Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau BTS

De
Avec correction. Partiel-3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS CIG
Publié le : mercredi 10 avril 2013
Lecture(s) : 96
Source : CapMention
Nombre de pages : 9
Voir plus Voir moins
PARTIEL N°3 MATHEMATIQUES BTS-CIG1 -2010-2011
Exercice1op0n1is:tPartie A : Exploitation du graphique
4
3
2
1
-1
0
K 0,5
1
1,5
2
(C)
(D)
2,5
3
3,5
4
1. On admet que l’axe des ordonnées et la droite (D) sont asymptotes à la courbeCdessinée ci-dessus limf(x) limf(x)  représentant une fonctionf. En déduire : et x|0x|#¥ æ1 1 2. Le pointK; est le point. D’après le re ) ç ¸commun àCeprésentation graphique :t (D è3 3ø  a) Quelle est la position deCpar rapport à ( D) ?  b) Quel est le sens de variation def?
Partie B : Justification des observations graphiques 3 1 3 1  On posef(x)1x# %g(x)1x# # ; 2 2 x x x x 1. Expliquer pourquoiCne peut pas représenter la fonctiong.
limf(x) lim[f(x)%x] 2. Calculer puis . Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥x|#¥ 3 x#3x%1 3. a) Montrer que pour toutxstrictement positif,f(x) peut s’écrire :f(x)1 2 x limf(x)  b) Calculer . En donner une interprétation graphique. x|0 2 (x#2)(x%1) 4. a) Calculerf' (x) et montrer que :f'(x)1pourx> 0 . 3 x  b) Etudier le signe def' (x) et donner le tableau de variation def.  c) Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente àCau point A d’abscisse 1 . 5.  a) Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ] 0 ; 1[. %3  b) Donner un encadrement d’amplitude 10 dea.
6. Montrer queCpossède une tangenteT' parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation deT' . ( ! ( !
Exercice3ts:01inpo 2 x%4x#7 nie sur¡\{1}:f(x)1et on appellef  On considère la fonctionfdéfi par x%1  sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;jplan d’unité graphique 2cm.) du
limf(x) limf(x) 1°. Calculerx|1etx|1) ?.Que peut-on en déduire pour la courbe ( x21x01 c a c x 2° . a) Montrer qu’il existe trois réels ,bet tels distinct de 1 :que pour tout réel f(x)1ax#b#x%1 b) Calculer la limite defen +¥et en%¥.
c) Montrer que la courbe (f) admet une asymptote oblique (D) que l'on précisera.  Etudier la position de (f) par rapport àD
3°. Etudier les variations defpuis dresser son tableau de variations
1 4° Soit D la droite d’équation :y3 .  Déterminer les coordonnées des points A et B intersections de  A étant des deux points celui dont l’abscisse est la plus petite.
favec la droite D.
T 5° Déterminer les équations réduites des tangentes (TA) et (B) aux points d’abscisses 2 et 5 de  la courbe (f). 6°- Montrer que le pointI1;%2!est le centre de symétrie de la courbe (
T 7° Construire dans le même repère orthonormé (O;i;j) les droites (A) et (TB) la droite ( D ) et ]1 ;[  la courbefdans l’intervalle .
limf(x)1 %¥lim 1. puisque l’axe des ordonnées comme asymptote verticale et x|0x|#¥
f(x)1 #¥
æ1 1 K; 2. Le pointç ¸est le point commun àCet (D) . D’après le représentation graphique : è3 3ø  a) Quelle est la position deCpar rapport à (D) ?  Sur l’intervalle ]0; 1/ 3 [ , la courbeCest en dessous de la droite (D)  Sur l’intervalle ]1/ 3 ;[ , la courbeC(D)est au dessus de la droite  b) la fonctionf]1 ;]0; 1[ et sur l’intervalle est strictement croissante sur l’intervalle [ etf(1)13 . 3 1 3 1 B. On posef(x)1x# %;g(x)1x# # 2 2 x x x x 1. Expliquer pourquoiCne peut pas représenter la fonctiong. 3 1 3 1  On a :f(1)11# % 11#3%113etg(1)11# # 11#3#114 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 f(1/ 3)% 1 #1 # 9%91g(1/ 3)1 # ## 1 9#9118# ¹  et 2 2 3 1/ 3 (1/ 3) 3 3 3 1/ 3 (1/ 3) 3 3 3 limf(x) lim[f(x)%x] 2. Calculer puis . Donner une interprétation graphique de ce dernier résultat . x|#¥x|#¥ æ3 1ö æ1ö æ1  limf(x)1limx# % 1limx#3 lim%lim ( ! ç2¸ ç ¸ ç2¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x èx xø èxø èxø æ1ö æ1ö limf(x)1 #¥ lim(x!1 #¥et3 lim10etlim10  donc . ç ¸ ç2¸ x|#¥ x|#¥ |#x¥ |#¥x èxø èxø y x  On déduit que la droite (D) d’équation est une asymptote de la courbe ( C ) au voisinage de3 3 1x#3x%1 3. a)x# % 1 1f(x) . 2 2 x x x 1 3æ ö  b) On peut écriref(x) sous la forme d’un produitf(x)1(x#3x%1!´ ç ¸ 2 èxø 3æ1ö3æ1ö lim(x#3x%1!1 %1 limf(x)1lim(x#3x%1!´lim, or et lim1 #¥ ç2¸ ç2¸ x|0 èxø èxø x|0|x0|x0x|0 limf(x)1(%1!´(!1 %¥  Donc . On déduit que la droite d’équationx10est une asymptote de la x|0  courbe ( C ) au voisinage de 0. 2 (x#2)(x%1) 4. a) Calculerf' (x) et montrer que :f'(x)1pourx> 0 . 3 x 2 2 3 3 (3x#3!´x%(x#3x%1!´2x x(x%3x#2! 4 2 4 2 4 2 3x#3x%2x%6x#2x x%3x2#x f'(x)1 1 1 1 2 4 4 4 2 x x x (x! 3 2 2 3 2 2 3 x%3x#2 (x#2)(x%1) (x#2)(x%2x#1)x%2x#x#2x4%x2#x3%x2# f'(x)1.1 1 1 1f'(x) 3 3 3 3 3 x x x x x  b) x 0 13  + + x x#2+ +  + 0 + 2 (x%1! f'(x0 +) + f(x) 3
2 (x#2)(x%1) f'(x)10Û 10 3 x 2 (x#2)(x%1)10 2 x#210ou(x%1)10 x12ou x%110 Ûx12ou x11
c) Déterminer une équation de la droite ( T ) tangente àCau point A d’abscisse 1 . ( !T:y1 f'(1)10 etf(1)13 doncy1f'(1)x%1#f(1)10#31donc3 , A3 . 5.  a) Montrer que l’équationf(x! 10 admet une solution uniqueadans l’intervalle ]0 ;1[ . %3  b) Donner un encadrement d’amplitude 10 dea. 3 1 % 1 2  La fonctionfest strictement croissante sur ]0;1[ ;f(0, 5)10, 5# % 10, 5#02, 5 6 4 2 0, 5 0, 5 3 1 f(0, 25)10, 25# % 10, 25#12%161 %3, 7500  , l’équationf(x! 10 admet une solution 2 0, 25 0, 25  uniqueadans l’intervalle 0, 25 ; 0, 5 et à l’aide de la calculatrice on obtient : . [ ] %4 ;a £2 £ f(0, 32);%7´1000 etf0, 32 0, 33 .(0, 33) 0, 00282 0 , donc 6. Montrer queCpossède une tangente (T ’) parallèle à l’asymptote (D) ; donner une équation de (T’). 3 x%3x#23 32  Sur l’intervallef'(x)1 11Ûx%3x#21xÛ %3x#210Ûx1 3 x3 % æ2ö8 / 27#2%1(8 27!/ 27%5719 / 27 f1 1 1 1 % ç ¸ è3ø4 / 9 44 / 9 4 / 9 æ2ö æ2ö æ2ö æ2ö57 179 1 % # 1 ´ % % 1 % y f'x f1x x ç ¸ç ¸ ç ¸ ç ¸ è3ø è3ø è3ø è3ø4 12
Exercice 2 2 2 limx%4x#711%4#714ülimx%4x#711 2%5#41 ü % # x|1ï|x1ï Þlimf(x)1 %¥ Þlimf(x)1 #¥ 1°)%%## ý ý x|1|x1 limx%110 limx%110 %ï#ï x|1þ|x1þ 2 2 æx%4x#7öx pourx¹0, limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'limf(x)1 #¥ ç ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x x%1x è ø 2 2 æx%4x#7öx limf(x)1lim1lim1limx1 #¥d'limf(x)1 %¥ ç ¸ x|%¥ |x%¥ |%x¥ |%¥x|%¥x x%1x è ø 2 2 2 4 (x%3)(x%1) 4x%x3%x3#4#x4%x7#4 x%3# 1 # 1 1 1f(x) doncf(x)1x%3#. x%1 (x%1)x1%x1%x1%x1 44ö4 f(x)%(x%3)1;limç ÷1lim10, donc la droite d’équationy x3est une asymptote x| #¥x| #¥ x%1èx%1øx  oblique à la courbeCau voisinage de# ¥ 5°)Position de la courbeCpar rapport à l’asymptote (D’) :
x%100si et seulement six01 ;x%120si et seulement six21
4 % f(x) (x%3)1 00 sur] x%1
¥[ %;1,C
est strictement au dessous de la droite (D) d’équationy1x%3
4  etf(x) (x3) 0 sur 1;,Cest strictement au dessus de la droite (D)d’équationy1x%3 % % 1 2]# ¥[ x%1
2 (2x%4)(x%1) (%x 3)f'(x)1 2 (x%1)
4%x
2 7)#1´2x 1
2%x
2 2 4x%4#x%4x#7%x2x%3 1 2 2 (x%1) (x1%)
2 2 f'(x)]1;[ est du signe dex%2x%3 car (x%1)20 sur . 2  Calculons les racines du polynômex%2x%3 . 2%4%2 2#4 D 1(%2)²%4´1´( 3%)14 1#2 1162donc 2 racines réelles :0 ; x11 1 11%et2x1 2 2 2 2  Ce polynôme admet deux racines réelles –1 et 3 doncx%2x%positif à l’extérieur de ces3 est  racines –1 et 3 On en déduit le signe def'(x) puis les variations def 2 3%4´3#7 9%12#7 4  fadmet un minimum en 3 qui est :f(3)1 11 1 2 3%1 2 2
x f'(x)
f(x)
¥ %113 + 0 0 + %6
¥
¥
 2
31
4°) 2 2 x%4x#7x%4x#72 2 f(x)1 13Ûx%4x#713x%3x%7x#101 x%1x%1 7%3 7#3 D 149%4´1´101920 donc 2 racines réelles :x1 12et x1 1 2 2 2 La droite d’équationy =3coupe la courbe représentative defen deux points d’abscisses 2 et 5. A(2 ; 3) et B(5 ;3) sont donc les deux points recherchés. T 5° déterminons les équations réduites des tangentes (TA) et (B) aux points d’abscisses 2 et 5 de la courbe : %2´2%3 4%4%3 f' (2)1 1 1 %3  coefficient directeur de la tangente au point A : (2%1)² 1  Equation de la tangente au point A :y1f'(2)x%2#f(2) .y1 %3x%2#313%x9#( ! ( !  (T) :y1 %3x#9 A%2´5%13 25 %0 3%12 3 f'(5)1 11 1  coefficient directeur de la tangente au point B : (5%1)² 16 16 4 3 3 15 12  Equation de la tangente au point B :y1f'(5)x%5#f(5) .y1(x%5)#3y1x% # ( ! 4 4 4 4 3 3  (T) :y1x% B 4 4 6) Construction de la courbeCet des droites (D), (TA), (TB)
y
5
4
3
2
1
0
T A
1
C
A
T B
2
3
4
B
( D !
5
6
7
8
x
Exercice 31
2 %x#3x%6 ¡{ }f x1et soiCla courbe re  Soitf\ 1 la fonction définie par( )tfprésentative defdans le x%1 repère  orthogonal(O;i,j)unit´es : 1cm sur l’axe des abscisses ; 2 mm sur l’axe des ordonnées. 1. a. Calculer les limites defaux bornes de cet ensemble.  b. Déduire de la question précédente une asymptote D àCf. 2.. Etudier les variations def. c 3. a. Déterminer les réels a, b, c tels quef(x)1ax#b# x%2 x  b. Montrer que la droite(D)d’équation%x#2est asymptote àCfquand verset vers¥.  c. Etudier la position relative deCfet de(D). 4. a. Déterminer le coefficient directeur de la tangenteT1àCfau point A d’abscisse 0.  b. Déterminer une équation de la tangenteT2àCfau point B d’abscisse 2. 5. Déterminer tous efa . les points dCyant une tangente parallèle àT1 6 . Montrer que le point ( 1; 1) est centre de symétrie deCf. 7. Déterminer les points d’intersection deCfavec les axes de coordonnées. TTC 8. Tracer D,(D),1,2etf. Exercice 2 3 2  On considère la fonctionfdéfinie sur¡par :f(x)1 %2x#4x#8x#18 1. Déterminer les limites defen et en2. Calculer la dérivée defet étudier son signe .Donner le tableau complet de variation . 3. En déduire le nombre de solutions de l’équationf(x)10 m 4. Soit un réel . Donner sans justification le nombre de solutions dans¡de l’équationf(x)1m. m On envisagera les différents cas des valeurs de possibles
Exercice3 3 2  On définit surRla fonctionfparf(x)1x%x%8x#6etCsa courbe représentative dans un repère . 1. Déterminer les limites defen et en2. Calculerf'(x) . Réaliser le tableau de signes def'(x)f et les variations de la fonction .
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.