Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

De
Lois de composition internes- groupes
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI
Publié le : mardi 9 avril 2013
Lecture(s) : 49
Source : CapMention
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Chapitre: Loisde composition internes, groupes, sous-groupes et morphismes
1 Loisde composition internes
De´nitionsSoit E un ensemble. On appelle loi de composition interne sur E toute application deE×Edans E. On appelle magma tout couple (E,itu´onst)cteEelbmesnenudeernteinoielundsurE.
1.1Associativite´
framedSoit (E,) un magma.On dit qu’il est associatif ou queest associative si: x, y, zE,(xy)z=x(yz)
1.2Commutativite´
De´nitionSoit (E,On dit qu’il est commutatif ou que) un magma.est commutative si:
x, yE, xy=yx
1.3Ele´mentneutreete´l´ementinversible
D´enitionSoit (E,) un magma eteE. On dit queeest untneme´le´ertuende ce magma si:
xE, xe=ex=x 1
The´or`eme(unicit´edel´el´ementneutre)Soit (E,usnlo.Amaagnm)uulpuaede`ssopEsr ´ele´mentneutre.Onleconteg´ene´ralement0Elorsque la loi de E est vue comme une addition et 1E lorsqu’elle est vue comme une multiplication.
0 0 D´emonstrationSoient (E,) un magma ete, eE/ On suppose queeetenodtue´xssntme´eel 0 0 neutres de ce magma.Alorse=ee=e
0 D´enitionOn dit quexest inversible dans (E,) ou plus simplement pours’il existexEtel que: 0 0 xx=xx=e 0 Untele´le´mentxes´eelpptaevsrnunideex.
Quenest-ilalorsdelunicite´desinverses?
The´ore`me(Inversibilit´edansunmagmaassociatifavece´l´ementneutre)Soient (E,) un magmaassociatifde´le´mentneutree. SoitxE. Sixest inversible, alorsxopnuede`ssinueiqune.rsve Soientx, y, zE. Sixy=xzet sixest inversible, alorsy=z Siyx=zxet sixest inversible, alorsy=z 111 Soientx, yE. Sixetysont inversibles,xyl’est aussi et (xy) =yx n n11n SoientxEetnN. Sixest inversible, alorsxl’est aussi et (x) =(x)
D´emonstration 0 000 00 00 SoientxEetxetxdeux inverses dexdans (E,). Alors:x=xe=x(xx) = 0 0000 00 (xx)x=ex=x Soientx, y, zEsuppose que. Onxy=xzet quexAlors:est inversible.y=ey= 1111 (xx)y=x(xy) =x(xz) = (xx)z=ez=z. 11111 Soientx, yEAlors: (tous deux inversibles.xy)(yx) =x(xy)x=xex= 111 xx=e(me:eeDˆm.yx)(xy) =e Paecnerruce´rrelerioatn.emiˆisroatelrdtirap 11 SoitxEinversible. Alorsxx=xx=e. 2
1.4Distributivit´eduneloiparrapporta`uneautre
Propri´et´eSoient?etdeux lois de compositions internes sur un ensembleEdit que. On?est distributiveparrapporta`si:
et (y ? x)(z ? x)
x, y, zE, x ?(yz) = (x ? y)(x ? z)
Exempleidtsirubitevssru´raLinuetenoledteinecrsontintsoP(E). Eneffet, pour toutes parties A, B, C de E: [ \[ \\ [\ [ A(B C) = (A B) (AC)(A B)C= (AC) (B C) et inversement.
2 Structurede groupe 2.1 Groupe
De´nitionOn appellegroupee,trnsdaenemeutntuuqelotleociatif,magmaasstnnue´´lopsse´adutto e´le´mentestinversible.
RemarqueUn groupe commutatif est ditneile´baepuorg.
De´nition(Groupesym´etrique)ide.OnappellegroEtnuneesbmelonvnoiSe´mysepueuqirt deElensembledesbijectionsdeEsurE,note´SE. Lemagma (SE,ntnertuee´dme´lgrunpeouest)e IdE.
2.2 Sous-groupe
De´nitionSoientGun groupe etHune partie deGdit que. OnHest unsous-groupede G si: 0 0 Hest stable par produit:h, hH, hhH Hest un groupe pour la loi deG
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Th´eor`eme(´ele´mentneutreetinversedansunsous-groupe)SoientGun groupe etHun sous-groupe deG. Alors 1H= 1Gi.e. 1GH SoithHde. L’inversehdansHet l’inverse dehdansGco¨ıncident.
D´emonstration Comme 1Hest neutre dansH, 1H1H= 1H1. MaisGest neutre dansGdonc 1H1G= 1H. Par cons´equent,1H1H= 1H1G/ Nous pouvons simplifier cela carGest un groupe donc 1H= 1G. 0 00 SoithH. Soienthethses inverses respectifs dansHetG. Ona alors: 0 000 000 000 00 00 h= 1Gh= (h h)h=h(hh) =h1H=h1G=h
The´ore`me(Caract´erisationdessous-groupes)SoientGun groupe etHune partie de G. Les ´equivalencessuivantessont´equivalentes: Hest un sous-groupe deG⇐⇒ 1GH 0 −10 h, hhH, hH Heststableapprorudtiteapprsaas`ageinlrsve.e
0 −10 D´emonstrationPour montrer queh, hH, hhH, il suffit de poserh, hHon a vu que. Or 1 hHet puisqueHest stable par produit on peut conclure.
Exemples(Z,+) est un sous-groupe de (Q,meˆm-iulrg-suosede(oupe+)R,+) (U,×) est un groupe et l’ensembleUnen est un sous-groupe.
2.3Morphismesdegroupes Soient (G, ?) et (Γ,) deux groupes.
D´enition On appellemorphisme (de groupe) deGdansΓ toute applicationf:−→Γ telle que: x, yG, f(x ? y) =f(x)f(y) Un morphisme deGdansGprihmsdee´neodomestappeleG. 4
ExempleL’exponentielle est un morphisme deRdansR.
The´or`emeSoientGet Γ deux groupes etf:G−→Γ un morphisme de groupes. f(1G) = 1Γ 11 • ∀xG, f(x) =f(x)
De´monstration On a:f(1G)f(1G) =f(1G1G) =f(1G) =f(1G)1Γ.Ensimplif iantdansΓ parf(1G) on a bien f(1G) = 1Γ 11 SoitxGa. Onf(x)f(x) =f(x1x) =f(1G) = 1Γmeˆeemtdef(x)f(x) = 1Γ.
The´or`eme(Compositiondesmorphismes)Sifetgsont deux morphismes de groupes respec-0 000 00 tivement deGdansGet deGdansG, alorsgfest un morphisme deGdansG.
D´emonstrationSoientx, yG. Alorsgf(xy) =g(f(xy)) =g(f(x)f(y)) =g(f(x))g(f(y)) = (gf(x))(gf(y))
D´enition(Noyauetdelimagedunmorphismedegroupes)SoientGet Γ deux groupes etf:G−→Γ un morphisme de groupes. 1 On appellenoyau def,not´eKerfl’ensemble:Kerf=f({1Γ}) ={xG/f(x) = 1Γ}. Alors Kerfest un sous-groupe deG. On rappelle l’image def,ont´eeImf=f(G) ={yΓ/xG/y=f(x)}
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