Weakly Relational Numerical Abstract Domains

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
PhD. Defense Weakly Relational Numerical Abstract Domains Domaines numeriques abstraits faiblement relationnels Antoine Mine Ecole Normale Superieure, Paris December 6-th, 2004

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  • floating-point semantics

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  • domaines numeriques abstraits


Publié le : mardi 19 juin 2012
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L´equationdeSmoluchowski:existencedesolutionset ph´enome`nedege´lation Romain Joly et Emmanuel Vincent sous la direction de Benoˆıt Perthame 8 juin 2000
Re´sum´e Onconsid`erele´quationdeSmoluchowski,quiestunmode`led´ecrivantsimplementlacoagulation departicules.Onde´montrelexistencedesolutions,etonmeten´evidenceleph´enom`enedege´lation. Oneectueenndessimulationsnum´eriques. Tabledesmatie`res 1 Introduction 2 2 Existence de solutions 2 2.1 Cas K borne´...........................................2 2.2Casgene´ral............................................5 ´ ` 2.3Aproposduthe´oremedeDunford-Pettis............................9 ` 3Ph´enom`de´elation11 ene g 3.1De´nitiondelage´lation.....................................11 3.2Unexempleder´esultat......................................11 4SimulationsNum´eriques12 4.1Discussionautourdelavalidit´edeladiscre´tisation......................12 4.2 Les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3R´esultats.............................................14 5 Un peu de physique 17 5.1 Un exemple concret de K ( x y ) : la formation des gouttes d’eau . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2Applicationsa`lastronomie...................................17 6 Conclusion 18
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1 Introduction Le´quationdeSmoluchowskid´ecritle´volutiondeparticulespouvantsagglome´rerpourformerdes particulesplusgrosses,ousefragmenterenparticulespluspetites.Danslasuite,onneconsid`ereraquele processusdagglom´eration.L´equationmod´eliseparexemplelacroissancedesgoutelettesdanslesnuages, laformationdese´toiles... On note c ( x t ) le nombre de particules de masse x a`linstant t . Et on suppose que deux particules de masses x et y ontuneprobabilite´ K ( x y ) dt desagglom´ererpendantuntemps dt . Physiquement, on suppose que le nombre et la masse totale des particules sont finis pour tout temps, cest-`a-direpourtout t , R c ( x t ) dx et R xc ( x t ) dx sont finies. De plus, c et K sont des fonctions positives et K estsyme´trique( K ( x y ) = K ( y x )). Pendant un temps dt , l’ensemble des particules de masse x gagne 12 R 0 x K ( y x y ) c ( y t ) c ( x y t ) dy dt particules(quanddesparticulesdemassesinfe´rieuresseregroupent)etperd R 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy dt particules (quand des particules de masse x seregroupentavecdautres).Onobtientdoncle´quation suivante : tc ( x t )=21 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dy Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy . 2 Existence de solutions Nousnousinte´resseronsici`ar´esoudrelesyste`me t ) = 12 R 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dy R 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dy  t 0  x 0 t c ( x (1) c ( x t = 0) = c 0 ( x ) 0 L 1 2.1 Cas K borne´ ¸consparl L . Nouscommenecaso`u K Notations 2.1 Si u : R 2+ −→ R ( x t ) 7u ( x t ) Ontravailleaveclesfonctionsquiv´erient: u ( x  ) ∈ C 1 et u (  t ) L 1 . On introduit aussi la norme : ` k u k sup T = sup 0 t T k u t k 1 . L’espace des fonctions de R 2+ dans R avec la section a t x´edans L 1 est bien complet pour cette norme. Proprie´te´2.1 Une solution physique c ,cest-a`-direpositiveetsusammentd´ecroissante,ve´rient: k u k sup T ≤ k c 0 k 1 . Donc elle se trouve en particulier dans : B T = { u ; k u k sup T 2 k c 0 k 1 ; u ( x t ) 0 sur R + × [0; T ] } (2) Le 2 k c 0 k 1 ´etantl`apourdesraisonstechniquesquiapparaˆıtreronsdanslasuite.Nousallonsdoncres-treindrelarecherchedesolutionsa`cetypededemi-boule,puisquecestlelieudessolutionsquinous int´eressent.
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D´monstration Il est clair que c ( x t ) 0estne´cessairea`laphysiqueduproble`me.Nouspouvonsalo e rs ecrire : ´ t Z 0 c ( x t ) dx = t k c t k 1 =21 Z 0 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dydx Z Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dxdy  0 Lesinversionsdint´ation´etantassur´eesparlapositivite´destermes.Or: egr Z 0 Z 0 x K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dydx = Z 0 Z y K ( x y y ) c ( x y t ) c ( y t ) dxdy = Z 0 Z 0 y t ) dxdy K ( x y ) c ( x t ) c ( D’ou : ` t k c k 1 = 12 Z 0 Z 0 K ( x y ) c ( x t ) c ( y t ) dxdy 0 t et k c t k 1 ≤ k c 0 k 1 ie k c k sup T ≤ k c 0 k 1 Nous allons montrer maintenant l’existence d’une solution sur tout R + , pour cela il nous faut com-mencera`de´montrerlexistencelocaleparunthe´ore`medepointxe. Lemme 2.1 On note ψ lapplicationquia` u associe v solution de : v ∂t ( xv( tx= t )0=)= 12 R c 00 x ( xK )( x 0 yy ) u ( x y t ) u ( y t ) dy R 0 K ( x y ) v ( x t ) u ( y t ) dy ψ estbiend´eniesur B T et laisse stable B T pour T assez petit. D´emonstration On suppose que u B T d `a x x´e, v ( x t )ve´rie: v dt ( vx( tx= t )0+)= λ ( tc ) 0 v (( xx ) t ) = a ( t ) λ et a sont continues en t etmˆeme C 1 ,lethe´ore`medeCauchy-Lipschitzassuredonclexistencede v x sur R + .Onconnaıˆtmeˆmelasolution,elleestdonn´eeparlaformule: t v ( x t ) = c 0 ( x ) e R λ ( s ) ds + Z 0 t a ( s ) e R 0 t λ ( r ) dr ds 0 Cela assure que v ( x t ) est positive, puisque c 0 0. Montrons la borne L 1 .Ontiredenotree´quationint´egr´eeen x et en t que : t Z 0 v ( x t ) dx =12 Z 0 Z 0 Z 0 K ( x y ) u ( x τ ) u ( y τ ) dxdydτ Z 0 t Z 0 Z 0 K ( x y ) v ( x τ ) u ( y τ ) dxdydτ + Z c 0 ( x ) dx 0 k v t k 1 t 2 k K k ( k u k sup T ) 2 + k c 0 k 1 3
k v k sup T 2 T k K k ( k c 0 k 1 ) 2 + k c 0 k 1 Et pour T 2 k K k 1 k c 0 k 1 , v appartient`a B T . Lemme 2.2 Pour T assez petit, ψ est contractante pour k k sup T et admet donc un unique point fixe qui estlasolutiona`notreprobl`emedans B T . D´emonstration Nousconsid´eronsles T pour lesquels ψ laisse stable B T . Soient deux fonctions de B T : u 1 et u 2 d’images v 1 et v 2 . Calculons : Z 0 | v 2 ( x t ) v 1 ( x t ) | dx 12 Z t Z 0 Z K ( x y ) | u 22 ( x τ ) u 12 ( x τ ) | dxdydτ 0 0 + Z 0 t Z 0 Z 0 K ( x y ) | u 2 v 2 ( x τ ) u 1 v 1 ( x τ ) | dxdydτ Ce qui implique que : k ( v 2 v 1 ) t k 1 t 2 k K k k u 2 + u 1 k sup T k u 2 u 1 k sup T + t k K k ( k u 2 k sup T k v 2 v 1 k sup T + k v 1 k sup T k u 2 u 1 k sup T ) Comme les fonctions sont dans les B T quisontstables,onpeutmajorernosnormesdesant´ece´dents et des images par 2 k c 0 k 1 :
k v 2 v 1 k sup T 2 T k K k k c 0 k 1 k u 2 u 1 k sup T + 2 T k K k ( k c 0 k 1 k v 2 v 1 k sup T + k c 0 k 1 k u 2 u 1 k sup T ) k v 2 v 1 k sup T ≤ k u 2 u 1 k sup T 1 4 T 2 k Tc k o c k o 1 kk 1 K kk K k = C ( T  k c 0 k 1 k K k ) k u 2 u 1 k sup T Pour T susammentpetit,onpeutrepondre`alaconditiondestabilit´eetrendre ψ contractante.
Proprie´t´e2.2 Ilexisteuneuniquesolutionphysique(positiveetrapidementde´croissante)sur R + × R + D´emonstration Nousavonsmontr´elexistencedunesolutionphysique`anotreprobl`emedans R + × [0  T ]. Cettesolutionestpositivedoncdapre`slaproprie´t´e(2),sanorme L 1 despaced´ecroitavecletemps. ´ Nouspouvonsre´ite´rerleprocessusenprenantcommedonne´ededepart c (  t = T 2 ),donne´equiest positive et de norme plus petite que celle de c 0 . Nous aurons une solution sur [ T 2 T 2 + T ] qui est sur [ T 2  T ]confondueavecnotresolutiondede´part(carilyaunicit´esurtoutintervalle[ T 2 T 2 + t ] t T ] ). On peut ainsi prolonger notre solution, mais en observant que les conditions sur T sont plus larges que celles sur T carlanormedeladonne´einitialede´croit(et T ned´ependquedecettenorme),onpeutdonc choisir T = T . Onpeutcontinuerdemˆemejusqua`obtenirunesolutionsurtout R + × R + .
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