Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

De
Géométrie plane
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI
Publié le : mardi 9 avril 2013
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Source : CapMention
Nombre de pages : 17
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Chapitre:G´eom´etrieduplan Plan de cours 1Modesderepe´rages2 1.1Rep`erescart´esiens........................................2 1.2Changementderepe`reorthonormaldirect...........................3 2Coordonne´espolaires4 2.1D´enitionetge´ne´ralite´s.....................................4 2.2Passagedescoordonn´eescart´esiennesauxcoordonne´espolaires...............5 3 Produit scalaire 5 4 D´t rminant 7 e e 5 Barycentres 8 6 Droites du plan 9 6.1Ge´n´eralite´s............................................9 6.2Equationcart´esienneetrepre´sentationparam´etrique.....................9 6.3Distancedunpointa`unedroite................................10 6.4 Equation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7 Cercles 12 7.1De´nitionete´quationcart´esienne................................12 7.2 Equation polaire d’un cercle passant par l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3 Intersection droites/cercles et cercles/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3.1 Intersection droites/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3.2 Intersection cercles/cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.4 Cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8 Lignes de niveaux 15 8.1D´enition.............................................15 8.2Exemples`aconnaitre.......................................15 8.2.1Aveclede´terminant...................................15 8.2.2 Avec des rapports de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
1Modesderepe´rages On note P l’ensemble des points du plan et E l’ensemble de ses vecteurs. 1.1Rep`erescarte´siens
D´enition Soient u et −→ v deux vecteurs de E . Ils sont dits colin´eaires s’il existe ( λ, µ ) 6 = (0 , 0) tels que: λ −→ u + µ v = 0
~ Remarque Le fait que ~u et v~ soientcoline´airessignieque ~v = 0 ou ~u = λ~v .
D´enitions On appelle base de E tout couple ( ~u,~v ) de vecteurs noncolin´eaires Onappellerepe`recart´esiende P un triplet ( O ; u~,v~ )ou`Oestunpointet( ~u,v~ )unebasedonn´ee. Pour tout vecteur w~ de E , il existe un unique couple ( x, y ) R 2 tel que: w = xu + y~v ~ ~ Le couple ( x, y ) s’appelle coordonn´ees du vecteur ~w dans la base ( ~u,v~ ). Pour tout point M P , il existe un unique couple ( x, y ) R 2 tel que: ~ OM = x~ + y~v u Ilestappele´coordonn´eesde M danslerepe`re( O ; ~u,v~ ).
Remarque Sionchangederepe`re,lescoordonne´esdunpointchangent. Methode:changementderep`ere On se donne R = ( O ; ~u,v~ ), avec O ( a, b ) dans R . On prend ´ ~ u 0 = αu~ + βv~ ~ v 0 = ~ + δ~v γu
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~ ~ On suppose que ~u et v~ nesontpascolin´eairesetonnote R 0 = ( O 0 , u 0 , v 0 ). Quellessontlescoordonne´es ( X, Y ) de M ( x, y ) dans R 0 ? On a que: O 0 M = X u~ 0 + Yv~ 0 −→ + Y v ) ~ OO 0 M M ==( αX ( Xα~u + γ + Y ¯ ta ) ~v ) ( γ~u + δYO~O 0 O M = ( a + αX + γ~uY +) ~u (¯ ta + X ( b ++ δβX ) ~v + δY ) ~v Parunicit´edescoordonn´ees,onende´duitquelescoordonne´es( X, Y ) de M dans R 0 sont telles que: X = a + αx + γy Y = b + βx + δy Remarque Soit : ax + by = c une droite dans R .Oncherchesone´quationdans R 0 . IL suffit donc de remplacer x et y par X et Y dans R 0 etlar´eponseestimm´ediate.
De´nition Si u~ et v~ sont orthogonaux, alors la base ( u~,~v )(resp.lerepe`re( O ; u~,v~ )) est dit orthog-onal(e). Si de plus, k ~u k = k v~ k ,labase(resp.lerep`ere)estdit(e)orthonorm´e(e).
Remarque Onde´nitunebase( ~u,~v ) comme orthonormale directe quand on choisit comme vecteur orthogonala` u~ luniquevecteurtourn´edanslesenstrigonome´triquedepuis u~ . ~ ~ Danstoutcequisuit,onxeunrepe`reorthonorm´edirect ( O ; i, j )
De´nition Soit ~u E . On appelle norme de ~u not´ee k u k ler´eel: k u k = q x 2 + y 2 o ` uu~ = xi + yj ~ ~ Un vecteur de norme 1 est dit unitaire.
1.2Changementderep`ereorthonormaldirect ~ ~ Soient ( O ; u~,~v ) et ( O 0 , u 0 , v 0 )deuxrep`eresorthonormauxdirects.Sionpose θ une mesure de l’angle orient´e( u~,v~ ), alors:
~ u 0 = cos θ~u + sin θv~ ~ 0 = cos( θ +2 π ) u~ + sin( θ + π 2 ) v~ = sin θu~ + cos θv~ 3
~ ~ Soit M unpointduplandecoordonne´es( x, y ) dans ( O ; ~u,verv ) et ( x 0 , y 0 ) dans ( O 0 ; u 0 , v 0 ). On a aussi que O 0 ( a, b ). Alors: O 0 M = x 0 ~u + y 0 v~ O −− 0 O + −−→ (cos θu~ + sin θ~v ) + y 0 ( sin θu~ + cosθ~v ) OM = x 0 O M = x 0 (cos θu~ + sin θv~ ) + y 0 ( − ∈ θu~ + cos θv~ ) + au~ + b~v O M = ( a + x 0 cos θ y 0 sin θ ) u~ + ( b + y 0 cos θ + x 0 sin θ ) v~ Parunicitedescoordonn´ees,ontrouveque: ´ x = a + x 0 cos θ y 0 sin θ y = b + x 0 sin θ + y 0 cos θ Remarque On peut retrouver ce resultat avec les complexes. ´
~ ~ ects ( O ; u,~v ) et ( , v nc que: A retenir Pourdesrep`ereorthonorme´sdir ~ O ; u 0 0 ), on a do ~ u 0 = cos θu~ + sin θv~ ~ v 0 = sin θ~ + os θ~ u c v Onae´galementlesformulesduales: ~ ~ u~ = cos θu 0 sin θv 0 ~ ~ ~v = sin θu 0 + cos θv 0
2Coordonn´eespolaires Pour tout θ R , on introduit deux vecteurs u~ θ et v~ θ d´enispar: ~ ~ u~ θ = cos θi + sin θj ~ ~ v~ θ = sin θi + cos θj
2.1De´nitionetg´en´eralit´ es
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De´nition Soit M un point du plan. On appelle ( couple ) de coordonn´eespolairesdeM relatifaurepe`recart´esien( O ; ~i,~j ) tout couple ( r, θ ) R 2 tel que O~M = r ~ u θ . Lescoordonne´espolairesdupoint O sont tous les couples (0 , θ ), θ de´crivant R . Si M 6 = O , il y a exactement deux couples possibles ( r, θ )decoordonne´espolairesde M o`u θ estd´eni`a2 π pre`s: Soit r = OM et θ ( ~,O~M ) 2 π = i ~ Soit r = OM et θ = ( ~iOM ) + π 2 π ,
Remarque Lescoordonne´espolairesnesontdoncpasuniques.OnparleradUN coupledecoordonn´ees polaires.
Th´ ` e Soit M unpointduplandecoordonn´eescarte´siennes( x, y )etdecoordonne´espolaires eorem ( r, θ ). Alors: x = r cos θ et y = r sin θ
~ ~ ~ De´monstration OM = xi + yj = ru~ θ = r (cos θ~i + sin θ~j ) = r cos θ~i + r sin θ~j 2.2Passagedescoordonn´eescarte´siennesauxcoordonne´espolaires Soit M unpointduplandie´rentde O .Onsupposeconnueslescoordonne´escart´esiennes( x, y ) de M et posons r = p x 2 + y 2 . Quelle valeur de θ choisir ? . Me´thode1 Si x 6 = 0 alors tan θ = yx , comme tan est bijective de ] 2 π ; π 2 [, on peut choisir θ = arctan y x M´ethode2 On sait que θ rendvraiel´egalite´cos θ = rx et que cos est bijective de [0; π ] sur [ 1 , 1]. ue θ ussi la relation sin θ = y Est-il vrai que θ = arccos rx ?Pasforce´mentcarilfautqve´riea r 1. Si y 0: sin rx = q 1 ( rx ) 2 = q ( ry ) 2 = | yr | = yr donc on peut choisir θ = arccos rx . y 2. Si y < 0: sin( arccos xr ) = sin(arccos xr ) = −| yr | = r donc on peut choisir θ = arccos rx M´ethode3 On sait que θ rendvraiele´galit´esin θ = ry et que sin est bijective de [ π 2 ; π 2 ] sur [ 1 , 1]. Est-il vrai que θ = arcsin y ?Pasforc´ementcarilfautque θ ve´rieaussilarelationcos θ = x r r 1. Si x 0: cos yr = q 1 ( y ) 2 = q ( xr ) 2 = | rx | = rx donc on peut choisir θ = arcsin . x r r 2. Si x < 0: cos( π arcsin ry ) = cos(arcsin yr ) = −| rx | = rx donc on peut choisir θ = π arcsin y 5 r
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