Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

De
Ch2 applications
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour CPGE 1 MPSI
Publié le : mardi 9 avril 2013
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Source : CapMention
Nombre de pages : 7
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Ch2: Applications
I)
Introductionàlathéoriedesensembles:
MPSI
1. Vocabulaire et notations: a) Élément, ensemble vide et appartenance: Élément:un élément d'un ensemble est un « objet » de la collection. : ce symbole désigne l'ensemble vide, c'est-à-dire un ensemble contenant aucun élément. xE Appartenance:signifie que x est un élément de l'ensemble E. b) Inclusion, réunion, intersection: Inclusion: on dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tout élément de A est un élément de B. ABxA , xB xAxB On peut donc dire que signifie que ou encore . Figure: Remarque: CD On utilise aussi la notation pour signifier que C n'est pas inclus dans D. CDxA/xB Ainsi peu se traduire par . ∅⊂E EE Pour tout ensemble E, et . Réunion: AB La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble noté formé des éléments de A et de B. xAB⇔xA ou xBAinsi, . Figure: Remarque: le « ou » est inclusif, c'est-à-dire l'un ou l'autre ou les deux. Exemples: {1,2,3} U {4,5} = {1,2,3,4,5} [0;2] U [-1,1] = [-1;2] Propriétés:Pour tous ensembles A et B, A∪ ∅=A AA=A P1: P3: AB=BAA⊂ABP2: P4:
Intersection: AB L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble noté , formé des éléments communs à A et à B. xAB⇔xA et xBOn a donc Figure: AB=∅ Remarque: Quand , on dit que A et B sont disjoints. Propriétés:Pour tout ensemble B, A∩ ∅=∅AA=A P1: P3: AB=BAAB⊂A P2: c)Parties d'un ensemble et complémentaire: Parties d'un ensemble: AE un ensemble A est une partie (on dit aussi sous-ensemble) d'un ensemble E si et seulement si PEToutes les parties d'un ensemble E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et est noté . APE⇔AE On a donc . Exemple: Si E = {1,2} alors P(E) ={ , {1}, {2}, {1,2} }. Remarque: {1} est un ensemble, mais est un élément de P(E).
Complémentaire: c F Soit E un ensemble et F une partie de E. Le complémentaire de F dans E est l'ensemble notéEformé par tous les éléments de E qui ne sont pas dans F. c F={xE/xF}xc F⇔xE et xFou encoreE. E
Figure: [0;1 c[−1;1]]=[−1;0] Exemple: . Propriété: c E=∅ Pour tout ensemble E,Eet
2.
c∅=E E
Quelquesensemblesparticuliers:
.
: ensemble des entiers naturels (positifs ou nuls) : ensemble des entiers relatifs (de signe quelconque) p : ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent avec p et q entiers relatifs. q : ensemble des nombres complexes, qui contient l'ensemble des réels . On rajoute parfois les signes+,- ou encore * pour signifier respectivement positif, négatif ou non nul. Exemple:+est l'ensemble des nombres rationnels positifs (au sens large). Remarques: ne signifie rien car un nombre complexe n'a pas de signe. + E×Fa , baE bF On note , où E et F sont deux ensembles, l'ensemble des couples avec et 3 =E×E , E=E×E×E etc On note aussi . ℚ× ℤ Exemple: est l'ensemble des couples (a,b) où a est rationnel et b est un relatif strictement négatif. -
.
3. Propriétés: Remarque: AB BA Deux ensembles A et B sont dits égaux si et seulement si et , autrement dit A=B⇔AB et BA. Méthode des démonstrations: Pour démontrer qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B (c'est-à-dire que tout élément de A est dans B), on va prendre un élément x quelconque de A, et montrer par des implications que cet élément est dans B. Pour démontrer l'égalité entre 2 ensembles A et B, on va souvent montrer que A est inclus dans B et B dans A.
AB∪C=A∪BCP1: Soient A, B et C trois ensembles. On a . (Associativité de la réunion) Testons avec un ensemble, afin de visualiser la propriété: Soient A = {1,2,3} et B = {3,4} et C = {2,3,5}. Ici A U B = {1,2,3,4} donc (A U B) U C = {1,2,3,4,5}.  B U C = {2,3,4,5} et donc A U (B U C) = {1,2,3,4,5}. P1 est vérifiée. Démonstration: AB∪CA∪BCMontrons dans un premier temps que . x∈AB∪CxC ou xAB Soit , alors par définition, . Il y a donc deux cas à examiner. xC Cas où : xBCcar CBCxA∪BCAlors et donc . xAB Cas où : xA ou xB Alors . xAxA∪BCAA∪BC- Cas où , alors car xB xBCxA∪BC- Cas où , alors et donc . xA∪BCDans tous les cas, . AB∪CA∪BCOn a donc démontré que . A∪BC⊂AB∪C Montrons dans un deuxième temps que . Raisonnement analogue.
AB∩C¿=A∩BCP2:. (associativité de l'intersection)Soient A, B et C trois ensembles. On a Démonstration: AB∩CA∩BCMontrons que : x∈AB∩C xAB et xC Soit . Alors . Donc x appartient à A, B et C.
xA et x∈BCxA∩BC=> et donc par suite, . La deuxième inclusion se démontre de manière analogue. A∩BC=AB∪ACP3:Soient A, B et C trois ensembles. On a: . On dit que la réunion est distributive sur l'intersection. Démonstration: A rédiger en suivant le même modèle que les précédentes.
A∪BC=AB∩ACP4:Soient A, B et C trois ensembles. On a On dit que l'intersection est distributivité sur la réunion. Démonstration:A rédiger.
.
cc A=A P5:Soit E un ensemble et A une partie de E. On aE E. Démonstration:Par équivalence xcc A⇔xc AxA Soit x un élément de E.EE E (par définition) <=> . D'où P5.
c=cc P6:Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On a: . ABA B Démonstration: Soit x un élément de E. xcxAou xB ABxcxABxc ou xcc=cc <=> . Il vient par équivalence que ABA BABA B xcc A B = c ∪ cc P7: Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On aA B A B. Démonstration: xcxAB ABc=cc Soit x un élément dexx BA et . Il vient par équivalence qABA B E. ue . xxc et c A B III) Applications:
.
1. Définitions: Soient E et F deux ensembles non vides. Uneapplicationoufonctionƒ de E dans F associe à tout élément x de E un unique élément f(x) de F. f : EF F On note . (E, F) désigne l'ensemble des applications de E dans F. xfxVocabulaire:On utilisera indifféremment les termes application et fonction. E est appelél'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivée f(x) est l'imagede x par f, x est unantécédentde y par f lorsque y = f(x) Id : EE E Id Quand F = E, on définit l'identité sur E, que l'on noteraE.comme étant l'application xx Exemple: f :ℝ  ℝf :ℝ  ℝ 12 + les fonctions réelles d'une variable réelle et sont différentes car l'ensemble d'arrivée est xxdifférent bien que donnant la même image à tous les éléments de IR, ensemble de départ. 3 3 t :ℝ  u Les transformations de l'espace: ici la translation avec t une translation de vecteur fixé. xxuw : PEPESoit E un ensemble et B une partie de E . AAB La composition
Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application de F dans G. g°Ef : G g°f La composée de g et f est l'application notée définie par . xg[fx] uv La composée d'une translation de vecteur et d'une translation de vecteur est une translation de uv vecteur . Nous étudierons en détail les composées de transformations du plan et de l'espace.
2. Injection: Soit f une application de E dans F. L'application f est diteinjectivesi et seulement sitout élément de F a au plus un antécédent par f. Cela équivaut à dire que deux éléments distincts de E ont toujours deux images distinctes. En effet, dire que deux éléments x et y de E ont même image z, c'est dire que z a au moins deux antécédents (x et y) par f.
On peut donc écrire: ƒ est injective <=> ∀ x , y∈E² , fx=fy⇒x=y . Remarque: l'identité est injective.
Interprétation graphique:
y 0
y 1
y 2
x 1
∀ x , y∈E² , xy=¿fx≠fy
x 2
Cf
ou encore
Pour les fonctions de IR dans IR, l'injectivité se traduit graphiquement par le fait que la droite d'équation plus un point d'intersection avecCf,quelle que soit la valeur de yi. y et yy Ici2 0ont un unique antécédent,1n'en a pas.
y=y i
Exemples: f :ℝ  ℝ 1. Soit l'application f définie par . Cette fonction est injective. En effet, soient x et y deux réels. x xe x y fx=fy=x=y =>e e=> en prenant le logarithme népérien. g :ℂ ℝ n'est pas injective car il existe des nombres complexes distincts ayant le même module. x∣x
3. Surjection: Soit f une application de E dans F. L'application f est ditesurjectivesi tout élément de F admet au moins un antécédent par f, c'est-à-dire si et yF ,xE/y=fxseulement si .
f :ℝ  ℝ Exemple: La fonction2est surjective car tout réel xx positif admet au moins une racine carrée réelle.
Interprétation graphique:
Une fonction f est surjective si et seulement si la droite d'équation y = yiadmet au moins un point d'intersection avec Cf pour tout yide F.
-3
-2
-1
y 5
4
3
2
1
0
-1
1
2
3
4
5 x
a au
4. Bijection: Soit f une application de E dans F. L'application f est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si et seulement si tout élément de F admet un unique antécédent par f. y 4 Exemples: l'identité, les rotations, la fonction cube... 3 2 Interprétation graphique: y y=1 La droite d'équationid'intersection avec Cf et celaa un unique point y∈ℝ quel que soiti. -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4
5. Application réciproque: Soit f une bijection de E dans F: tout élément y de F admet un unique antécédent x par f. 1 f : FE Définissons qui a tout élément y de F associe l'unique élément x de E tel que y = f(x). x 1 Remarque:fest une application car x est unique. (c'est pour cela que l'on a besoin que f soit bijective)
1 Identité de définition def: 1 x=fyy=fx<=> Fx E 1 f°f=Id E 1 f Il résulte de la définition de que l'on a, pour toute fonction bijective1 ° f f=IdF 1 Id=Id Remarque: IdEest bijective et on aE E. * f :ℝ  ℝ+ Exemple: Soit f la fonction définie par x xe xx=lny y=fx⇔y=ex=lny La fonction f est effectivement bijective: . On a donc*<=> ∈ℝ+ 1 f :* ℝ + L'inverse de f est donc la fonction . xlnx
x y=e x∈ℝ
.
3
6. Image d'une partie: a) Image directe d'une partie: Soit f une application de E dans F et A une partie de E. L'image de A par f est l'ensemble inclus dans F noté f(A) dont les éléments sont les images par f des éléments de A. fA={fx/xA}yfA⇔ ∃xA/y=fxOu encore . Image A par f: Cf
f(A)
A
x
b) Image réciproque d'une partie: Soit f une application de E dans F et A' une partie de F. 1 fA 'L'image réciproque de A' par f est l'ensemble inclus dans E, noté , des éléments de E dont l'image par f est dans A'. 11 fA '={xE/fx∈A '}xfA '⇔fx∈A ' Ou encore . 1 Remarque: l'image réciproque de A' est définie même si la fonction f n'est pas bijective.fN'existe alors pas, 1 fA 'est simplement une notation.
1 fA '=II 0 1
I 0
A'
Cf
I 1
Remarque: une ambiguïté de notations apparaît lorsque f est bijective. Dans ce cas, 1 f l'image réciproque de A' par f et l'image directe de A' par .
Démontrons que ces deux ensembles sont égaux: Soit H l'image réciproque de A' par f. H={xE/fx∈A'} 1 f Soit G l'image directe de A' par : 1 G={fy/yA'} xHy=fxSoit et soit . Par définition de H, 111 fy°f=Id =f[fx]=xfE. Ainsi car
xG Soit . Par définition, xH et GH . => Il vient que H = G.
IV) Quelques propriétés:
1 yA '/x=fy
1 fA 'désigne à la foix
1 yA'fy∈G , donc xG HG et donc .
. D'où
. Or
1 fx=ffy=y .
fx∈A ' Donc
P1: La composée de deux injections est une injection. Démonstration: Soient E, F et G trois ensembles, f une injection de E dans F, g une injection de F dans G. Montrons qu'alors injective. x et x de E Pour cela, prenons deux éléments distincts1 1. On veut donc parvenir à la conclusion que gfx≠gfx 1 2. xx fx≠fx=> car f est injective. 1 2 1 2 gfx≠gfx  => car g est injective. 1 2 g°f Donc est injective.
g°f est
P2:La composée de deux surjections est une surjection. Démonstration: Soient E, F et G trois ensembles, f une surjection de E dans F, g une surjection de F dans G. Montrons que tout g°f élément de G admet au moins un antécédent par . yFz=gySoit z un élément de G. L'application g est surjective donc on peut définir tel que . yFxy=fxEt f est surjective. On peut donc définir élément de E tel que .
Ainsi,
gfx=zg°f donc x est un antécédent de z par .
P3: La composée de deux bijections est une bijection. Démonstration: Conséquence des deux propriétés précédentes. Soient E, F et G trois ensembles, f une bijection de E sur F, g une bijection de F sur G. g°f f et g sont bijectives donc elles sont toutes deux injectives et donc est injective. g°f g°f De même, f et g sont surjectives, donc est surjective. est donc bijective.
P4:Soit f une bijection de E dans F. Son application réciproque est également bijective. Démonstration: 11 ffx=x En effet, est surjective car tout élément x de E admet comme antécédent f(x) puisque . 1111 fx=fy⇒ffx=ffy⇒x=y Elle est aussi injective car si x et y sont deux éléments de F, car 1 f°f=IdE.
V) Deux exercices de base pour rédiger:
Ex1:Démontrer que l'application ℂ ∖ {−1} dans
Ex2:Démontrer que l'application
ℂ ∖ {i} est injective puis qu'elle réalise une bijection de
st bijective de IR dans IR.
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