Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

De
Courbes paramétrées
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI
Publié le : mardi 9 avril 2013
Lecture(s) : 39
Source : CapMention
Nombre de pages : 8
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Plan de cours
Chapitre:
Courbesparame´tre´es
2 1Limitesetde´rivabilite´desfonctions`avaleursdansR 1.1De´nitions............................................. 1.2Proprie´te´s.............................................
2Courbesparame´tre´es 2.1D´enitionetg´ene´ralit´es.......... 2.2 Etude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1Ge´ne´ralite´s............. 2.2.2 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Les branches infinies . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3Trac´edescourbesparame´tre´es 3.1 Un exemple: Courbe de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Re´ductiondelintervalled´etude................................
4Courbesencoordonn´eespolaires 4.1Ge´n´eralite´s............................................ 4.2 Etude des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Etude des asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4Unexemple:lacardioı¨de.....................................
1
1.1
2 Limitesetd´erivabilite´desfonctions`avaleursdansR
D´enitions
2 Soitf:IRo,u`Iest un intervalle deR.
On appellecomposantes de fet on notex, yles fonctions deIdansRtelles que :
tI, f(t) = (x(t), y(t))
1
1 1 2
3 3 4 4 4 5
6 6 6
7 7 7 8 8
2 Soitt0I, lRdit que. On f tend vers lquandttend verst0lorsque:
limkf(t)lk= 0lim|x(t)lx|= 0limx(t) =l tt0tt0tt0
1 On dit quefest declasseCrivableleisseele´dt`ad´eriv´eeoctnnieu.
Aveclesmeˆmesnotations.
De´monstration 1.2.
Pareil poury(t). 2.1.Cet.ia´mdetsmi
Sil= (lx, lyavtnse:itnossiulesassernceentreiuqeelavisro´aylal)
.
Do`u
De´nition
limkf(t)lk= 0 tt0
1. limtt0f(t) =l 2. limtt0x(t) =lxet limtt0y(t) =ly
On dit quefestcontinuesi ses composantesxetyle sont.
Propri´et´es
2 Proprie´te´sSoientfetgdeux fonctions deIdansRacilnoitlereppaO.is`dcnnohdeIdansR telle queh:t7→f(t).g(t). Alors, sifetgelbavire´dtnoss,hl’est aussi et: 0 0 0 0 0 0 0 tI, h(t) =x(t)x(t) +x(t)x(t) +y(t)y(t) +y(t)y(t) =f(t).g(t) +f(t).g(t) f g f g f g f g
2
0 0 0 tI, f(t) = (x(t), y(t))
On dit quefestbaelrevi´dsi ses composantes le sont et :
1.2
q 2 2 tI,kf(t)lk= (x(t)lx) + (y(t)ly) q 2 tI,|x(t)lx|= (x(t)lx)≤ kf(t)lk
2 CorollaireSoitfcnofenure´dnoitdeleabivIdansR. −→ 2 La fonctionh:t7→ kfkeelebs:trivatd´e
0 0 tI, h(t) = 2f(t).f(t)
Sifne s’annule pas, alorsn:t7→ kf(t)kets´drevibaelte:
D´emonstration Evident p On utilise que,tI, n(t) =h(t)
0 f(t).f(t) 0 tI, n(t) = kf(t)k
Proprie´te´Soientfetgdctonxfeuivablesdionsd´ereIdansRla fonction. Alors h´e,dienedI 2 dansRparh:t7→det(f(t), g(t))etebaelrevits´d
De´monstration
0 0 0 tI, h(t) = det(f(t), g(t)) + det(f(t), g(t))
tI, h(t) =xf(t)yg(t)yf(t)xg(t) Ond´eriveetonappliquelapropri´ete´pre´c´edente.Ler´esultatestimm´ediat.
2
2.1
Courbesparame´tre´es
De´nitionetg´en´eralit´es
D´enition
2 On appelleetr`eamarcparl(ee´nnodaI, f) d’un intervalleIdeRet d’une fonctionf:IR.
On appellee´rte´masrtdeuppocparlarl’ensemble Γ ={f(t)/tI}.
3
Remarque)eepe`rtniettusntlouvearamarcpngise´d(sneibtnapabeurcoreetm`raedalterepUr`ern mani`eresuivante:onvoitleparame`tretcomme le temps et on imagine un mobile qui au tempst,est`a la position (x(t), y(t)).
2.2 Etude locale 2.2.1G´en´eralite´s
De´nitionSoit (I, fble.Soitcparun)rte`maraavire´deM0un point de la courbe. 0 On dit queM(t0) estilugre´ersif(t0)6= 0
etm`raparcaelsdtniopselsuotiSsalorei,rgelutn´rerosfblvae.rdieri´etrapluciere`netegulitr´ees
0 On dit queM(t0) eststationnaireou singulier sif(t0) = 0.
RemarqueOn parle deintrpolier´egucomme abus de langage. On devrait dire commeerape´magart r´egulierdupoint.
2.2.2
Tangentes
D´enitionSoit (I;f)unarcparam`ets,ertioM(t0) un point de cet arc. −−−−−−−−−−−→ S’il existepourhR, des vecteurs~u(h)riae´nilcoa`seM(t0)M(t0+h) tels que les vecteursu~(h) aient une limite non nulle quandh0, alors on dit que la droite Δ passant parM(t0d)arep´eigir limtt0u~(h) est unetangentela`ecranM(t0).
RemarqueDans ce cas, on dit que la tangente est la droite limite des droites (M(t0)M(t0+h)) en supposant que pourh0, M(t0)6=M(t0+h).
Propri´et´eentes.pr´ec´edtatosnoicevAnsel 0 SiM(t0´rgelueie)tsanetunteisexilr,necrala`etnegM(t0parg´eediri),f(t0).
De´monstrationOn noteh(t) = (x(t), y(t)) −−−−−−−−−−−→ M(t0)M(t0+h)x(t0+h)x(t0)y(t0+h)y(t0)0 0 =~u(h) = (,m).Enpass`tnalalatimiil,ett0u~(h) = (x(t0), y(t0)) = h h h 0 f(t0).
4
Me´thode:EtudedestangentesenunpointstationnaireSoitC: (x(t), y(tnu))uoce.peeeb´rrmtaer`a Onchercheune´eventuelletangenteenM(t0)us.ernnaiatio´estppos y(t0+h)y(t0)−−−−−−−−−−−→ Six(t0+h)x(t0)6= 0, on peut prendreu~(h) = (1,)a`eria´einol,cM(t0)M(t0+h). Si x(t0+h)x(t0) y(t0+h)y(t0) limh0existe et est finie (lR) , alors limh0~u(h) = (1, l). x(t0)x(t0) Ilyaalorsunetangentedirige´epar(1, l).
onemd´t,t´ul´etrmerueire.tneOnpeututiliserasuiselaftiusvina 0 y(t)y(t0+h)y(t0) Si limtt00=lR, alors limtt0=l. x(t)x(t0+h)x(t0)
Remarquetteccevaselacitrisrasteeodth´eemseruˆmmetnednoanlauettorvuOpngentesveerlestan premie`recoordonn´ee.
2.3
Les branches infinies
D´enitionSoitC: (x(t), y(t)), tR.uocenparaurber´eem´et dit queCadmet une branche infinie au voisinage det=t0Isi:
limkx(t), y(t)k= +tt0
SoitDOn dit queune droite passant par l’origine. Cdamet la droiteDpour asymptote si la droite (OM(t)) tend versDquandtt0. SoitDune droite. On dit queDest une asymptote `aCquandtt0siCadmet une branche infinie ent0etd(M, D)0.
Me´thode:Etudedesbranchesinnies
Dans ce qui suit,tt0.
Si|x(t)| →+ety(t)lR, alors il y a uneasymptote horizontaleqe´itauondy=l.
Si|y(t)| →+ety(t)lR, alors il y a uneasymptote horizontaleitnoqeaud´x=l.
y(t) Si|x(t)| →+et si|y(t)| →+lda,te´nosroudiequantt0 x(t)
y(t) 1. Si limtt0=±∞, on obtient unebranche parabolique selon(Oy) x(t) y(t) 2. Si limtt0= 0, on obtient unebranche parabolique selon(Ox) x(t) y(t) ? 3. Si limtt0=lR´no,duteiey(t)ax(t) x(t) (a) Si limy(t)ax(t) =bRiond´equatrdaletioa,srolyax(t)b= 0 estasymptote oblique (b) Sinon, la droite de directionyaxest unedirection asymptotique.
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