapporteur
2972004
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier André Goldman, sous la direction duquel cette thèse a été effectuée, pour m’avoir fait profiter de l’étendue de ses connaissances et de la richesse de son imagination, ainsi que pour les encouragements qu’il m’a adressés et l’intérêt qu’il a porté à mon travail. Franc¸oisBaccellietBorisSolomyakontacceptédêtrelesrapporteursdecettethèse. Je leur suis reconnaissant du soin qu’ils ont apporté à la lecture du texte. Je remerci egalementBorisSolomyakdemavoirinvitééàBanpourexposermesrésultats. Je tiens à remercier chaleureusement Didier Piau pour sa disponibilité, pour ses re marques et suggestions sur mon travail, ainsi que pour avoir accepté de participer à mon jury. Je remercie vivement Enrique Andjel et Ilya Molchanov d’avoir bien voulu faire partie de mon jury. Je tiens également à remercier tous les membres et anciens membres du laboratoire qui m’ont apporté leur aide pour la thèse ou les enseignements, ou qui ont contribué à créer au sein du laboratoire cette ambiance amicale dont j’ai tant bénéficié. Pour conclure, je tiens à remercier tous mes proches.
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Résumé Nous étudions dans cette thèse des questions qui trouvent leur origine dans l’étude des quasicristaux. Lepremierthèmeserapporteàladiraction.Nousnousplac¸onsdansuncadrestochastique et montrons que la mesure de diffraction d’un processus ponctuel stationnaire, ergodique et de carré intégrable existe toujours et cöıncide avec la transformée de Fourier de l’intensité de la mesure de Palm de ce processus. Nous utilisons cette connexion pour étudier la méthode ”couper et projeter” dans ce cadre aléatoire et explicitons une rela tion entre la mesure de diffraction du processus projeté et de celle du processus initial. A titre d’exemple, nous étudions les sousensembles aléatoires d’un réseau, ce qui nous permet notamment d’obtenir des ensembles dont la mesure de diffraction comprend une composante singulière explicite. Nous utilisons enfin cette connexion avec la mesure de Palm pour démontrer qu’un processus ponctuel est presque sûrement un quasicristal si et seulement si le spectre du système dynamique associé est discret. Nous démontrons égale ment la contrepartie déterministe de ce dernier résultat : un ensemble est un quasicristal si et seulement si il est presque périodique pour la topologie de Besicovitch. Le deuxième thème s’inspire des problèmes liés à la diffusion dans les quasicristaux. Nous introduisons un modèle d’évolution markovienne d’un système de particules dont le pas élémentaire consiste à choisir un point au hasard et à y déplacer la particule la plus proche. Dans le cas d’un nombre fini de particules sur le cercle, nous établissons l’existence et l’unicité d’une distribution stationnaire et prouvons la convergence vers cette distribution. Nous montrons également une propriété de répulsion entre les particules sous la distribution stationnaire en établissant un équivalent logarithmique en zéro de la queue de la loi de la distance minimale entre deux particules. Dans le cas d’un nombre infini de particules sur la droite, nous prouvons des propriétés de régularité du processus et en déduisons l’existence et l’unicité d’une distribution invariante par translations et par la dynamique.
Motsclés Probabilité, quasicristaux, géométrie stochastique, mesure de Palm, presquepériodicité, analyse harmonique, mesure spectrale, théorie ergodique, système de particules en inter action, châıne de Markov, processus de Markov, mesure stationnaire.
Codes AMS (2000 Mathematics Subject Classification) 11K70, 37A45, 37A50, 52C23, 60D05, 60G55, 60J10, 60J25, 60K35, 82C22.
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Table
Introduction
des
matières
1 Diffraction et mesure de Palm 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Autocorrélation et diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Autocorrélation et mesure de Palm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Mesures de diffraction périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Un exemple de mesure singulière . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ensembles obtenus par la méthode “cutandproject” . . . . . . . . . 1.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 1.5.2 Exemple : sousensembles aléatoires deZ. . . . . . . . . . .
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Quasicristaux et presquepériodicité 2.1 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Introduction and statement of the main results . . 2.3 Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Besicovitch topology . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Discrete measure and almost periodicity . 2.3.3 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Characterization of Patterson sets . . . . . . . . . 2.5 Point processes and stochastic Patterson sets . . . 2.6 Example: deformed model sets . . . . . . . . . . . 2.7 Appendix: some proofs . . . . . . . . . . . . . . .
3 Système de particules avec migration 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Système fini de particules . . . . . . . . . . . 3.2.1 Mesure stationnaire . . . . . . . . . . . 3.2.2 Densité de la distribution stationnaire 3.2.3 Système de deux particules . . . . . . . 3.2.4 Répulsion . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Système infini de particules . . . . . . . . . . 3.3.1 Construction du processus . . . . . . . 3.3.2 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Mesure invariante . . . . . . . . . . . .
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39 39 39 45 45 47 51 53 55 59 60
67 67 70 70 72 75 76 78 78 84 90
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3.4
Appendice : simulations
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Annexes 4.1 Diffraction d’un processus de renouvellement . . 4.2 Topologie et tribus sur les ensembles ponctuels . 4.2.1 Ensembles localement finis . . . . . . . . 4.2.2 Ensemble uniforméments discrets . . . . 4.3 Presque périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Fonctions presquepériodiques . . . . . . 4.3.2 Mesures presquepériodiques . . . . . . . 4.3.3 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Théorème ergodique uniforme . . . . . . . . . .
Problèmesouverts
Publications
Bibliographie
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Introduction
Cristaux et quasicristaux
Historiquement, les cristaux ont tout d’abord été définis comme des solides possédant des faces planes s’intersectant selon des angles spécifiques. Au début du dixneuvième siècle, avec les travaux de RenéJust Haüy et la naissance de la théorie de la cristallogra phie, ce point de vue macroscopique a laissé la place à un point de vue microscopique. La théorie de la cristallographie repose sur l’hypothèse selon laquelle les cristaux consistent en un empilement périodique d’une unique structure élémentaire. Cette théorie fut initia lement confirmée par sa capacité à permettre d’expliquer et de calculer les angles formés par les faces d’un cristal. Elle fut unanimement adoptée après les études de diffraction des rayons X par les cristaux conduites par Max von Laue en 1912 puis par William H. et William L. Bragg. Jusqu’en 1982, tous les solides microscopiquement ordonnés qui furent étudiés se sont révélés compatibles avec cette hypothèse de périodicité microsco pique. Ces deux propriétés, ordre et périodicité, étaient par conséquent considérées comm equivalentes.Cettevisiondeschosesfutreémiseencauseparladécouverteen1982par Shechtman et al. [66] d’un solide possédant d’une part un spectre de diffraction essen tiellement discret  signe de l’existence d’un ordre microscopique  et d’autre part des symétries interdisant sa périodicité. La découverte de ce solide, désigné ultérieusement par le terme de quasicristal, ainsi que les découvertes similaires qui ont suivi, ont conduit à une révision de la notion de cristal, actuellement défini comme un solide possédant un spectre de diffraction essentiellement discret [56]. Les cristallographes définissent ainsi les cristaux comme des solides dont la structure microscopique est ordonnée, mais restent vagues sur la nature précise de cet ordre. Suivant la définition la plus répandue, un qua sicristal est alors à son tour défini comme un cristal possédant des symétries interdisant la périodicité (voir [44] pour une discussion autour de cette définition). Les quasicristaux ont motivé de nombreuses études, en physique comme en mathé matique. Nous ne mentionnons ici que les axes de recherches ayant motivé nos propres travaux : A.Compréhension du lien entre le motif de diffraction d’un solide et la structure mi croscopique de ce solide ; B.Plus spécifiquement, compréhension de la nature de l’ordre microscopique des cris taux ; C.Diffusion des atomes dans un solide. Ces trois axes correspondent respectivement à nos trois articles [26], [24] et [25].
A.La formalisation mathématique de la diffraction a été précisée par Hof [33] en 1995.
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Dans cette formalisation, le solide est modélisé par un sousensemble localement fini 3 ΛRreprésentant l’ensemble des positions des atomes. A cet ensemble Λ est associé une mesure d’autocorrélationγ. La transformée de Fourier au sens des distributions tempérées deγest appelée la mesure de diffraction de Λ. Cette dernière mesure modélise le motif de diffraction du solide initial. Notre objectif est de préciser le lien entre un ensemble et sa mesuredediraction.Nousnouspla¸conspourceladansuncadrestochastique:lensemble Λ est vu comme une réalisation d’un processus ponctuel stationnaireχ. Ce cadre est physiquement naturel, ne seraitce que pour pouvoir inclure dans la modélisation d’un solide des défauts aléatoires tels que l’absence d’un atome en un site normalement occupé où l’écart entre la position réelle d’un atome et sa position idéale. Ce cadre est par ailleurs mathématiquement naturel du fait de la définition même de la mesure d’autocorrélation qui est de nature statistique. Néanmoins, les seuls modèles stochastiques étudiés jusqu’à présent sont soit rudimentaires soit très spécifiques. En effet, essentiellement trois modèles ont été précédemment étudiés : le processus est obtenu en supprimant aléatoirement des points d’un ensemble déterministe [3, 6] ; le processus est obtenu en perturbant la position des points d’un ensemble déterministe [32] ; le processus est associé à un pavage aléatoire [3, 16, 22, 39]. Nous démontrons tout d’abord que, dès que le processus ponctuelχest ergodique sous l’action des translations, alors l’autocorrélation existe toujours et cöıncide avec un objet classique en géométrie aléatoire, la mesure d’intensité de la mesure de Palm deχ. d Nous considérons ensuite les sousensembles aléatoires deZobtenus en prenant les instants de passages en un point d’un processus stationnaire et ergodique (Xk)d. Nous kZ montrons que ces sousensembles admettent p.s. une autocorrélation. Nous prouvons la périodicité de leur mesure de diffraction que nous exprimons en fonction de la mesure spectrale deX. Cela nous permet de construire des exemples d’ensembles dont la mesure de diffraction comporte une composante singulière. De tels exemples existaient dans la littérature, la nouveauté de notre résultat réside dans le fait que les mesures de diffraction que l’on obtient sont explicites. Nous reprenons enfin la méthode “cutandproject” qui est un procédé très populaire [50, 51] d’obtention d’ensembles presquepériodiquesχà partir d’ensembles périodiques χ. Nous étudions la situation plus générale où l’ensembleχest un processus ponctuel. En exploitant le lien que nous avons établi entre la mesure de Palm d’un processus et sa mesure d’autocorrélation, nous donnons une expression de la mesure de diffraction de χen fonction de celle deχ. A titre d’exemple nous appliquons cette construction aux d sousensembles aléatoires deZ. Cela nous permet notamment de retrouver de manière naturelle les résultats précédemment obtenus sur ces ensembles dans le cadre déterministe [33, 47, 52, 62, 69] et dans le cadre stochastique [6].
B.u,euqisyhpegasunlloSee.qugilonoreimuqtemeranurespar¸conmmenCorcisauqnlatsi est un cristal particulier. Dans les articles mathématiques sur le sujet, conformément au habitudes en mathématiques, les cristaux sont au contraires vu comme des quasicristaux particuliers. Pour éviter toute ambigüıté, et selon la terminologie de Lagarias [40], nous conviendrons d’appeler ensemble de Patterson tout ensemble dont la mesure de diffraction associée est discrète. Notre objectif est de caractériser ces ensembles. Ce problème a été ouvert par Hof [33]. Les travaux tendant à préciser la notion de cristal sont cependant plus anciens, et remontent aux études de Bombieri et Taylor [15, 14]. Leur formalisation
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de ce problème était cependant différente. Les ensembles de Patterson sont depuis longtemps supposés être presquepériodiques en un certain sens. Plusieurs résultats partiels visant à préciser cette relation ont été obtenus [8, 40, 41]. Dans cette thèse, nous prouvons que les ensembles de Patterson sont exactement les ensembles presquepériodiques par rapport à la topologie de Besicovitch, une topologie qui a précisément été introduite dans l’étude de la notion de presque pé riodicité [12]. Nous prouvons également qu’un processus ponctuel stationnaire est p.s. un ensemble de Patterson si et seulement si le spectre du système dynamique associé est discret. Ce résultat était conjecturé (des versions partielles avaient déjà été prouvées, voir [20, 42, 43, 68, 69]) et naturel : le caractère discret du spectre d’un système dynamique est notoirement relié à des questions de presquepériodicité. Notre preuve repose notamment sur le rapport que nous avons établi entre la mesure de Palm d’un processus ponctuel et sa mesure de diffraction [26]. Mentionnons que Baake et Lenz, en s’appuyant sur la connexion établie dans [26], ont donné une preuve indépendante de cette caractérisation des ensembles de Patterson en fonction du spectre du système dynamique [5].
C.Plusieurs modèles ont été proposés pour expliquer les mécanismes de la diffusion d’un atome dans un quasicristal : diffusion assistée par l’absence d’atomes en certains sites ; diffusion reposant sur des mécanismes spécifiques à la structure des quasicristaux [36]. Des études numériques (simulations moléculaires [31] ; simulations de Monte Carlo comme par exemple celles de [34] étudiant le mécanisme proposé par [36]), comme des études expérimentales (par exemple [13]) ont été et sont toujours effectuées. Inspiré par ces questions, nous avons introduit et étudié un modèle de diffusion très rudimentaire. Un cristal réel peut être vu comme une réalisation imparfaite d’une structure idéale. Plusieurs défauts peuvent être observés. Notamment, en un site où un atome est présent dans la structure idéale, l’atome peut être du mauvais type, décalé par rapport à sa position idéale ou encore être simplement absent. Pour désigner ce dernier défaut, disons simplement que le site est vacant. Nous ne considèrerons que ce type de défauts. Un atome peut quitter son site, le laissant alors vacant, et se déplacer vers un site vacant, qui devient alors occupé. Ce déplacement d’un atome peut alternativement se voir comme le déplacement d’un site vacant. Un modèle de diffusion de ces sites a été introduit et étudié notamment par Rice dans le cas des cristaux périodiques [59]. Faisons l’hypothèse raisonnable que la densité des sites vacants est faible. Oublions la structure idéale sousjacente et imaginons les atomes uniformément répartis dans l’espace. Modélisons maintenant le déplacement des sites vacants par une dynamique markovienne dont le pas élémentaire est le suivant : un atome est choisi au hasard de manière uniforme, il quitte son site et rejoint le site vacant le plus proche. Nous nous sommes a priori éloignés de la réalité physique principalement pour deux raisons : le caractère uniforme du choix de l’atome  il est vraisemblable que les atomes les plus proches d’un site vacant ont plus de chance de se déplacer  et pour le choix du site vers lequel se déplace l’atome  qui pourrait être choisi de manière plus aléatoire. Reformulons le pas élémentaire de notre dynamique en oubliant les atomes et en appelant particule un site vacant : un point de l’espace est choisi de manière uniforme, la particule la plus proche s’y déplace. Cette dynamique n’a à notre connaissance pas été étudiée.
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