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Vari´et´esprojectiveshyperboliqueset equationsdie´rentiellesalg´ebriques ´ Jean-Pierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier
Cesnotessontuneversion´etenduedunexpose´pre´sent´ele14juin1997a`loccasionde lajourne´eannuelledelaSMFenlhonneurdeHenriCartan,dontunepemie`reversion est parue dans le n73.fc,7991seencitietlluinjezttdeseamhte´amdelaGa[Dem97].
0. Introduction Lebutdecetexteestdoriruneintroductionaussi´ele´mentairequepossible`a unre´sultatimportantconcernantlage´ome´triedescourbesholomorphestrac´eesdans lesvari´et´esalge´briquescomplexesC´sultattrouvesonoriginedanslestravaux . e re fondamentauxdAndre´Bloch[Blo26a,26b],etdanslaThe`sedeHenriCartan[Car28]. Lad´emonstrationquenousallonspr´esenterestunecontributiontr`esr´ecentedeY.T.Siu etS.K.Yeung([SiYe96b],[Siu97]).Ellesobtientdemanie`rerelativementsimple`a laidedestimationsclassiquesenthe´oriedeNevanlinna,commelelemmedelad´erive´e logarithmique,etparlutilisationdope´rateursdie´rentielstelsquelesWronskiens,toutes id´eesde´j`apr´esentesengermedanslaTh`esedeHenriCartan. Avantdepassera`des´enonc´esd´etaill´es,rappelonsunpeudeterminologie.On sinte´resseraparticuli`erementauxvarie´te´salge´briquesditesdeytepg´en´eral. Rappelons qu’une forme de type (p qtee´ra´ielexocpmnefoestui´ermedlleitnereur)sevunude degr´e(p+q)anttaetdme´nnohseocedodrostsyme`ensdauttos(lomorphez1     zn) une e´crituredutype u=XuIJ(z1     zn)dzi1  dzipzj1  zjq|I|=p|J|=q Lasommeci-dessuseste´tenduea`touslesmulti-indicescroissantsI= (i1     ip), J= (j1     jq) d’entiers de{12     n} appelle. Onp-forme holomorpheune forme de type (pceaue(oufaishotsenciecoesss´rbeL.sehpromolttuoyana)0  ) desp-formes holomorphes surXesoΩttnelletnemahe´utibpX appelle. Onsection canonique, resp.section pluricanoniquedeXtoute section holomorphe globale du br´eendroitescanoniqueKX= ΩXnste,oidsrperneu´e.bdrKXkpour un certain entierk > section pluricanonique d’ordre0. Unekentcolemelae´srircutpencdo h(z1     zn)(dz1  dzn)kavec des coefficients holomorphesh. On dit qu’une varie´te´Xde dimensionnest deyt´gepe´nelarsi le nombre de sections pluricanoniques d’ordrekest de l’ordre de grandeur deknquandktend vers +.
2JEAN-PIERRE DEMAILLY Par exemple siXest une hypersurface lisse dans l’espace projectif complexePnC+1 de dimensionnqueioatpaienerud,1+ne´omynolnpleia ´ σ(z0 z1     zn+1) = 0 h ` de de ´p, alors toute expression de la forme omogene gre c =q( )P06j6n+1(1)jzjdz0dz1   dzj  dzn+1 u z dσ de´nitunen-forme holomorphe surX`edqseulsroqnuopets`eneomogomehlynˆedede´rg p(n+ 2) (en sorte queudege´r0eolm`gnedea´reitaien)t.eIp,air.heo.miontvhehost enre´sultefacilementqueXslari´gepe´nestetydep>ncaseusfredeseoriath´+3.L deRiemannmontredemˆemequunecourbe(compactelisse)estdetypegeneralsiet ´ ´ seulementsielleestdegenreaumoins2,cest-`a-direnestniP1Cni une courbe elliptique. Defa´quivalente,unecourbeestdetypege´ne´ralsietseulementsiellepeutˆetremunie con e ¸ duneme´triquehermitiennea`courbureconstanten´egative;ilsuteneetdeprendrela me´triqueinduiteparlame´triquedePoincar´esurlerevˆetementuniverseldelacourbe,a` savoirledisqueunit´e.Cela´etant,onsint´eresse`alaconjecturefondamentalesuivante, propose´eparGreen-Griths[GrGr80]etLang[Lang86,87]. 0.1. Conjecture.SoitXe´irae´tuavenxelisroletsieg´eetypal.An´errbqigle´ssdeeuil unesous-vari´ete´alge´briquepropreY(Xstonteanebruitneere`cnontellequetouteco f:CXest contenue dansY. Lesvarie´te´salge´briquesconsid´ere´esiciseronttoujoursdesvari´et´esprojectivesa`, savoirdesvari´ete´sde´niesparunnombrenide´quationspolynomialeshom`nes oge dansunespaceprojectifcomplexe.Lalocutioncourbeenti`erede´signeraunecourbe holomorphed´eniesurCelrutiafleuqne´c´oneledonacctjetuoetntier.Insistonssrue inclutlecasdescourbesenti`erestranscendantes.Sielle´etaitvraie,ilenre´sulteraitque les courbes elliptiques ou rationnellesCartee´cssdanXsont toutes contenues dans un sous-vari´ete´alge´briqueY(XppaR(lgeabr´eueiqnoleuqscenubruoCXest dite rationnelle,resp.elliptique,sisad´esingularise´eestladroiteprojectiveP1C, resp. une courbe elliptique, i.e. un toreCΛ. Dans les deux cas, en effet, on a des applications holomorphesf:CCqui couvrentCires,ucilarti.Enpere)nti`eetuotXest une surfacedetypege´n´eral,alorsYserait de dimension6t1coartp,eenqu´ensXne devrait avoir qu’un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques. Cette “toute petiteconse´quenceestencorelargementconjecturale,end´epitdavanc´eesnotablesdues `aBogomolov[Bog77],Lu-Yau[LuYa90],Lu-Miyaoka[LuMi95,96],[Lu96],danslecas ou`onposecertainesconditionsnume´riquessurlesclassesdeCherndeX. Onditquunevari´et´ecomplexeXesthyperbolique au sens de Brodysi elle n’admet aucunecourbeentie`renonconstantef:CX(lorsqueXest compacte, Brody [Bro78]amontre´quecela´equivauta`lhyperbolicit´eausensdeKobayashi[Kob70],i.e.a` lanonde´ge´n´erescencedelapseudo-me´triquedeKobayashi).La`encore,lasituation est relativement claire en dimension 1, une courbe complexe est hyperbolique si et seulementsisonreveˆtementuniverselestledisque,enparticulierunecourbealgebrique ´ complexeesthyperboliquesietseulementsielleestdetypege´ne´ral(i.e.degenreau