Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

Description

Avec correction. Probabiltés conditionnelles-lois discrètes
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique

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Extrait

TP Probabilités conditionnelles BTS-GO 2009 -2010 Exercice n°1 Dans un magasin d’électroménager, on s’intéresse au comportement d’un acheteur potentiel d’un téléviseur et d’un magnétoscope. T M T

T M T La probabilité pour qu’il achète un téléviseur est de 0,6. La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il a acheté un téléviseur est de 0,4. La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il n’a pas acheté de téléviseur est de 0,2. 1) Quelle est la probabilité pour qu’il achète un téléviseur et un magnétoscope ? 2) Quelle est la probabilité pour qu’il achète un magnétoscope ? 3) a. Le client achète un magnétoscope. Quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur ?  b. Compléter l’arbre de probabilité suivant : Exercice n°2 On dispose de deux urnes u 1 et u 2 . L’urne u 1 contient trois boules blanches et une boule noire . L’urne u 2 contient une boule blanche et deux boules noires. On lance un dé non truqué. Si le dé donne un numéro d inférieur ou égal à 2, on tire une boule dans l’urne u 1 . Sinon on tire une boule dans l’urne u 2 . (On suppose que les boules sont indiscernables au toucher) 1) Calculer la probabilité de tirer une boule blanche. 2) On a tiré une boule blanche. Calculer le probabilité qu’elle provienne de l’urne u 1 .  Exercice n°3    Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de l’activité sportive choisie.  Tennis Equitation Voile Anglais 45 18 27 Allemand 33 9 18 On choisit un élève au hasard. 1) Les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants ? 2) Les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants ?. Exercice 4 Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s’entraîne sur un site internet. 40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de niveau difficile. Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas. Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire. On considère les évènements suivants : F : « la grille est de niveau facile » ; M : « la grille est de niveau moyen » D : « la grille est de niveau difficile » ; R : « Pierre réussit la grille » et  R  son évènement contraire. 1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse. 3. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.  Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68. 4. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille  de niveau moyen ? 5. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ».  Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l’aide d’un calcul. Exercice 5 Les places d’une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d’une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25% des spectateurs, les femmes  5 2  des spectateurs et les  autres spectateurs sont des enfants.  5 1  des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle.

On appelle :  H l’évènement : « la personne interrogée est un homme »  F l’évènement : « la personne interrogée est une femme »  E l’évènement : « la personne interrogée est un enfant »  V l’évènement : « la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection »      V l’évènement : « la personne interrogée n’avait jamais vu le film avant cette projection ».  La notation p ( A ) désigne  la probabilité de l’évènement A.  La notation p B ( A ) désigne  la probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé. 1. À l’aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en

0,2 H

F

E

 complétant l’arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous.  On prendra soin de le compléter au fur et à mesure. 2. Exprimer à l’aide d’une phrase l’évènement H Ç V 3. Donner p H V et en déduire p H Ç V 4. La probabilité que l’évènement V soit réalisé est égale à 0,345.  Déterminer p V . 5. Déterminer la probabilité que si l’on interroge un enfant, il ait déjà  vu ce film au moins une fois avant cette projection. Exercice 6 Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note T l’évènement contraire de l’évènement T. On donne l’arbre de probabilités suivant.  0,4  T A T 0,2 T B T 0,7 0,2  T C T

1. Donner la probabilité p A T de l’évènement « T sachant que A est réalisé ». 2. Calculer : a . la probabilité p (B) de l’évènement B; b . la probabilité p A T de  l’évènement « non T sachant que A est réalisé » ; c .la probabilité p A Ç T de  l’évènement « A et T ». 3. On sait que la probabilité p (T) de l’évènement T est : p (T) = 0,3.   a . Calculer la probabilité p T A . b . Calculer la probabilité p B T . Exercice 7 Tous les résultats seront arrondis au millième si nécessaire Dans une auto-école, il y a deux filières possibles : l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC) et la filière traditionnelle. Afin d’inciter les candidats à préparer l’examen du permis de conduire avec la filière « apprentissage anticipé de la conduite » (AAC), une auto-école fournit les résultats suivants aux futurs  candidats : Il y a 40 % des candidats qui choisissent la formule AAC ; Un candidat préparant son permis la filière AAC obtient son permis lors de la première présentation dans

79 % des cas ; Un candidat préparant son permis avec la filière traditionnelle obtient son permis lors de la première présentation dans 49 % des cas. On interroge au hasard un candidat après l’obtention du résultat de sa première présentation. On note A l’évènement : « le candidat a préparé son examen avec la filière AAC ». On note S l’évènement : « le candidat a obtenu son permis de conduire ». 1. Traduire les données par un arbre pondéré. 2. a. Calculer la probabilité de l’évènement : « le candidat a obtenu le permis lors de la première présentation et il l’a préparé avec la filière AAC ». b. Calculer la probabilité d’obtenir le permis de conduire lors de la première présentation. 3. Le candidat interrogé a échoué lors de la première présentation. Quelle est la probabilité qu’il ait préparé l’examen avec la filière AAC ? 4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois candidats après l’ob tention du résultat de leur première présentation. Calculer la probabilité d’interroger au moins un candidat ayant échoué. Exercice 8 Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que : la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ; 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants. Recopier et compléter le tableau suivant On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes A l’évènement « la personne appelée est un adulte » ; M l’évènement « la personne appelée a choisi la magie » ;  Magie Théâtre  Photo  Total numérique Adultes Enfants Total 150 T l’évènement « la personne appelée a choisi le théâtre » ; N l’évènement « la personne appelée a choisi la photo  numérique ». 1. a. Quelle est la probabilité que la personne appelée  soit un enfant ? b. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? c. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ? 2. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32. 3. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour  que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse. Exercice 9  Dans cet exercice les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire.  Lors d’une enquête réalisée auprès d’élèves de classes de terminale, on apprend que 60 % des élèves  sont des filles. De plus 40 % des filles et 30 % des garçons fument. 1. On choisit un élève au hasard. On note A l’événement « l’élève choisi fume » et P A la  Probabilité de cet événement. On note F l’événement « l’élève choisi est une fille ».  Quelle est la probabilité que :  a ) cet élève soit un garçon ?  b ) cet élève soit une fille qui fume ?  c ) cet élève soit un garçon qui fume ? 2. En déduire, en le justifiant, que P A 1 0, 36  . 3. L’enquête permet de savoir que :  Parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui fument ; Parmi les élèves non fumeurs, 65 % ont des  parents non fumeurs. On note B l’événement « l’élève choisi a des parents fumeurs ». a)Traduire cette partie de l’énoncé par un arbre de probabilités. b)Calculer la probabilité P A Ç B . c)Calculer les probabilités P A et P A ( B ) . En déduire  P A Ç B .En déduire, en le justifiant, P B .

d) Calculer p B ( A ) ,  probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents fumeurs . e) Calculer p B ( A ) ,  probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents non fumeurs . 4.On rappelle que, pour chaque élève choisi , la probabilité qu’il soit fumeur est égale à 0,36 . on choisit 10  élèves de terminale au hasard . on admettra que la population de terminale est suffisamment grande pour que  le choix d’élèves au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.  Quelle est la probabilité qu’aucun de ces 10 élèves ne soit pas fumeurs ? Exercice10 1.Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut     D A et le défaut D B , à l’exclusion de tout autre défaut.  On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut D A , 37 % ont le défaut D B ,  et 10 % ont les deux défauts. On choisit au hasard une des pièces produites par la machine.  Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ? 2. On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut D A , et que 60 % de ces pièces ont seulement le  défaut D B . On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut D A sont réparables, et que 30 % des pièces  qui ont le défaut D B   sont réparables.  On choisit une pièce au hasard. On note : A : l’évènement : « La pièce a le défaut D A »,  B : l’évènement : « La pièce a le défaut D B », R : l’évènement : « La pièce est réparable ». a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation b. Calculer la probabilité de l’évènement : « La pièce choisie a le défaut D A et est réparable ». c. Calculer la probabilité de l’évènement : « La pièce choisie est réparable ». d. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu’elle ait le défaut D A (le résultat sera  donné sous la forme d’une fraction irréductible). e. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut.  On suppose que ces tirages s’effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.  Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut D A . Exercice 1 On note T l’événement « le client achète un téléviseur » et M l’événement « le client achète un magnétoscope ». L’énoncé fournit P ( T ) 1 0, 6  (donc P ( T ) 1 1 % 0, 6 1 0, 4 ), 0,4 M T  0,6  M  0,6 0,4 0,2 M      T 0,8 M P T ( M ) 1 0, 4  (donc P T ( M ) 1 1 % 0, 4 1 0, 6  ), et P T ( M ) 1 0, 2  (donc P T ( M ) 1 0,8 ), ce que l’on peut traduire par l’arbre de probabilités 1) En appliquant la formule de définition d’une probabilité conditionnelle, dans sa version multiplicative », « P T ( M ) 1 P ( T P ( Ç T ) M ) , donc P ( T Ç M ) 1 P ( T ) ´ P T ( M ) 1 0, 6 ´ 0, 4 1 0, 24 2) En appliquant la formule des probabilités totales, P ( M ) 1 P ( T Ç M ) # P ( T Ç M ) 1 P ( T ) ´ P T ( M ) # P ( T ) ´ P T ( M ) 1 0, 24 # 0, 4 ´ 0, 2 1 0, 24 # 0, 08 1 0,32 0 3) On demande P M ( T ) 1 P ( P T ( Ç M ) M ) 1 0 , , 2 3 4 2 1 0, 75 0,75 T M 0,32 0,25 T 0,68 9/17 T M 8/17 T

4) Puisque P ( M ) 1 0,32 ,  on a P ( M ) 1 0,32 0, 68  . 1 % 1 Puisque P M ( T ) 1 0, 75 ,  on a P M ( T ) 1 1 % 0, 75 1 0, 25  . On calcule de la même manière qu’à la question 3), P ( T M ) P ( T ) P T ( M ) 0,  6 0 36 9 P M ( T ) 1 P ( Ç M ) 1 P ( ´ M ) 1 0, ´ 68 ,6 1 0 0 , ,68 1 17 , donc  P M ( T ) 1 1 % 1 9 7 1 1 8 7 . On peut donc « inverser » l’arbre de probabilité : Exercice 2 Notons l’ensemble des résultats possibles du jet de dé. On a donc Card( W )=6. Notons u 1 l’événement « Le tirage s’effectue dans l’urne u 1 » et u 2 l’événement « Le tirage s’effectue dans l’urne u 2 ». Notons B l’événement « obtenir une boule blanche »   La répartition des boules blanches et noires données dans l’énoncé nous fournit les probabilités : P u 1 ( B ) 1 4 3  donc P u 1 ( B ) 1 4 1 , ainsi que P u 2 ( B ) 1 1 3 P u ( B ) 1 2 3   P u   1 ( B )=3/4  B et 2  P(u 1  )=1/3  u 1 P u   ( B )=1/4 B 1 P u   2 ( B )=1/3  B  P(u 2  )=1/3 u 2 P u    2 ( B )=2/3  B

Enfin, puisqu’il y a équiprobabilité dans les résultats du lancer de dé, P ( u 1 ) 1 3 1  et P ( u 2 ) 1 3 2 . On peut résumer cette situation par l’arbre de probabilités suivant : 1) En appliquant la formule des probabilités totales, P ( M ) 1 P ( u 1 Ç B ) # P ( u 2 Ç B ) 1 P ( u ) 1 ´ P u 1 ( B ) # P ( u ) 2 ´ P u 2 ( B ) 1 3 2 1 1 2 17 1 ´ # ´ 1 # 1 3 4 3 3 4 9 36 2) On demande P B ( u 1 ) . Puisque  P ( B ) 0,  on peut appliquer la formule de définition de la probabilité conditionnelle de l’événement u 1 conditionné par B : P B ( u 1 ) 1 P ( u P 1 ( B Ç ) B ) ; P ( u 1 Ç B ) 1 P ( u 1 ) ´ P u 1 ( B ) 1 1 3 ´ 3 4 1 1 4 et P B ( u 1 ) 1 P ( u P 1 ( B Ç ) B ) 1 17 1/ /3 4 6 1 1 4 ´ 1 3 7 6 1 1 9 7 Exercice 3 Tennis Equitation Voile Total    (T) (E) (V) Anglais (A) 45 18 27 90 Allemand (D) 33 9 18 60 Total 78 27 45 150 Après avoir complété le tableau des effectifs : On choisit un élève au hasard et on note On note l’ univers des possibles , ensemble des 150 élèves . Ainsi Card( W )=150. Il y a équiprobabilité dans le choix des élèves. Ainsi pour tout événement A, P ( A ) 1 car d dA W   car On calcule sé arément : 1) et Puisque p ( D T ) p ( T ) x p ( D ), on peut conclure que les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis ne sont pas indépendants » 2 On calcule sé arément :

et

Puisque p ( V )= p ( A ) x p ( V ), on peut conclure que les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont indépendants Exercice 4 1. 40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen  et 30% de niveau difficile d'où : P ( F ) 1 40% 1 0, 4 ; P ( M ) 1 30% 1 0,3 ; P ( D ) 1 30% 1 0,3    Pierre réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de  niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas  d'où : P F ( R ) 1 95% 1 0,95 ; P M ( R ) 1 60% 1 0, 6 ; P D ( R ) 1 40% 1 0, 40 . 95 %  R F 5 %  R 40 % 60 %  R 30 %  M 40 %  R 30 %  40 %  R D 60 %  R

05  On en déduit que P F ( R ) 1 1 % 95% 1 5% 1 0, ;                                     P M ( R ) 1 1 % 60% 1 40% 1 0, 4 ;                                   P D ( R ) 1 1 % 40% 1 60% 1 0, 60  D'où l'arbre pondéré traduisant la situation 2. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre  la réussisse. a. P ( D Ç R ) 1 P ( D ) ´ P D ( R ) 1 0,3 ´ 0, 4 1 0,12    La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse  est égale à 0,12. b. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.       P ( F Ç R ) 1 P ( D ) ´ P F ( R ) 1 0, 4 ´ 0, 05 1 0, 02  La probabilité que la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est égale à 0,02. c. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.  Les grilles proposées sont soit faciles soit de difficulté moyenne soit difficiles.  Donc F, M et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :  A 1 ,A 2 , ⋯ , A n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience  aléatoire. Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :  Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.    A et A  forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :      A 1 ,A 2 , A n forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience  aléatoire. Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :                P ( B ) 1 P ( A 1 Ç B ) # P ( A 2 Ç B ) # ...... # P ( A n Ç B )     Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :        P ( B ) 1 P ( A Ç B ) # P ( A Ç B )           P ( R ) 1 P ( F Ç R ) # P ( M Ç R ) # P ( D Ç R )  Or P ( R ) 1 P ( D Ç R ) # P M ( R ) # P F ( R ) .        P ( M Ç R ) 1 P ( M ) ´ P M ( R ) 1 0,3 ´ 0, 6 1 0,18 et P ( F Ç R ) 1 P ( F ) ´ P F ( R ) 1 0,95 ´ 0, 4 1 0,38 1 Ç # Ç R # P D Ç R 1 # # 1  Donc P ( R ) P ( F R ) P ( M ) ( ) 0,38 0,18 0,12 0, 68      La probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68. 3. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de  niveau moyen ?  Calculons P ( M Ç R ) 1 P ( M ) ´ P M ( R ) 1 0,3 ´ 0, 4 1 0,12 et P ( R ) 1 1 % P ( R ) 1 1 % 0, 68 1 0,32  Par conséquent, P ( M ) 1 P ( P M ( R Ç ) R ) 1 P ( 1 M % ) ´ P ( P R M ) ( R ) 1 0 1 , % 3 0 ´ , 0 6 , 8 4 1 0,375 . La probabilité que ce soit une  grille de niveau moyen sachant que Pierre n'a pas réussi la grille est égale à 0,375.

4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l’aide d’un calcul. La sœur a raison dans la mesure où la probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus importante que les deux probabilités conditionnelles or : P R ( F ) 1 P ( P F ( Ç R ) R ) 1 0 0 , , 6 3 8 8 » 0,56 ; P R ( M ) 1 P ( P M ( R Ç ) R ) 1 0 0 , ,1 6 8 8 » 0, 26 ; P R ( D ) 1 P ( D ( Ç ) R ) 1 0 0 , ,1 6 2 8 » 0,18 P R La probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus grande que celle des deux autres cas donc la sœur a moins de chance de se tromper. Exercice 5 Les places d’une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d’une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25% des spectateurs, les femmes 25 des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants. 15 des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle. On appelle : H l’évènement : « la personne interrogée est un homme » F l’évènement : « la personne interrogée est une femme » E l’évènement : « la personne interrogée est un enfant » V l’évènement : « la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection » V l’événement : « la personne interrogée n’avait jamais vu le film avant cette projection ». La notation P ( A ) désigne la probabilité de l’événement A. La notation P B ( A ) désigne la probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé. 1. À l’aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l’arbre  pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.  Dans cette salle, les hommes représentent 25% des spectateurs, les femmes 5 2 des spectateurs et les  autres spectateurs sont des enfants. Donc P ( H ) 1 0, 25 , P ( H ) 1 0, 4 et P ( E ) 1 1 % (0, 25 # 0, 4) 1 0,35 .       5 1 des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. Donc P H ( V ) 1 0, 2 et P % 1 % 1       P F ( V ) 1 0,3 . D'où P H ( V ) 1 1 % P H ( V ) 1 1 % 0, 2 1 0,8  et F ( V ) 1 1 P F ( V ) 1 0,3 0, 7    Nous pouvons compléter une partie de l'arbre pondéré 0,2 V H 0,8 V 0,25 0,3 V 0,4 F 0,7 V 0,35 0,5  V E 0,5 V

2. a. Exprimer à l’aide d’une phrase l’évènement H Ç V .    H Ç V est l’évènement « la personne interrogée est un homme et  a déjà vu le film avant cette projection ». b. Donner P H ( V ) et en déduire P ( H Ç V ) 1  des hommes ont déjà vu ce film au moins une fois d'où P H ( V ) 1 0, 2 . 5 P ( H Ç V ) 1 P ( H ) ´ P H ( V ) 1 0, 2 ´ 0, 25 1 0, 05 P H ( V ) 1 0, 2 et P ( H Ç V ) 1 0, 05 . . 3. La probabilité que l’évènement V soit réalisé est égale à 0,345. a. Déterminer P ( V ) 1 1 % P ( V ) 1 1 % 0,345 1 0, 655      P ( V ) 1 0, 655 . b. Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois  avant cette projection.

 Il s'agit de calculer la probabilité de l’évènement V sachant que E est réalisé. Or P ( V ) 1 P ( P E ( E Ç V )   E ) E Ç V  Nous devons donc calculer d'abord P ( ) .  Les places sont toutes occupées par des femmes, des hommes ou des enfants donc H, F et E forment  une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : 4. Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.    A et A  forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :  A 1 ,A 2 , A n  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience  aléatoire. Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :     P ( B ) 1 P ( A 1 Ç B ) # P ( A 2 Ç B ) # ...... # P ( A n Ç B )      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :    P ( V ) 1 P ( H Ç V ) # P ( F Ç V ) # P ( E Ç V )    Donc P ( E Ç V ) 1 P ( V ) % P ( H Ç V ) % P ( F Ç V ) .    P ( E Ç V ) 1 P ( V ) % P ( H Ç V ) % P F ( V ) ´ P ( F ) 1 0,345 % 0, 05 % 0,3 ´ 0, 4 1 0,175 P E ( V ) 1 P ( P E ( E Ç ) V ) 1 0 0 , , 1 3 7 5 5 1 0,5 . La probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au     moins une fois avant cette projection est égale à 0,5.  Nous pouvons compléter l'arbre avec P E ( V ) 1 0,5 et P E ( V ) 1 1 % P E ( V ) 1 1 % 0,5 1 0,5 . Exercice 6 Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note T l’évènement contraire de l’évènement T. 0,4 T A 0,6 T 0,2 0,8 T 0,1 B 0,2 T 0,7 0,2  T C 0,8 T

On donne l’arbre de probabilités suivant. 1. Donner la probabilité P A ( T ) de l’évènement  « T sachant que A est réalisé ». Par lecture de l'arbre P A ( T ) 1 0 4 ,   2. Calculer : a. la probabilité P ( B ) de l’évènement B; d’après la règle des nœuds, Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux ranches issues d'un même nœud est égale à P ( A ) # P ( B ) # P ( C ) 1 1 d’où P ( B ) 1 1 % P ( A ) % P ( C ) 1 1 % 0, 2 % 0, 7 1 0,1   Ainsi P ( B ) 1 0,1 , . b la probabilité P A ( T ) de l’évènement « non T sachant que A est réalisé » ;  Toujours d'après la règle des nœuds, P A ( T ) # P A ( T ) 1 1 d'où P A ( T ) 1 1 % P A ( T ) 1 1 % 0, 4 1 0, 6 ,  Ainsi, P A ( T ) 1 0, 6 c. la probabilité p A Ç T de l’évènement « A et T ».          p A Ç T 1 P A ( T ) ´ P ( A ) 1 0, 4 ´ 0, 2 1 0, 08 donc p A Ç T 1 0, 08 . 3. On sait que la probabilité P ( T ) de l’évènement T est : P ( T ) 1 0,3  .  a. Calculer la probabilité P T ( A ) . P T ( A ) 1 P ( P A ( T Ç ) T ) 1 0 0 , , 0 3 8 1 1 4 5     b. Calculer la probabilité P B ( T ) . P B ( T ) 1 P ( P B ( Ç B ) T ) . Calculons P ( B Ç T )  Calculer la probabilité d'obtenir le permis de conduire lors de la première présentation.       A et A  forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :