Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau BTS

De
Avec correction. Partiel 1
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique
Publié le : mardi 9 avril 2013
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PARTIEL N°1 BTS1GO MATHEMATIQUES 2011-2012
Exercice1ratte3duenpeparts°dautrdnepetnatnoédnis):ntoip3sle(snoitseuq°2te°1s
 On désigne parEun nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.  On considère la fonctionfdéfinie sur¡,paire, périodique depériode 5, telle que : ìE´t si0£t£1 ï 1 % # %si£t f(t)í(3E)t2E3 1£2 ï3si2£t£5 / 2 î  On se place dans le cas oùE= 2.
1° ) Préciser l’écriture def(t) sur chacun des intervalles [ 0 ;1[,5 / 2 ] .2 ; et [ [1; 2[
2° ) Représenter graphiquement la fonctionf[sur l’intervalle %5;10 ] .
3°) Soit la fonction numériquefdéfinie par :  Représenter graphiquementfdans un repère orthonormal  sur l'intervalle [%2p; 3p]. Exercice2tsin:po3
ìf(t)13pour tÎ]0;p[ ï f(0)1f(p)10 í ï f est impaire,de périodeest périodique 2p î
1° ) Préciser l’expression dee(ttout) pour t]dans chacun des intervalles suivants : % ¥; 0[ ;; [0;1[  [1 ; 2[ ; [2; 3[ et [3;[
y 1
0,5
0
-0,5
1
e(t)
2
2° ) Montrer que pour tout réelt,e(t) peut s’écrire sous la forme : 5 1 e(t)1tU(t)%(t%1)U(t1%) 2#(t2%)U(t2)%(%t3)U%(t 2 2
3) .
3
x
Exercice 3 - 4pts 2 f  On considère la fonction définie sur¡parf(t)1sin(t!cos(2t!pour tout réeltÎ[%p;p].
p 1° ) Prouver quefest une fonction paire, de période .  En déduire un élément de symétrie de la courbeC .
é ù 2° ) Résoudre, dans l’intervalle0;p/ 22 cos, l’équation (2t!%110 ë û  Étudier le signe de 2 cos(2t)%1 sur[0 ;p/ 3]et sur[p/ 3;p/ 2].
f'(t)% 3° ) Calculer et vérifier quef' (t)1sin (2t)(2 cos (2t) 1!. é ù  En déduire les variations defsur0 ;p/ 2. ë û Exercice4:01niop.st%t%(t1%) (t%2 )% s  La fonction est définie par :s(t)1(t%1#e!U(t)%2(1%e!U(t1)%(t%2%1%e#!U ìs(t)10si t00 ; ï %t 1 % # £ ïs(t)t1e si0t01 s 1° ) Vérifier que la fonction est alors définie sur¡par :í %t s(t)1t%3#e(1#2e)si1£t02 ï ï%t2 s(t)1e(1#2e%e)si t³2 î #  On rappelle que la notationf(a!représente la limite de la fonctionflorsque la variablet
#% f a1limf(t)f a1limf(t) ( !( ! tend versapar valeurs supérieures :t|a. De même,t|a. t2at0a # % # % s1s1s2s2 2° ) Calculer( !,( !,( !,( !. s  Que peut-on en conclure pour la fonction lorsquet= 1 ett= 2?
3° )  a. Calculers'(t] 0 ;1[ ,) sur chacun des intervalles ]1 ; 2 [] 2 ; et [ .
 b. Déterminer le signe des'(t:) sur l’intervalle ] 0 ;1[, ]1 ; 2 [ 2 ;et ] [ .
 c. Calculer la valeur exacte des(ln(1#2e!. lims(t)  Déterminer et dresser le tableau de variation de la fonction s sur ] 0 ; [ . t|#¥
# #% #% 4° ) Calculers'(0!,s'(1!,s'(1!,s'(2!,s'(2!.  On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes  à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe9représentative s  de la fonction
O;i;j 5° ) On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal( !d’unités graphiques 4 cm  sur l’axe des abscisses et 20 cm sur l’axe des ordonnées.
(t
2) .
%2 a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 10 près.
t s(t)
0,2
0,5
0,8
1
1,2
1,4
1,6
2
2,5
3
3,5
b. Tracer la courbe9et les tangentes ou demi-tangentes à la courbe9représentative de la fonction s  au points : 0 ; 1 et 2 .
ANNEXEcec:ieErx1 NOM ………………………………….. y 4
3°)
-6
-4 p
-5
-4
-3 p
-3
ANNEXE EXERCICE 4
-2
-2 p
-1
3
2
1
0
-p
1
y 4
3
2
1
0 -1
-2
-3
-4
2
3
4
p
5
6
2 p
7
8
3 p
9
10
4 p
x
x
y
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
1
-0,2 Exercice 1. ì2t si0£t£1 ï 1 #i£t A.E12, on obtientf(t)ít1s1£2 ï3si2£t£5 / 2 î 2. Re résentation ra hi ue y 4
3
2
1
2
3
4
x
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5  La droite d’équationx1kkest un entier relatif , est un axe de symétrie 2 [0;p] 3°) Le graphe defest donné sur . La fonctionfest impaire donc, par symétrie de centre O, on obtient [%p;p]  la représentation sur .La période est2p,donc, par translation de vecteur2piet%2pi,on obtient [%3p;3p]  la représentation sur c ' est- à-dire sur l'intervalle demandé :
%)p
%(p
Exercice 2 5 e(t)1tU(t)%(t%1)U(t1%) 2#(t 2 ttU(t)0 5 0 %(t%1)U(t1%) 2 2(t%2)U(t%2)0 10 %(t%3)U(t3%) 2 e(t)10
Exercice 3 2 1.f(%t)1sin(t%!cos( 2%t)
%p
2%)U(t
0
y ) (
1
0 %1
%( %)
2)%
t 0
0 0
t
2 (1si%n(t!!cos(2t)
1 (%t 2 1
p
3)U%(t
( p
3)
t 5 %(t%1) 2 0 0
3 5 %t# 2 2
2 s1in(t!cos(2t)
2
) pt
t 5 %(t%1) 2 2(t%2) 0
1 3 t% 2 2
3
t 5 %(t%1) 2 2(t%2) 1 %(t%3) 2 0
f1(t) , on constate que les points .
tÎ é%p;pù  Les point M (t) et M(%t) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées .pour tout ë û  La courbe (Cfl’axes des ordonnées pour axe de symétrie .) admet 2 2 2  pour toutt,f(t#p)1sin(t#p!cos(2(t#p!!1(%sin(t!!cos(2t#2p)1sin(t!cos(2t)1f(t) f  Il suffit donc d’étudier sur un intervalle d’amplitudep/ 2, par exemple [0;p/ 2] . 2.fest dérivable sur[0;p/ 2]et sa dérivée est définie par : 2 2 2 é ù f'(t)12 cos(t) sin(t) cos(2t)%(2 sin t) sin(2t)1sin(2t!cos(2t!%2 cos(2t!sin(t!1sin(2t!cos(2t!%2sin(t!  ; ë û 2é ù é ù é ù f'(t)1sin(2t!cos(2t!%2 sin(t!1sin(2t!cos(2t!%(1 c%os(2t!!s1in(2t!2 cos(2t!1% ë û ê ú ë û ë û é ù' ;p/ 2 , sin(2t!³0 doncf(t)du singe de 2 cos 2t%1 . b. sur 0 est ë é ùép/ 2ù  Dans l’intervalle 0;p/ 2 , la fonction cosinus est décroissante sur0;. ëë û 1p p p  2 cos(2t!%1³0Ûcos(2t!³ Ûcos(2t!³cosÛ0£2t£ Û0£t£ 2 3 3 6 é ù é ù  Donc sur 0;p/ 6f'(t)³0 ;fcroit et surp/ 6 ;p/ 2 ,f'(t)£0 ;fdécroit . ë û ë û
t f'(t)
f(t)
0 0
0
+
p/ 6 0 3 8
%
p/ 2 0
%1
/6 p
-2 /3 p
- /2 p
- /3 p
- /6 p
y
0
-1
/6 p
/3 p
/2 p
2 /3 p
5 /6x p
Exercice 4 Sit00, on a :s(t)10 . %t Si0£t01, on as(t)1t%1#e ì0#0#0si t00 %t ït%1#e si0£t01 s(t)1 í%t t%3#e(1#2e)si1£t02 ï %t2 e(1#2e%e)si t³2 ï î %t%t1#t% Si1£t02s(t)1t%1#e%2#2e#01t%3#e(1#2e) %t%t#2t%2 Sit³2s(t)1t%3#e(1#2e)%t#3%e1e(1#2e e%) d’où 1. on a : # %1%1 1%1#1%0 1%1 s(1 )1 %2#e(1#2e)1 %2#e#2e1 %2#e#2e1 %2#e#21e % %1 1 s(1 )11%1#e1e # % %1  On déduit ques(1 )1s(1 )1eet que s est continue ent11. # %22 2 %1% %2 2%1  De la même façon :s(2 )1e(1#2e%e)1e#2e%1 ets(2 )1 %1#e(1#2e)1 %1#e#2e # % %2 1  Doncs(2 )1s(2 )1 %1#e#2eet la fonction s est continue ent12. ì0si t00 %t ï1%e si00t01 t s'(t)1 2. calculons la dérivées:'( ) í%t 1%e(1#2e)si10t02 ï %t2 %e(1#2e%e)si t22 ï î  Etudions le signe de la dérivées'(t) si00t01. Supposons ques'(t)³0 ; 1 1 %t% %æ ö t t Û £ Û % £ Û ³ #  On a alors 1%e(1#2e)³0Û1³e(1#2e)e tlntln(1 2e! ç ¸ 1#2e1#2e è ø  On obtient de manière analogues'(t)£0 sit£ln(1#2e!.t1 2 ln(1#2e! s'(t) 0 + 1.c. Calculonss(ln(1#2e!!: 1 %ln(1#2e) s(ln(1#2e!!1ln(1#2e)%3#e(1#2e)1ln(1#2e)%3#(1#2e)1ln(1#2e)%2 1#2e %t2 lims(t)1lime(1#2e%e)10t0 1 2 ln(1#2e! t|#¥ |#t¥ s'(t+0 + ) + %1 -0,13 0 e s(t) 0 ln(1#2e)%2
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