Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau BTS

De
Probabiltés conditionnelles-lois discrètes
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique
Publié le : mercredi 10 avril 2013
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Source : CapMention
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Lois de probabilité I. COMBINAISONS p p n Définition 3éléments d’un ensemble.On appelle combinaison de Ecomportant n éléments ( ), toute partie p  deEéléments. Dans une combinaison, l’ordre n’intervient pas à n! p pC1 Théorème ( admis) le nombre de combinaisons d’ordre d’un ensemble ànéléments est :n p!(n%p!! p p n  Dans un ensemble comportantnéléments il yaCfaçons d’en choisirpavec n Exercice 1. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes à . « Trèfle ». lorsqu’on prend 2  deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse :C (il y a en tout 8 cartes à trèfle). 8 Exercice 2. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes . « AS ». lorsqu’on prend 2  Deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse :C(il y a en tout 4 as). 4 Exercice 3. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes « AS ». et trois cartes « Roi ». 2 3  Lorsqu’on prend cinq cartes parmi un jeu de 32. Réponse :C´C 4 4 2  (Première étape : on choisit deux As :Cpossibilités ; Deuxième étape : on choisit trois rois : 4 3 Cpossibilités ; Ensuite c’est le principe multiplicatif). 4 011n 2.Propriétés 1.C11 ;C1n;C11 etC11 nn1n p n%p  2.C1Cn n p p%1p  3.C =C#C. n n%1n%1 Cette dernière formule permet de construire le célèbre triangle de Pascal : chaque nombre du triangle s’obtient en ajoutant le nombre écrit au dessus et son voisin de gauche p1n n p p n%p 3.Formule de binôme de NEWTONån. Le développement de ce produit donne une somme (a#b)1C a b p10 p n%p p n p p de termes de la forme (on prendadans facteurs etbdans les restants) , prenant toutes les valeurs a b pp n%p p p n entières de 0 àn. Or il y aC, donc le coefficient defaçons de choisir facteurs parmi a bestC. n n p1n n p p n%p0 0n1 1n%1n pp p %n1%n1%1n n0 D’où :ån n n n n n (a#b)1C a b1C a b#bC a #..........#C a b#.......C a b#C a p10 B(n,p) II. Loi de probabilité discrète II.1 - Loi binomiale de paramètre n et p Définition 1appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne comportant que deux issues appelées: On p  succèsS, ou échec , de probabilité, de probabilité q11%p. S p  La loi de probabilité est appelé loi de Bernoulli de paramètre . Définition 2: On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire constituée de la répétition d'épreuve de  Bernoulli identiques et indépendantes Exemple On jette une pièce de monnaie. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont Pi : "Pile" p P1p p(F)11%p et F : "Face". Notons (i) et . 1-p p 1er F Pi p 1-p p 1-p 2ème Pi F Pi F p 1-p 1-p p 1-p 1-p p p 3ième Pi F Pi F Pi F Pi F p p p 1-p 1-p p 1-p p 1-p 1-p 1-p p 1-p p 1-p p 4ième F F F Pi F Pi F Pi F Pi Pi Pi F Pi Pi F 1 si la pièce est équilibrée, on ap(P)1p(F)1. i 2 On répète quatre fois, de façon indépendante, le jet de cette pièce .On peut traduire la situation par un arbre pondéré. La probabilité d'obtenir la suite
3 (P,P,F,P) i i iestp´p´(1%p)´p1p(1%p) La probabilité d'obtenir trois fois Pile sur les quatre lancers est la probabilité de l'événement : 3 (P,P,P,F) (P,P,F,P) (P,F, , )F {i i i;ii i ;iPiPi;( ,Pi,Pi,Pi)Elle est égale à ] . 4´p(1%p) . Le nombre 4 correspond au nombre de choix des positions des troisPidans la séquence de quatre (ou, ce qui 3 est identique, au nombre de choix de la position duFdans la séquence de quatre), c'est-à-direC.NotonsX4 X(W) la variable aléatoire égale au nombre de "Pile" obtenus sur les quatre lancers. On a = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} et 3 3 on a justifié quep(X13)1C´p(1%p) . La loi de probabilité de X est alors donnée par : 4 k3 40 1 2 0 0 41 1 304 4 2 2 2 3 3 1 C´p(1%p)C´p(1%p)C´p(1%p) C´p(1%p)44 4C´p(1%p) 4 4 P ( X =k) Définition 3. . Notons X la variable aléatoire qui à chaque liste de n épreuves. k k n%k pour toutkÎNtel que 0£k£n,P(X1k) Cp(1p) 1 %. est parfois notéeB(n,p) n Cette loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelé loi binomiale de paramètre n et p Remarque: Des épreuves indépendantes sont des épreuves où la probabilitépde réalisation d’un événement A  est la même à chaque épreuve.  Exemple : Si un atelier comportenmachines identiques, le fonctionnement de chaque machine doit être  considéré comme une épreuve. Le fonctionnement desnmachines constitue doncnépreuves indépendantes. Remarque: les probabilités obtenues correspondent aux termes successifs de la formule du Binôme donc nk1n n k k n%k % 1 # % 11 1 Cp(1p)(p(1p)!1, et on a bienp(X k) ånå k11 k11 Î[ ] Théorème: soitnÎNetp0;1 . Si une variable aléatoire X suit la loi binomialeB(n,p)de paramètrenetp, E(X)1np V(X)1np(1%p)  alors ; ;s(X)1np(1%p) k1n k1n k k n%kk n k k % å å DémonstrationE(X)1kC p(1%p)1kC p(1%p) pourk¹0 ( et doncn¹0 ) , n n. Or , k10k11 kn! (n%1)!k%1 kC1k1n1nC n n%1, on en déduit : k!(n%k)! (k%1)!(n k%)! k1n i1n%1 k%1k%1 (n1%) (k%1)%i i n1i% %n1% å å E(X)1np C p(1%p)1np C p(1%p)1np(p#1%p)1np n%1n1%. k11i10 k1n k1n 2nk k %k2 2k k n%k2 å å V(X)1pk C (1%p)%(E(X))1k C p(1%p) (%np) n n. k10k11 k1n k1n i1n%1 2nk k %k2k%1k1%n1%(k%1)%2ni i 1i% %2 V(X)1k C p(1%p)%(np)1np kC p(1%p) (%np)n1p(i1#)C p(1p%) (n%p) ånån%1ån%1 k10k11i10 i1n%1i1n%1 æ ö i i n%1i%ni i 1%i%2n1%2 å å V(X)1pnp iC (1%p)#C p(1%p)%(np)1np n(p1%) ((#p(1#p%)) (n%p) n%1n%1( ! ç ¸ i10i10 è ø 2 2 V(X1) ( )) ( #(1%)%.D’où( ) V.et(1 ) ( ) s(X)1np(1%p) 1np np%p# 1np np p np X1np%p P(l) II.2 Loi de Poisson. Définition:Une variable aléatoireXà valeurs dansNsuit une loi de Poisson de paramètrel(l20), k l %l P(l)  notée en abrégé si la loi de probabilité deXest définie par :P(X1k)1epour toutkÎN. k!  On l'utilise lorsque la réalisation d'un événement est assez rare et que l'on effectue l'expérience correspondante  un grand nombre de fois. * Propriétésimdas:se SoitmÎR. Les valeurs caractéristiques d'une variable aléatoireXsuivant une P(m) # E(X)1lV(X)1l  sont : ; ;s(X)1l.  Sinest assez grand et sipest très proche de 0 et sin pn’est pas trop grand , alors on peut approcher  la loi binomialeB(n,p)par la loi de poissonP(l1np) (l1np).
kk N k Nk N %1k N1% l l l l l l %l%l%l l%l% E(X)1k e1limk ek e 1k e1le1le å å.å åå å k!N|#¥k!k!k! (k%1)!k! k10k11k10k11k11k10 N%1kkk N ll l %l%l l2%l2 2%l2 On en déduit : .V(X)1le%l1limle%l; åå å E(X)1le1le e1l k!N k10k!|#¥k! k10k11 N k N k%1N%1k N1%k N1%k N1%k N1%k æ ö æ l l l l l l l 2%l%l l%l%l% le1le k1le(k#1)1leçk# ¸1leç # ¸ å å å å å å å Or ç ¸ ç ¸ k! (k%1)!k!k!k! (k%1)!k! k11k11k10k10k10k10k10 è ø è ø æ ö æ ö N k N%2k#1N1%k N2%k N1%k l l l l l 2%l%l l%l%l l2 le1leç # ¸ 1leçl# ¸ 1lele#e1l#lV(X)1l å å å å å ( !.D’où ç ¸ ç ¸ k!k!k!k!k! è ø è ø k11k10k10k10k10 P(l) Propriété: Approximation de la loi binomialeB(n,p)par la loi de Poisson p  On admet qu'une loi binomiale de paramètrenqueet telle n230;p00,1etnp(1%p)010peut être  approchée par une loi de Poisson de paramètrel1np. (on conserve l'espérance mathématique) np  SoitnÎN,k0;netpÎOn suppose que le produit 0;1 . est constant . on posel1np. Le nombre k Î é ù é ù ë û ë û k k n%k pnp  étant fixé , la quantitéC p(1%pune limite lorsque n tend vers) a-telle vers 0 , puisque et tend est n k n%k æ ö æ ö k k n%k kl l  constant ?.en effet :C p(1%p)1C1%. n nç ¸ç ¸ n n è ø è ø n%kælö n%k (n%k!ln 1% ælöç ¸ ælö n  Calculons la limite de 1%, quand n tend vers. On sait que . è ø ç ¸1% 1e ç ¸ n è øn è ø l### 1 e  L’approximation affine de n(1x) au voisinage de 0 estln(1x)x(x) æ ö ælö %lælælö %læl%ö æ lö æ1  On en déduit que : ln 1% 1 #e. D’où(n%k!ln 1% 1(n%k!#e1(%n k%!e# ç ¸ ç ¸ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ n n nn n n n n è ø è øøè ø è è ø è ø è ø e  où désigne une fonction continue en 0 et telle quee(0)10. n%kælö  On sait quelim11. On en déduit : que lim(n%k!ln 1% 1l%. La continuité de la fonction ç ¸ n|#¥nn|#ènø ¥ ælö (n%k!ln 1% ç ¸  exponentielle permet d’obtenirè ø n%l lime1e n|#¥ k k k kælön!ln(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%)l C11 ´ n(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%)  , le produit est nç ¸k k n k!(n%k)!n n k! è ø n(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%)æ1öæ2ö æk  Constitué de k facteurs . on a donc11´1%1%.......... 1% kç ¸ç ¸ç ¸ n n n n è øè ø è ø k n%k k ækö ælö ælö%l kl  comme lim 1% 11, pour tout entier m fixé , on a : limC1% 1eç ¸nç ¸ç ¸ n|#¥n|#¥ n n n k! è ø è ø è ø Variable aléatoire continue Définition SoitWun univers . On dit qu’une variable aléatoire est continue si l’ensemble des valeurs deXest un  intervalle deR. Densité de probabilité Définition : Une densité de probabilité de la variable aléatoire continueXest une fonctionftelle que :f(x)³0 Et pour tout réelx;f(x)dx11. La représentation graphique defest une courbe située au dessus de l’axe des òabscisses et tendant asymptotiquement vers 0 en±¥. Propriétés:SoitXune variable aléatoire continue etFla fonction de répartition deXLa dérivée deFsurRest une densité de probabilité deXestf · x La fonctionFest la primitive defsuivanteF(x)1f(x)dx · òValeurscaractéristiquesdunevariablealéatoirecontinueméehutqaimtaecnarépsEetencia-trtcaépyerav; Définition: l’espérance mathématiqued’une variable aléatoire continueXest le nombre réel noté : E(X)1xf(x)dx. ò
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