Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Cours barycentre 1s 2010-11 par laure helme-guizon
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

Ch 4

Barycentres

Introduction: Un peu de physique: Point d'équilibre d'une balance ξ e icexcrE 1  .Le schéma ci-contre représente une balance que l'on équilibre en déplaçant le point G sur le segment [AB]. 1) On suppose dans cette question que l'objet A a pour masse 4 kg et que GA = 3 GB. Sachant que la balance est en équilibre, quelle est la masse de B? 2) On suppose maintenant que l'objet A a pour masse 7 kg et l'objet B a pour masse 12 kg. Où faut-il placer le point G pour que la balance soit en équilibre? 3) On suppose maintenant que l'objet A a pour masseet l'objet B a pour masseque la balance est en équilibre, écrire. Sachant une relation vectorielle faisant intervenir les vecteurs GA et GB .

1 ère S 1

●est une notion de physique au départ. Le barycentre est le point d’équilibre, c'est « làLe barycentre où il faut mettre le doigt pour que ça ne tombe pas. »

●Le barycentre tel que vous le connaissez est un isobarycentre, c'est-à-dire que tous les points ont le même poids. Ainsi, les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’isobarycentre du triangle.

Isobarycentre de deux points = milieu.

Généralisation en mathématiques: On autorise des « poids » négatifs, rebaptisés « coefficients ». ●

●Barycentre avec une seule coordonnée (points sur un axe gradué) = moyenne pondérée.

I.

Barycentre de deux points pondérés

A. Existence et unicité ξ e  rcicExe .2   Activité de découverte  1) a)  4 B deux points du plan. Montrer qu’il existe un unique point G tel queSoient A et GA3GB= 0 . et placer A, B et G sur un dessin.  b)Pour tout pointM  4 du plan, exprimer MA3MB en fonction de M et G uniquement.  2)Mêmes questions avec −GA3GB= 0 .  3)Mêmes questions avec GA GB= 0 ,etétant deux réels tels que#¹0. 4)Que se passe-t-il si  =0 ?

● Def : Le point A étant un point du plan ou de l’espace et étant un réel quelconque, on peut les associer pour former le couple (A,) appelépoint pondéréoupoint affecté du coefficient. Le réel est appelépoidsounet efcocifidu point A.

Def : Soientaetbdeux réels tels que#¹0. On appellebarycentre de deux points pondérés(A,a) et  (B,b) le pointGdéfini par GA GB= 0 . Ce point existe et est unique (à condition que  ≠0 !). On dit aussi que G est lebarycentre de A et B affectés respectivement des coefficientset.  Démonstration  : faite dans l’exercice 2.

ξ Ex  cecier 3 . Savoir interpréter un point comme le barycentre de deux points. SoitGle point du segment [AB] tel que AG= 4 1 AB  . Montrer queGest le barycentre des points A etB munis de coefficients à préciser.

Ch 4: Barycentres COURS 1ère MmeS 2010-2011 Helme-Guizon emleek.gnapeahsdhp:ttlh//mo/erc.  

1

B. Propriétés du barycentre

1. Propriété de réduction Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet deréduireune combinaison linéaire 1 à un seul vecteur, ce qui est beaucoup plus facile à manipuler!

Propriété de réduction: Soientaetbdeux réels tels que  ≠0 . Si Gest le barycentre de (A,a) et (B,b)∃alors pour tout pointMdu plan, MAMB= MG  Démonstration: ’lns1.e icrcad etiaf  exe

Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la forme  MAMB   avec a+b ¹0, il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de(A,a)et(B,b)pour remplacer MAMB  par   MG ,qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.

ξ xEreicec    .   4B deux points du plan et soitSoient A et u  un vecteur donné. Déterminer et représenter les ensembles suivants: 1) l’ensembleE 1 des points M du plan tels que ∥−5MA2MB∥ = 12. 2) l’ensembleE 2 des points N du plan tels que ∥−5NA2NB∥ = ∥2NA−2NB∥ . 3) l’ensembleE 3 des points P du plan tels que 3 MAMB est colinéaire à  u .

Corollaire: Avec M = A ( faites-le! ) , on en déduit AG  =  AB ce qui permet de placer le point G sur un dessin (très utile!). De même, avec M = B, on a BG  =  BA .

Remarque: On peut préférer une formulation plus symétrique de AG   =AA    AB et BG    =BA    BB.

ces résultats:

2. Position du barycentre de deux points Théorème: Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de A ,  et B , (avec  ≠0 ) appartient à la droite (AB). ·Siaetbsont de même signe, alorsG Î[AB]. ·Siaetbsont de signes opposés, alorsG du côté du [AB],est sur la droite (AB), à l’extérieur de point le plus lourd en valeur absolue.  Démonstration:  neafri àe.xe eicrc e

●Interprétation physique: ○correspond au point d'équilibre de la balance.avec deux coefficients positifs, G ○avec un coefficient positif et un coefficient négatif : On peut conserver l'interprétation en terme de balance à condition d'imaginer que la force correspondant au coefficient négatif tire l’objet vers le haut (le contraire de la gravité).

ξ Eexcrice     .5  Soient A et B deux points de l’espace. Soit M le point défini par −5MA2MB=0  1) Prévoir au moyen du théorème précédent la position du point M. 2) Vérifier vos prévisions en plaçant précisément le point M sur un dessin

3. Homogénéité Théorème : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divise tousles coefficients par lemêmeréel non nul.

1  Unecombinaison linéaire comme par exempleest une somme de vecteurs affectés de coefficients,   uv     ou u  v  w . Ch 4: Barycentres COURS 1ère Mme Helme-GuizonS 2010-2011 /moc.epkeg.merehadsanp://lhelhtt   2

 Démonstration : Soit k un réel non nul. La relation GA GB=  0 avec  ≠0 est bien  équivalente à la relation  kGAkGB=0 et comme  ≠0alors kk≠  est le G donc 0 barycentre de A , k et B , k .

ξ Exemple: Le barycentre de (A, 350) et (B, 140) est aussi le barycentre (A, 5) et (B, 2).

ξ Exerc eci  .   6 Compléter 1. Le barycentre de (A , 9 5 () etB, −2  3  ) est aussi le barycentre (A, . . . ) et (B, . . . .). 2. Le barycentre de (A,  3 2  1 ) et (B, 2 −  ) est aussi le barycentre (12 A, . . . . . . ) et (B, . . . .).

Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’rycentreisobaou decentre de gravité. A cause de la propriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients.

L’isobarycentre des points A et B est donc le barycentre de A ,1 et B,1 . Par la propriété d’homogénéité, c’est aussi le barycentre de A ,  et B ,  quel que soit ≠0 .

L’isobarycentre de A et B est bien sûr le . . . . . . . . . . . . . . . de [AB] !

· de la propriété d’homogénéité: En divisant chacun des coefficients par la somme des Application coefficients on peut toujours se ramener à des coefficients dont la somme vaut 1.

4. Barycentres de deux points et droites Propriété : M, A et B sont alignés M est un barycentre de A et B (c’est à dire qu’il existe des réels aetbaveca+b ¹0 tels que M soit le barycentre de A ,  et B , . Autrement dit, la droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B. Démonstration : Exercice.

Pratique:

○ montrerPour monter que trois points sont alignés, il suffit de que l’un est le barycentre des deux autres (pour des coefficients à déterminer.)

○ on sait que trois points sont alignés, alors on sait qu’on peut écrire un des points comme le Si barycentre des deux autres (pour certains coefficientset). On est surs que ces coefficients existent même si on ne connaît pas nécessairement leur valeur.)

C. Coordonnées du barycentre dans un repère  Théorème  :  repère étant choisi, les coordonnées du barycentre UnG de A ,  et B , sont x A  x B y A y B x G =  , y G =  . Ce sont les moyennes pondérées des coordonnées des points pondérés.  Démonstration rp al ts étéirpo’e C:cde réduction ave M= . . . . .    ..

ξ   Exemple  7  .  A e 1 3 t B e entrracyeLb  1 4  . G de (A, 2) et (B, 1) a pour coordonnées G

2, 3 7

.

ξ crci e Eex 8  .  A et B sont deux points du plan et G est le barycentre de (A;%3) et (B; 7). Sachant que les ves A 1 t −  repère du plan, calculer les 1 un points A et B ont pour coordonnés respecti  3  e B dans 1 coordonnées de G dans ce repère.

Remarque : Sia =b1, c'est-à-dire dans le cas de l’isobarycentre, on retrouve bien la formule qui  = donne les coordonnées du milieu d’un segment.

Ch 4: Barycentres COURS 1ère Helme-Guizon MmeS 2010-2011 //lhelmeg.keepanhtt:pahsdc.er/mo  

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II. Généralisation : Barycentre de n points pondérés n3

Pas de panique: C'est à peu près la même chose qu'avec seulement deux points, la seule nouveauté étant le théorème d'associativité.

A. Existence et unicité Def: Soient ,  réels tels queet trois   ≠0 . On appellebarycentre des trois points pondérés  A , ,B ,,C , le pointGdéfini par GA   GBGC=0 . Ce point existe et est unique à condition que  ≠ 0 . On dit aussi que G est le barycentre des pointsA, BetCaffectés des coefficients , et .

ξ  Exercice  9  . points A, B et C affectés des barycentre des  Soit ABC un triangle. Construire le point G, coefficients –2 , 1 et 2. ξ Ecrex  eci  0 1 . Soit ABC un triangle et E le point défini par BE= 2 3 AC . Montrer que E est le barycentre de A, B et C affectés de coefficients à déterminer.

● Généralisation: Dans le cas de n points, cette définition devient :  ≠0 Def : Soienta 1 ∃ a ( …a n n réels tels que 1  2 .... n . On appelle pointsbarycentre des n pondérés  A 1  1 ,A 2  2 ,....,A n , n  le pointGdéfini par   1 GA 1  2 GA 2 .... n GA n =0 . Ce point existe et est unique à condition que  1  2 .... n ≠0 . Démonstration tn :eSbmallb e àcelle pour deux niopp stédno.sérl e’edicunt  eceenstxiiop let nu’d éti

B. Propriétés du barycentre

1. Propriété de réduction Cette propriété s’appelle ainsi car elle permet deréduireune combinaison linéaire 2 à un seul vecteur. Cas particulier: Propriété de réduction avec 3 points pondérés: Soient , et 3 réels tels que   ≠0 . SiGest le barycentre de A , ,B ,,C , ∃ alors pour tout pointMdu plan, MAMBMC=  MG .

Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la forme MAMBMC  avec ,   ≠0 , il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de A , ,B ,,C , pour remplacer MAMBMC par   MG , qui présente le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur.

ξ rexE ecic 11.Soient A, B et C trois points du plan. Déterminer et représenter les ensembles suivants: 1) l’ensembleE 1 des points M du plan tels que ∥−5MA2MB4MC∥=∥2MA−MB4MC∥. 2) l’ensembleE 2 des points N du plan tels que ∥−5NA2NB4NC∥=∥−3NA2NBNC∥. 3) l’ensembleE 3 des points P du plan tels que −5PA2PB4PC est colinéaire à u  =2AB3AC .

ξ Eexicrc e  2 1  .Soit G le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients Soit ABC un triangle. –2 ,  1 et 2. Utilisez la propriété de réduction avec M=A pour exprimer AG en fonction de AB et AC puis construire le point G.

2  Unecombinaison linéaire par exempleest une somme de vecteurs affectés de coefficients, comme u  v  ou    u v w . Ch 4: Barycentres COURS 1ère Helme-GuizonS 2010-2011 Mme dshare.com///hlleem.gekpenap:tth   4

Cas général: Propriété de réduction avec n points pondérés: Soienta 1 ∃ a ( …a n n réels tels que  1  2 .... n ≠0 . SiG le barycentre de est A 1  1 ,A 2  2 ,....,A n , n   ∃ alors pour tout pointM du plan,  1 MA 1  2 MA 2 .... n MA n =  1  2 ....  n MG . Démonstration : Semblable à celle pour deux points pondérés.

Pratique: Chaque fois que l’on voit une combinaison linéaire de la forme  1 MA 1  2 MA 2 .... n MA n avec  1  2 .... n ≠0 , il faut penser que l’on peut, si on le souhaite, utiliser le barycentre G de A 1  1 ,A 2  2 ,....,A n , n  pour remplacer  1 MA 1  2 MA 2 .... n MA n   par  1  2 .... n MG le gros avantage de ne comporter qu’un vecteur., qui présente

2. Homogénéité Théorème : On ne change pas le barycentre de n  points pondérés lorsqu’on multiplie ou qu’on divisetousles coefficients par lemêmeréel non nul.  Démonstration embl: S à cableuop ellep xued rpos ntoi.ésérnd

Def : Lorsque les coefficients sont tous égaux, on parle d’treycenisarob ou decentre de gravitépropriété d’homogénéité, on n’a pas besoin de préciser les coefficients.. A cause de la

Remarque: L’isobarycentre trois points non alignés est le centre de gravité du triangle défini par ces trois points, c'est-à-dire l’intersection des médianes (voir exercice ci-dessous).

ξ Eexcrci e  13 . Soit ABC un triangle. 1) Cas général: Soitbarycentre des points A, B et C affectés des coefficients G le , et . Utilisez la propriété de réduction avec M=A pour exprimer AG en fonction de AB et AC et compléter:      AG = . . . 2) Application 1 : Soit K le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients 140 ,−70 et 210  . Utilisez la formule ci-dessus pour placer K sur un dessin. 3) Application 2 : Soit G le point défini parAG= 1 3 AB− 2 3 AC. Utilisez la formule ci-dessus pour exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. Remarque: La formule que vous avez démontrée dans cet exercice est donc utile pour placer le barycentre de trois points pondérés sur une figure (voir application 1) et aussi pour trouver par identification les coefficients qui font d'un point un barycentre à partir d'une égalité vectorielle (voir application 2). On peut préférer une formulation plus symétrique de ces résultats:

AG  =  AA    AB    BG  =  BA   BB  

    AC    BC     

3. Associativité du barycentre Théorème d’associativité du barycentre dit aussi théorème du barycentre partiel : On ne change pas le barycentre de points pondérés lorsqu’on remplace des points, dont la somme des coefficients est non nulle, par leur barycentre affecté de la somme de ces coefficients. Autrement dit, dans le cas de trois points, sia+b # Χ ¹0 et sia+b ¹0, Le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,Χ)

est aussi celui de (G 1 ,a+b!et (C,Χ) où G 1 est le barycentre de (A,a) et (B,b)(ce barycentre partielG 1 existe cara+b ¹0) Démonstration: A faire en exercice.

Ch 4: Barycentres

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Pratique: L’associativité du barycentre est souvent utile pour montrer que des droites ont concourantes. ξExercice 14.  ABC est un triangle. Construire sans faire de calcul le barycentre G des points A ,1,B ,2   et C ,1 .

ξ Exercice   15 . ABCD est un quadrilatère. Construire le barycentre G des points A ,1,B ,3,C ,1  et ,3 . D

ξ Eexcrice   6  1 Soient A, B et C trois points non alignés. En utilisant la propriété d’associativité du barycentre, redémontrez le résultat bien connu selon lequel les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est l’isobarycentre des points A, B et C. Montrez aussi que, sur la partie de chaque médiane située à l’intérieur du triangle, l’isobarycentre est situé aux deux tiers à partir du sommet. ξExercice 17.  Soit G le barycentre de B ,1etC ,4 . 1) Montrer que G est aussi le barycentre de A ,2,A ,−2,B ,1etC ,4 . 2) Soit I le barycentre de (A, 2) et (B, 1) et soit J le barycentre de (A, –2 ) et (C, 4). Montrer que I, J et G sont alignés. ξ 1 Exercice 8.  ABC est un triangle. Soient JI ,etKles points définis par IB=− 1 2 IC , JA=− 3 2 JC et KB=− 3 4 KA . Démontrer que les droites AI,BJetCK sont concourantes. ξExercice 1 9 .ABC est un triangle. Soient HetK les points définis par AH= 1 3 AC et AK= 1 4 AB 1 4 AC . 1) Placer A, B, C, H et K sur une figure. 2) Exprimer H comme barycentre des points A et C affectés de coefficients à déterminer. 3) Exprimer K comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 4) En déduire que B, H et K sont alignés.

ξ Exercice 20 .ABC est un triangle. SoitJ le barycentre de A; 2 et C;3 et soitK barycentre de le A;–2 et B; 3 . Montrer que I, le milieu de [BC], appartient à [JK]. ξExercice 21 .ABC est un triangle. SoientIetGles points définis par AG= 4 3 AI et CI= 3 1 CB . 1) Exprimer G comme barycentre des points A, B et C affectés de coefficients à déterminer. 2) Les droites CGetAB sont sécantes en un point H. Préciser la position du point H sur (AB).

C. Coordonnées du barycentre dans un repère

 Théorème   : Un repère étant choisi, les coordonnées du barycentreG (A de 1 ,a 1 ), (A 2 ,a ( ) …(A n ,a n ) =  1 x A 1  2 x A 2 .... n x A n avec  1  2 .... n ≠  ntso 0 x G  1  2 .... n et y G =  1 y A 1   1   2  y 2 A  2 .  . ... .. .   n  n y A n  Démonstration eva c:C e’tsl  arppoirété de réduction M. = . .  . . . . 

ξ Exercice 22 . A 3 1  , B − e  t 1 1 C 2 .  Calculer les coordonnées deG de barycentre −5 − A ; 1 − − 6  3 , B ; 2  4 3− e 2 tC ; 3−   . 3 3

D. Barycentre et transformations Théorème :Les symétries, les rotations et les translations conservent le barycentre c’est dire que sif (Aest une symétrie, une rotation ou une translation, et si G est le barycentre de 1 , a 1 ), (A 2 ,a ( ) …(A n ,a n ) alors son imagef ((G) est le barycentre desf(A 1 ),a 1 ), (f(A 2 ),a ( ) … (f(A n ),a n ). On résume parfois cette propriété en disant que l’image du barycentre est le barycentre des images, avec les mêmes coefficients.

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