Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

De
Limite de suites- équivalence- négligeabilité- dominance
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI
Publié le : mardi 9 avril 2013
Lecture(s) : 43
Source : CapMention
Nombre de pages : 9
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1
Chapitre:
Limitedesuites,´equivalence, dominance
Notiondesuitesre´elles
n´egligeabilite´,
De´nitionOn appelleellee´eritsutoute applicationudeNdansR. On note le plus souvent cette suite (un)nN.
Remarque
N Lensembledessuitesr´eellesestnot´eR.
De´nitions
Soit (unlrl´teeeuiee.sun)
On dit que (un) est constante s’il existeλRtel que pour toutnN:un=λ. On dit qu’elle est stationnaire s’il existeλRetn0Ntels que pour toutnn0:un=λ
On dit que (unajtm´eores)tesilexisniroe´)e(eerpsm.MR(resp.mR) tel que pour tout nN:unM(resp.unm).M(resp.mel´etapp)esunmajorant (resp. minorant) de (un) .
On dit que (unrnbost)elleisee´ala`tseefoismajor´eeetmion´reei,e.s.:iKR+/nN,|un| ≤K.
On dit que (unstrictement croissante) si pour tout) est croissante (resp. nN:unun+1 (resp.un< un+1)
On dit que (unip)steantourtou.pseirtsnassr(etcr´essoiemcttdentd´ecroi)esnN:unun+1 (resp.un> un+1)
On dit que (une)tsotenomone´rciossnaetestcroissanteoudnomtnotois)eellees(rstp.ctrienem (resp.strictementcroissanteoustrictementd´ecroissante).
RemarqueourmPntpasde´dpeneadojartnenirismaunaulfhotciusei,etrojanurencar il doit rester valablepour toutnN.
M´ethode:Montrerquunesuite(un)est monotone ieleetudOn´deeisngun+1un 1
2
un+1 Siun>0 pour toutnN`nt´1eatu.dielerapportparrappoor, un
De´nition
Pourd´enirunesuite,ilexisteessentiellementdeuxmanie`res:
telle qu’on donneExplicitement, i.e. un=f(n).
rrence,inder´ecureletaoiPranu.e.u0=αetnN, un+ 1 =f(un).
Limitedunesuitere´elledansR
De´nitions(limitedunesuite)
Soit (un) une suite etlR.
SilR, on dit que (un)admet l pour limite si: >0,NN/nN, nN⇒ |unl|< 
On dit que (un)admet+pour limite si:
A >0 (resp.A <0),NN/nN, nNun> A(resp.un< A)
The´ore`me(Unicite´delalimite) uniqueetnot´eelim(un).
Soit (un) une suite.
Si (unssop)ticsell-ecee,itimelunde`e
0 D´emonstrationOn suppose que (un) admette pour limiteslRetlRpar l’absurde. Supposons 0 quel6=lil existe un intervalle. Alors Ide la forme ]l, l+[ ( >0)et un intervalleJde la 0 0 forme]l, l+[ ( >0) tel queIJ=,pOr.e`es,rayhophtunIrduncer`apartiniatgnarNet 0 0 unJncngurtaaienraraprdti`N. Posonsn0= max(N, N). Alorsun0IJnea`tiibbout.Ona une contradiction.
D´enition(convergenceetdivergence)Soit (un) une suite. On dit qu’elle estconvergentesi elleposs`edeunelimitenie.Sinon,onditquelleestdivergente.
RemarqueConverger signifie donc avoir une limiteFINIEmeneatovapfsro´cgernest.Diverircomme limite mais aussine pas avoir de limite.
Th´eore`me
Toutesuiteconvergenteestborne´e. 2
D´emonstrationSoit (un) une suite convergente de limitelR. Pour,lad´en=1lamitietioidnle armequelin´egalite´|unl|>tourtou,psi1vtsedunrtir`aparaieA.ninaNgiarnectrnN:
|un|=|(unl) +l| ≥ |unl|+|l| ≥ |l|+ 1
dapr`eslin´egalite´triangulaire.PosonsK= max(|u0|,|u1|,|u2|, ...,|uN1|,|l|+ 1). AlorsKest plus grand que les nombres|un|pour toutnNen conclut que. On nN,|un| ≤K, autrement dit que la suite (une.´ernbost)e
Remarqueocvnptsatn(ereegasuiCf.ltermtedeense´neeberoustioutese:tfauseestuqorpice´raL n ge´ne´ral(1) )
Me´thode:Montrerquunesuiteconvergeoudivergeverslinni
Pour montrer que  >0,NN/nN,|unl|< , oncommencepare´crire:Soit >on cherche un rang0”. Ensuite, Nartirduqeul`ap|unl|<  en majorant|unl|eesnrrxuel:gsee`tcepdtna
1. La majoration doit tendre vers 0 quandntend vers. 2.Elledoitˆetresimplevis-a`-visdelarecherchedurangN
Pour montrer que A >0,NN/nN, un> A, oncommencepare´crireSoitA >0.” On essaie ensuite de trouver un rangNrdtiueuq`larap un> Aepxenatcdnegles:tdeuxr`e
1. La minoration obtenue doit tendre versquandntend vers. 2.Elledoitˆetresimplevis-`a-visdelarecherchedurangN.
Exemples
3
nsinn nsinn Pour montrer que lim2= 0, on va prouver que: >0,NN/nN,|2|< . Soit n+2n+2 nsinn n|sinn|n n1 1  >tout0. Pour nN, on majore|2|=222= . PosonsN=EN T( ) + 1. n+2n+2n+2n n 1nsinn ApartirdeN,line´galit´e< lit´elnie´agoftroiirratv`aiees|2|< . n n+2 2n2 Pour montrer que lim(n+ (1)n) =, on va prouver que:A >0,NN/nN, n+ n2n2 2 (1)n > A. SoitA >tout0. Pour nN, minorons:n+ (1)nnn=n(n1)(n1) . √ √ 2 Pour toutnN ?,(n1)> AAn > + 1. Posons doncN=AA partir de+ 2/ N, 2 2n (n1)> Aareisevtrilrtio`afodonce´tilage´nin+ (1)n > Aaussi.
3.1
Manipulation des limites
Op´erationssurleslimites
3
Si lim(un)> m, alorsun> mectrdnuna.giarnrtir`apa
−∞ +0 −∞
Th´eor`eme(Limitesetin´egalite´sstrictes) m, MR.
Quotient
0 l/l −∞ l <0 l= 0 l >0 +
l >0 ou ++
0
Soient (unesui)unettemilinetuande´ssopellee´ret
0 Soient (un) et (vnles,´eeltesrsxiud)uel, lRetλRsuppose ici que lim(. On un) et lim(vn) existent.
l <0 ou−∞ +−∞
l >0 ou +−∞ −∞
lou−∞ −∞ −∞
−∞
De´monstrationProuvons le premier point. Posonsl= lim(un). Sil=−∞, tous lesunsont dans l’intervalle ]− ∞, M[ dela`rnna.giSceunairtrtpadirlR, sachant queMl >se`0eptahrphoy, tous lesunsont dans l’intervalle ]l(Ml), l+ (Ml)[]− ∞, MrtpadirceunairtnarnaD.gelsns[a` deux cas,un< M.`apartidrucnreatniargn
Somme
lim(un) lim(vn) lim(unvn)
Produit
lim(un) lim(vn) lim(un+vn)
l <0 ou−∞ −∞
+0 0 + 0
+ 0 −∞ −∞ ++
−∞ 0 0 + 0
Passage`alalimitedanslesine´galit´es
λ/l λ <0 λ= 0 λ >0
lou +++
+−∞ 0 +
Si lim(un)< M, alorsun< M`apartg.iatrnarndriecnu
1 1 Cestfauxavecdesine´galit´eslarges.Contre-exemple:lim=00 mais>0. n n
Remarque
4
3.2
l 0 l 0 l+l
:
Multiplication externe
:
l 0 l 0 ll
:
0 l <0 +l 0>0 l 0 l 0>0 l −∞
0 l >0 −∞ l 0<0 l 0 l 0>0 l +
lR λl λl= 0 λl
:
0 ++−∞ −∞
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